Unit 5 一元一次不等式

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(1)

, 90 180 - 2 90 , - 2 -90 , 45 , ! 0 45 x x x x x x                    設底角為 ∵ ∴ 別忘了 Unit 5 一元一次不等式 能力指標:◎(A-4-3)能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。 ◎(A-4-4)能利用一次式解決生活情境中的問題。 能力一:不等式的列式 一、不等式的符號介紹 凡在數學式中出現「>、<、、、」不等號的式子,即稱為不等式。 符號

>

<

語意 大於 小於 大於等於 小於等於 不等於 超過 未滿 不小於 不大於 高於 低於 以上(含) 以下(含) ◎題目的語意表達並非數學,因此,題目的語意表達需如數學符號般的準確,若 不準確易造成爭議,因此,當題目的語意不明確時,可以放棄作答或提出疑問。 eg:(1)姚明的身高在 210 公分(含)以上姚明身高210。 (2)姚明的身高在 210 公分以上姚明身高>210。 ◎因為有部份書籍表示『以上』是有包含該數,而『以下』並無,這是無稽之談, 因此,若無註記(含),則應視為不含有等號,請同學要特別留意! 二、一元一次不等式 (一)一元一次不等式係指含有一個未知數的不等式,而且未知數的最高次方為 一次方,型如:ax+  等樣式。 b 0 (二)一元一次不等式的解,通常為一個區間或範圍,若未限定『解』的性質(如: 正整數、負整數等等),此範圍內的數皆為一元一次不等的解;因此,若 此範圍為『封閉區間』則為有限解,若此範圍為『開放區間』則為無限多 解。 (三)不等式的列式與一元一次方程式的列式意思相同,但須考慮相關已知條件 與未知數之大小關係。提醒同學們!不要忽略題目中『未提及的條件』, 因為很有可能它們也是必要的條件之一。如以下說明: eg:有一等腰三角形,已知其為鈍角三角形,求其底角的大小範圍為何呢? sol) 【滿足不等式的值】 講解一:

(2)

下列各數 2 5 , 2 , 1 , 0 , 1 − ,哪些數滿足不等式5x−72呢? 解:

( ) ( )

1 5 −1 −7=−12 , −122;

( ) ( )

2 50 −7=−7 , −72;

( ) ( )

3 51 −7=−2 , −22;

( ) ( )

4 52 −7=3 , 32;

( )

2 2 11 , 2 11 7 2 5 5 5 − =       Ans:2 , 2 5 。 練習一: 下列各數−8,0,8,哪些數滿足不等式2

(

x−3

)

+3

(

x−1

)

+3呢? 解:

( ) ( )

( )

, 19 6 , 不成立 6 3 1 8 -19 3 3 8 2 1 − −    − = + − − = + − −

( ) (

(

)

)

, 3 4 , 不成立 4 3 1 0 3 3 3 0 2 2    = + + − = + −

( ) (

(

)

)

   = + + = + − 成立 , 12 13 , 12 3 1 8 13 3 3 8 2 3 Ans: 8 。 【依題意列出不等式】 講解二: 下表為宇宙明星高中的普通班級資優班入學標準: 學測分數 未滿 275 分 275 分以上(含),未滿 285 分 285 分以上(含) 錄取情形 未錄取 普通班 資優班 請依題意列出不等式: ○1 已知芸婷可錄取普通班,假設其分數為 x 分,則 x 的範圍為何? ○2 假設吟青的學測分數為 y 未滿 275 分,請列出不等式及錄取情形。 ○3 假設珮羚的學測分數為 z 不小於 285 分,請列出不等式及錄取情形。 解:○1 275 x285,○2 y275(未錄取),○3 z285(錄取資優班)。 練習二: 鈞偉到體育用品店購買運動鞋,老闆向其推薦的球鞋定價全面打七折,至 少可以讓他省下 320~360(元);adidas 的球鞋促銷價為定價的 20%OFF,至少 可以讓他省下 300~320(元),假設的球鞋定價為 x 元,adidas 的球鞋促銷 價為 y 元,請列出兩款鞋的不等式為何? 解:○1 320x0.7x360。○2 3001.25yy320【不等式應用】

(3)

小華老師每天開車往返學校與家裡,全程共計 105 公里,若公路的速限規定在 50~70(含 50、70) (公里/小時)之間,若在速限之內走完全程,花費的時間相差多 少分鐘呢? 解:依據速度公式 v s t vt s= , = 可知,

(

)

(

)

(

)

(

)

     = = − = = = = 分鐘 小時 小時 小時 最長 最短 36 6 . 0 5 . 1 1 . 2 , 1 . 2 50 105 5 . 1 70 105 t t ,Ans:36 分鐘。 練習三: 銳跑運動飲料,其營養成分的標示中,鈉離子的含量為每 1 公克有2 0.5

(

毫克

)

, 假設一罐銳跑運動飲料為 150(公克),則其納離子含量的範圍為何(以公克表 示),請以不等式表示。(1 公克=1000 毫克) 解:假設一罐飲料的鈉離子含量為 x 公克

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

   = = −  = = = +  = 公克 毫克 鈉 公克 毫克 鈉 最少 最多 225 . 0 225 5 . 0 2 150 375 . 0 375 5 . 0 2 150 ,0.225 x0.375(公克)。 Ans:0.225 x0.375(公克)。 【十分鐘即時練習】 (1)育杰的父親今年 x 歲,五年後父親還不到退休的年齡 65 歲,請列出 x 的不 等式為何?x+5 65。 (2)啟倫買了一包洋芋片,其包裝標示重量為30  (克)2 ,若以 x 表示洋芋片 的實際重量的範圍,則可列出不等式為何?28 x32。 (3)已知 a+30 , b−30,則下列何者一定為正數呢? ○4 ○1 a+1,○2 a+4,○3 b2,○4 b+5。 (4)若 x 為整數,且滿足0x b的解與滿足0 x a的解,其個數一樣多, 求a − 的最大值為何? b 1 。解:(當 b 為整數且 a=b+1 時,解的個數一 樣多。) (5)能夠滿足x−3 且 x−2的整數 x 有多少個呢? 1 。 解:(當x−3且x−2時, −3 x−2 , x=−3

( )

1個 ) 能力二:不等式的性質 一、不等量的遞移性 假設有 a、b、c 三實數,依據不等量的遞移性有下列情況:

(4)

( )

( )

( )

( )

(

)

1 2 3 4 a b b c a c a b b c a c a b b a a c a b b a         =   當 且 則 當 且 則 當 且 則 當 且 則矛盾 不成立 二、不等式的運算性質 假設 a>b,依據不等量公理,有下列情形:

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

1 2 - -3 4 0 0 a c b c a c b c a c b c c a c b c a c b c a c b c c +  +                           乘除 負數 時不等 當 時 當 時 號要 變向 三、一元一次不等式的圖解 【不等量的遞移性】 講解四:

假設有 a、b、c 三個正整數及 x、y、z 三個負整數,已知 b 大於 a,而 c 不大於 a,又 x 小於 y,且 y 不大於 z,請問 b、c 及 x、z 的大小關係。 解:○1 baac , bc。 ○2 xyyz xz。 練習四: 假設 a、b、c 是三個正數,若a b b c 2 1 , 3 1 = = ,試比較此三數的大小關係。 (1)x>k (2)xk (3)x<k (4)xk (5) xk 或 x-k x k且k 0 (6) -k  x k x k且k 0

(5)

解: c b a c b c c b b a b b a       =    = 0 2 1 , 0 3 1 且 且   講解五: 假設不等式−3a5,求下列各式的範圍為何? ○1 −3a2 4 −a 43 7 −a 2 解:○1 原式=

( ) ( ) ( )

3  −3  −3a5

( )

3 , 9−3a−15 ○2 原式=4

( )

34a45, -1244a4204, 164a416 ○3 原式=

( )( ) ( )

32  −2a5

( )

2 ,6+772a

(

10

)

+7,1372a−3 練習五: 假設1 a4,試求− a3 −2的最大與最小的整數值為何? 解:原式=1

( ) ( )

−3  −3a4

( )

−3 ,−3−3a−12,−3−2−3a−2−12−2 −5−3a−2−14 , −3a−2的最大整數值為-5,最小整數值為-13。 【不等式的整數解與圖示】 講解六: 若要滿足 −1 x k的整數 x 共有 6 個,則 k 有哪些整數呢?並畫出不等式的圖 示。 解:−1xk −1,0,1,2,3,4共有6個整數。 練習六: 若axb,其中 a、b 為整數,且滿足 x 的所有整數解為−12,−11,−10 0,1,2, 請寫出不等式及其圖示為何? 解:−13x2。 【十分鐘即時練習】 (1)若 2、8、x 為三角形的三邊長,且 x 為正整數,則 x 為 7、8、9 。 解:8−2x8+2 , 6x10 ,x=7,8,9 (2)假設3a8 , 5b10,試填下列之空格。 ○1 8 <a+b< 18 2 -7 <a-b< 3 ○3 19 <3a+2b< 44 4 -3 <b-a< 7 解:○1 3+5a+b8+10 , 8a+b18。 ○2 −5−b−10 , 10−b−5, 3+

(

10

)

a+

( )

b8+

( )

5 −7ab3。 ○3 93a24 , 102b20 9+103a+2b24+20 0 4 -1 2 0 -13

(6)

193a+2b44。 ○4 −3−a−8, 8−a−3 , 5+

( )

8b+

( )

a10+

( )

3 −3ba7。 (3)假設−1a0,則 a、-a、 a 1 三數中,何者最大 -a 。 解: a a a0  1 − 。 (4)已知−2a1,且 P=1-2a,求 P 的範圍 −11−2a5。 解:−2a1 , −2−2a4 , −11−2a5 。 (5)已知−9x5,則 x 的最大值為 9 。 解: −9 =9 , 5 =5 ,  x 的最大值為 9。 能力三:一元一次不等式與應用 一、解一元一次不等式的步驟 (一)認明不等式之題型: 若一數學式中含有兩個(種)不等號時,就以聯立方程式方式處理。若單 純僅有一個(種)不等號,即以類似一元一次方程式方式處理。 (二)分數型之不等式: 若遇到有分數時,將全式乘以分母之最小公倍數。 (三)小數型之不等式: 若欲小數時,將全式乘以10n。 (四)化簡之步驟: 執行步驟(一)、(二)將相關係數化為整數後,再按照去括號法則或分配 律進行化簡。 (五)移項整理之步驟: 以移項性質,將含有未知數的項移到不等號的任一邊後,合併或化簡。 ◎需注意未知數前的係數,若為負數時,移項時需將不等變向。 (六)以不等量公理驗證: 最後再次檢驗『不等號的方向』是否正確。(建議以不等量公理驗證之) 二、一元一次不等式解的情況 假設有一元一次不等式 ax b ,其解有下列情況:

(7)

( )

( )

( )

( )

1 0 2 0 3 0, 0 4 0, 0 b a x a b a x a a b x a b x       =   =   為任意實數 無解 【解一元一次不等式】 講解七: 解下列一元一次不等式: ○1 8

(

x1

) (

32x3

)

+4 ○2

(

)

       − − 3 2 22 2 1 1 2 3 x x 解:○1 2 3 , 8 5 2 , 4 9 6 8 8 −  − + − +   x x x x 原式 ○2 3 1 , 13 2 13 , 13 3 1 1 3 , 3 1 11 1 2 3− +  − + +     x x x x x 原式 練習七: 解下列一元一次不等式: ○1 2 7 6 1 3 2 x x ○2 2

(

x3

) (

3 x+2

)

解:○1 4 21 , 4 21 1 , 1 21 18 14 , 1 7 6 3 2        −  −  −  − −  −  x x x x x 原式 ○2 原式2x63x+6 , 663x2x ,x−12 【解一元一次聯立不等式】 講解八: 解下列一元一次聯立不等式: ○1 7x14+2x4x+22 ○2 8 5 3 2 2 x−  解:○1 3 7 18 18 , 2 36 , 12 4 2 14 3 7 , 3 7 , 2 14 7       +  +   − +  −  x x x x x x x x x 原式 ○2 2 43 2 13 , 43 2 13 , 40 3 2 10 5  −      同乘於 x x x 原式

(8)

練習八: 解下列一元一次聯立不等式: ○1 7x103

(

x2

)

10 ○2 −20−4x+620 解:○1 2 7 5 2 2 7 , 14 4 , 20 6 4 5 2 , 4 10 , 6 3 10 7           +   − −  −  x x x x x x x x x 且 原式 ○2 2 7 2 13 , 4 14 4 26 , 14 4 26   − −   − −  −  −  x x x 原式 【一元一次不等式應用問題】 講解九: 若ABC 為銳角三角形,且A=CB,請問 A 的範圍為何? 解:A+B+C=180 , A+C90A+A90,A45 A+B+

( )

A 180, A+A+A180 , 3A180,A60   60 45    A 。 Ans:45 A 60。 練習九: 已知ABC 為銳角三角形,DEF 為鈍角三角形,且ABCF E D   ,求 A 、 C 、 D 、 F 的範圍為何? 解:○1 ABCA90, B90 ,C90 60 , 180 3 , 3 60 , 180 3 , 3          +  +         +  +     C C C B A C A A C B A A 故 0A60 , 60C90。 ○2 DEF 三角形任一角為90即為直角三角形  90F 180 ,  0D90 講解十: 櫻怡全家及親戚一起到日月潭露營,傍晚分配帳篷時出現狀況,如果每頂帳篷睡 5 個人,則有 7 個人沒得睡;如果每頂帳篷睡 6 個人,則有 1 頂帳篷沒睡滿,請 問他們最多及最少帶了幾頂帳篷呢? 解:設有 x 頂帳篷,全部的人數為

(

5 +x 7

)

人。

(

5 7

) (

6 1

)

6 , 1 5 7 6 6 6 , 1 13 6, 1 x+ − x−   x+ − x+  −x+    −  −  −

(9)

Ans:他們最多可能帶了 12 頂帳篷,最少帶了 7 頂帳篷。 練習十: 一年 18 班辦班級慶生會,老師帶了柳橙汁 1000(毫升),其濃度為 17%,因為 濃度太濃所以加入了礦泉水 x(毫升)之後,濃度降低為 10%,請問加入礦泉水 x 的範圍為何? 解:100015%10%

(

1000+x

)

, 150100+0.1x , 500.1x, 500x。 Ans:x>500(毫升) 【十分鐘練習題】 (1)因為油價上漲,良宜的父親挑選優惠最多的 Lexus 加油站加油,每次加油 滿 600 元,可獲贈面紙一盒,若良宜的父親加油花了 x 元,獲得 5 盒面紙, 則 x 的範圍 3000 x3600。 解:6005 x6006 , 3000 x3600。 (2)滿足

(

3

)

1 6 3 1 2 + −  − x 的最大整數 x 為何? 15 。 解:−6 x+3−118 , −8x16。 (3)本學期數學週考有 4 次,雅姿前 3 次的成績為 65、76、83,若想要平均成 績達到 80 分(含)以上,請問前 4 次成績的範圍(設第 4 次成績為 x,總 分為 100 分)96 x100。 解:

(

)

100 96 , 100 96 , 320 224 , 80 4 83 76 65       +   + + + x x x x x 且  (4)若a+5, a ,a−5,為三角形的三邊長,求 a 的範圍 a>10 。 解:a−50 , a+5a+

(

a−5

)

, a5 or 10a  取a 10 (5)若 a 是正整數,且 4 3 6 3 1 a ,求 a 的個數有幾個呢? 9 個 。 解: ,

(

17 9

)

1 9個 8 6 6 18 6 , 4 3 6 3 1 + = a a【基本觀念題】 ( B )1. 一元一次不等式2x−3713−6x的解為 x,其圖示為下列何者? ○ABCD 解: x 5 1 , 6 6 , 6 13 7 5 , 10 2 6 13 7 3 2      −  − −     −   − 取 x x x x x x x ( D )2. 正義家中的洗衣機最大的洗衣量為 30 公斤,今天媽媽要洗 x 件的被 單和重量 13 公斤的衣服,其中被單每件重量 2 公斤,根據題意可列出 不等式為何? ○A 13x+230B 13x+230C 2x+1330

(10)

( )

( ) (

4 12

)

2 3 14 21 16 2 3 35 21 3 12 12 3 21 3 4 7 14 2 4 2 7 2  −  −  +  −  − + −   −  −  −  −   −   −   −    − b a b a b b a a a 同乘 同乘

(

)

( ) ( )

(

)

( ) (

)

(

)

( ) ( )

(

)

( ) (

)

(

不符合

)

不符合 不符合 符合 1 2 , 1 0 1 2 1 2 , 1 2 1 2 1 2 , 1 1 2 2 1 0 , 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 5   −   + −   −   −  +   −  − +  − − D C B A y x y x y x y x ○D 2x+1330。 ( A )3. 承上題,下列何者不是媽媽這一次洗衣服時被單的件數呢?○A 9 件 ○B 8 件 ○C 7 件 ○D 6 件。 ( C )4. 亭昀解一元一次不等式 −

(

x−3

)

5x+1 的步驟如下圖,請問她從哪 一個步驟開始發生錯誤呢?○A (一) ○B (二) ○C (三) ○D 沒有 錯誤。 ( B )5. 已知柏超、昆勳、仲寬等三位同學的體重分別是 66 公斤、62 公斤、 x 公斤,三人平均體重不超過 61 公斤,依據此關係可以列出不等式為 下列何者?○A

(

66+62+x

)

261B

(

)

61 3 1 66 62+   + x ○C

(

)

61 3 66 62+ + x ○D

(

)

61 3 62 66 3 + +x 。 ( D )6. 承上題,請問仲寬的體重應該為下列何者呢?○A 58 公斤 ○B 57 公斤 ○C 56 公斤○D 55 公斤。 解:

(

)

61 ,

(

61 3

) (

66 62

)

, 55 3 1 62 66+ +x   x  − + x ( A )7. 假設有不等式−2a7 , −7b4,試求2 −a 3b的範圍為何?○A 35 3 2 16 −  − a b ○B 82a3b−7 ○C −162a3b3556 ○D 82a3b−7。 解: ( A )8. 試判斷下列各數對(x,y),何者是5xy−33x+ y−2的解為何? ○A

( )

1,1 B

( )

2,1 ○C

(

1 −, 2

)

○D

( )

1,0 。 解: (B)9. 解不等式 1<3 -x 1≦2=?

(

)

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

3 1 6 2 6 6 2 6 1 5 3 1 5 3   −  −  −  −  −  −  +  + −  +  − −  x x x x x x x 四 三 二 一 原式

(11)

(

)

30 17 3 200, 30 17 51 200 8 47 149, 3 47 x x x x x x + +  + +    (A)1<x≦5 2(B)1<x≦3 5 (C)1<x≦2 5(D)1<x≦ 3 5。 Sol) 2<3x-1≦4,3<3x≦5,∴1<x≦ 3 5 (C)10.不等式 2x- 3 5 >x+4 的最小整數解為何呢?(A)4(B)5(C)6(D) 7。 Sol)同×36x-5>3x+12,3x>17x>5 3 2 ∴x=6 (A)11.若 4a-3b≦-5,試比較 b- 3 4 a 與 1 2 1 的大小。(A)b- 3 4 a>1 2 1 (B) b- 3 4 a1 2 1 (C)b- 3 4 a<1 2 1 (D)b- 3 4 a1 2 1 。 Sol) 4a-3b≦-5 同乘於(- 3 1 b- 3 4 a≧ 3 5>1 2 1 (D)12. 9≦3x≦x-4 的解為下列何者呢? (A) 3≦x 或 x≦-2 (B) x≧-2 (C) x≦3 (D)無解。 Sol) 9≦3x 且 3x≦x-43≦x 且 2x≦-4,x≦-2 ∴無解 【溫故歷屆基測試題】 (B)1.小君帶 200 元到文具行購買每枝 17 元的鉛筆和每枝 30 元的原子筆。若 小君買的鉛筆比原子筆多 3 枝,則小君最多可買到幾枝鉛筆? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。【95 基測一】 Sol) 設小君買原子筆 x 支, (A)2. x=-3 可為下列哪一個不等式的解? (A) 5≦4-2x (B) 3x+5≧-1 (C)-2x-3≧4 (D)-3≦-x-8。【95 基測一】 Sol)

( )

( )

( )

( )

A 5 4-2x x -0.5 , B 3x+5 -1 x -2 C -2x-3 4 x -3.5 , C -3 -x-8 x -5             (C)3.有甲、乙兩個箱子,甲箱重 47 公斤,其重量比乙箱的 3 倍還重,且比乙 箱的 4 倍還輕。若乙箱重 x 公斤,依題意可得到下列哪一個關係式? (A) x> 3 47 (B) x< 4 47 (C) 4 47 <x< 3 47 (D) 3 47 <x<47。【95 基測 二】

(12)

Sol) 47 47>3x, x< 3 47 47<4x, x> 4      依題意 (C)4.如圖(一),等臂天平呈平衡狀態,其中甲秤盤放方塊,乙秤盤放砝碼。 若每個方塊、砝碼的重量分別為 x、y,且 x<y,則經下列哪一選項的 操作,可使天平呈圖(二)的狀態? (A)在甲加放 6 個方塊,乙加放 6 個砝碼(B)在甲加放 4 個方塊,乙加放 5 個砝碼(C)從甲取出 3 個方 塊,乙取出 3 個砝碼(D)從甲取出 3 個方塊,乙加放 4 個砝碼。【95 基 測二】 Sol) 由甲=乙,且 x<y,3x<3y,-3x>乙-3y。 (A)5.如圖是測量一物體體積的過程: 步驟一,將 300mL 的水裝進一個容量為 450mL 的杯子中。 步驟二,將三個相同的玻璃珠放入水中,結果水沒有滿。 步驟三,同樣的玻璃珠再加兩個放入水中,結果水滿溢出。 根據以上過程,推測一顆玻璃珠的體積在下列哪一範圍內?(1mL= 1cm3)(A) 30cm3 以上,50cm3 以下(B) 50cm3 以上,70cm3 以下(C) 70cm3 以上,90cm3 以下(D) 90cm3 以上,110cm3 以下。【94.基測一】 Sol) 設每個玻璃珠的體積為 x 由步驟(二)知 3 個玻璃珠的體積範圍為 3x450-300, 3x 150  x 50,由步驟(三)知 5 個玻璃珠的體積範圍為, 5x450-300, 5x150, x30。 (A)6.下列何者為 1 2x- 1

3y>0 的解? (A) x=3,y=2 (B) x=2,y=3 (C) x=-3,y=-2 (D) x=-2,y=-3。【94.基測二】

(13)

Sol) x=3, y=2 , 1x- y=1 1 3-1 2 2 3 2 3 代入

(B)7.如圖是將積木放在等臂天平上的三種情形。若一個球形、方形、錐形的 積木重量分別以 x、y、z 表示,則 x、y、z 的大小關係為何? (A) x >y>z (B) y>z>x (C) y>x>z (D) z>y>x。【94.基測一】

Sol) 2y+z>y+2z y>z 3y+z>x+2y+z y>x x+y+2z>2x+y+z z>x           【模擬學力基測試題】 (D)1.哪一個數是 x+ 119 120 + 999 1000 ≦0 的解? (A) 0 (B)-1 (C)-2 (D)- 3。 Sol) x+1 119 1 +1 999 1 ≦0,x+2+ 119 1 + 999 1 ≦0 故選 (D) (B)2.下列不等式,何者不在下列圖示範圍中: ○1 ○2 (A)2≦x<10(B) x (C)-3<x(D)-3<x≦3 -3 (A)3.試比較(1 1000 999 )5 和(1 1000 999 )4 的大小。(A)(1 1000 999 )5>(1 1000 999 )4 (B)(1 1000 999 )5<(1 1000 999 )4(C)(1 1000 999 )5(1 1000 999 )4(D)(1 1000 999 ) 5(1 1000 999 )4 Sol) 1 1000 999 >1 ∴(1 1000 999 )5>(1 1000 999 )4

(14)

(B)4.同時滿足 2x- 2 3 >-x+ 2 1 及 x- 3 2 <- 3 x +1 的解為何呢?(A) 4 5 <x < 3 2 (B) 3 2 <x< 4 5 (C)-2 3<x< 5 -4 (D) 2 -3<x<4 5 。 Sol) 2x- 2 3>-x+ 2 1 3x>2,x> 3 2,x- 3 2<- 3 x+1 3 4x< 3 5,x< 4 5,∴ 3 2 x< 4 5 (B)5.若-3 為 x 的不等式 mx-9≧x-2 的一個解,則 (A)m≧- 3 4 (B)m ≦- 3 4 (C)m≧- 4 3 (D)m≦- 4 3 。 Sol) x=-3 代入:-3m-9≧-3-2,-3m≧4 ∴m≦- 3 4 (D)6.已知三角形的三邊長為 a-3,26-a,2a-7,若 a 為整數,則 a 共有幾 個? (A)2(B)3(C)4(D)5 個。 Sol)

a-3+2a-7>26-aa>9 a-3+26-a>2a-7a<15 a-3>0,26-a>0,2a-7>0a>3,a<26,a> 2 7 15>a>9 但 a 為整數 ∴a=10,11,12,13,14 共 5 個 (A)7. 福隆火車便當有若干個裝箱,若每箱裝 14 個,則餘 36 個;若每箱裝 18 個,最後一箱裝不滿,當至多可裝 a 箱,至少可裝 b 箱,則 a-b=?(A) 3(B)4(C)5(D)6。 Sol) 設有 x 箱 ∴18(x-1)<14x+36<18x18x-18<14x+364x<54, x<13 2 1 14x+36<18x36<4x,x>9 ∴9<x<13 2 1 ;∴最小 b=10, 最大 a=13 ∴13-10=3。 (C)8. 太平洋 SOGO 百貨公司的商品,都照成本加 25%的利潤做為定價,週 年慶大減價,MP4 一臺照定價便宜 500 元售出尚可賺成本的 5%(含) 以上,則該 MP4 成本最少為多少元。(A)1999 元(B)2000 元(C) 2500 元(D)3000 元。 Sol)設 MP4 成本 x 元,則定價 x+0.25x=1.25x, ∴(1.25x-500)-x≧0.05x0.2x≧500,x≧2500,∴成本最少 2500 元 (B)9.一個三角形的底長 10 公分,高為(2x-7)公分,面積不大於(5x+20) 平方公分,則 x 範圍為何呢?(A) 2 7 ≦x≦11(B) 2 7 <x≦11(C)7 3≦ x≦11(D)7<x≦11。

(15)

Sol) 2x-7>0x> 2 7 ;5x+20>0,x>-4,又 10(2x-7) 2 1 ≦5x+20, 2x -7≦x+4x≦11 ∴ 2 7<x≦11 (C)10.高雄科學工藝博物館的入場券規定:50 人(含)以上打八折,100 人(含) 以上打 7 折。今有奇鼎國中 2 年 18、19 班共二班的人數在 50 人到 100 人 之間,則此二班最少多少人時,買 100 張入場券反而便宜?(A)66(B) 77(C)88(D)99。 Sol) 設有 x 人以上(50x100),∴0.8x>1000.7x> 8 . 0 70 =87.5,∴x 最小整 數值 88。 【進階練習題】 (D)1.若甲、乙、丙皆比 0 小,且甲>乙,則正確的敘述有哪些?○1 甲+丙> 乙+丙; ○2 甲×丙>乙×丙; ○3 甲÷丙>乙÷丙 ;○4(甲-乙)÷丙>0; ○5 (甲-乙)×丙<0 ; ○6 甲÷乙>0。 (A)○1 3 4 (B)○2 3 5 (C)○3 4 6 (D)○1 5 6 Sol)甲>乙甲+丙>乙+丙甲>乙(甲-乙)×丙<0,甲<0,乙<0,甲 ÷乙>0 ∴正確的敍述有○1 5 6 (C)2.奇鼎國中國二理化段考有一考題如下所示:今有 4%的食鹽水 300 公克 和 9%的食鹽水多少公克(含)以上混合,可得濃度在 6%(含)以上 的食鹽水。(A)100(B)153(C)200(D)253。 Sol) 設 9%的食鹽水 x 克,則 3004%+x9%≧(300+x)6%, 12+0.09x≧18+0.06x0.03x≧6 ∴x≧200 (D)3. 第 100 屆立法委員選舉,假設花蓮縣第一選區有選票 12000 張,有 10 位 候選人要選上 3 位,則候選人花媽至少要得多少張選票,才能篤定當選 呢?(A)2998(B)2999(C)3000(D)3001。 Sol) 設需 x 張,(3+1)x>12000,∴x>3000,但 x 為正整數∴3000+1=3001。 (A)4.解不等式   3x+71<25x+5 8x+5>12x-15(A)3<x<5(B)3>x>5(C)3<x<7(D)7>x>5。 Sol) 3x+71<25x+566<22x ∴x>3;8x+5>12x-1520>4x ∴x<5, 故 3<x<5。 (B)5.如右圖,長方形 ABCD 中,若長方形周長小於 50,且斜線部分面積不小 於 16,求 x 的範圍。 (A)2≦x<8(B)4≦x<10(C)6≦x<12(D)8≦x<14。 Sol)先求斜線部分面積=(x+x+1)(1+3)-4 2 x  -3 1 2 x ( +) - 2 1 1 2 x  ( +)

(16)

=8x+4-2x-3 2x- 3 2-x- 1 2= 7 2x+2; 依條件列式(x+x+1+4)×2<502x+5<252x<20,x<10, 又7 2x+2≧16 7 2 x≧14,x≧4,∴4≦x<10。 (C)6.學生若干人,住若干間宿舍,如果每間住4人,還餘19人;如果每間住6 人,則有一間住了人但沒有住滿,設宿舍有x間,則宿舍間數。(請寫出 所有答案)。(A)8、9、10間(B)9、10、11間(C)10、11、12間(D )11、12、13間。 Sol)設學生總人數(4x+19)人,則 6(x-1)<4x+19<6x; 6x-6<4x+192x<25,x<12.5; 4x+19<6x19<2x,x>9.5 ∴9.5<x<12.5; 則x的整數解10,11,12, ∴宿舍有10間、11間、12間。 (D)7.有一堆鉛筆分給學生若干人,若每人分3枝,則最後1人分得1枝(含)以 上但不到3枝;若每人分4枝,則恰有4人沒有分到,問學生共有多少人?(A )9≦x≦10(B)10≦x≦11(C)12≦x≦13(D)14≦x≦15(人)。 Sol) 設學生有x人,∴3(x-1)+1≦4(x-4)≦3(x-1)+2  3( 1) 4) 4( 4) 3( x x x x     - +1 4( - - -1)+2 3 3 1 4 16 4 16 3 3 2 x x x x     - + - - - +  14 15 x x      ,∴14≦x≦15, 故x=14或15,所以學生有14人或15人。 (A)8.鄧校長開休旅車從家中到學校,離家後起初的 6 公里,因交通較擁擠, 平均時速為 30 公里,超過 6 公里後就可增快時速為 50 公里,鄧校長每 天到校所需時間從不超過 30 分鐘,問鄧校長的家離學校最遠有多少公 里?(A)21(B)22(C)23(D)24 公里。 Sol)設離家 6 公里後的路程為 x 公里, 6 30+50 x ≦30 60  1 5+50 x ≦1 2, 10+x≦25x≦15,∴最遠有 6+15=21 公里。 (C)9.設-1<x<3且P= 2 1 (6-3x)+ 2 1 ,求P的範圍。(A)5<P<7(B)-1 <P<5(C)5>P>-1(D)7>P>5。 Sol)-1<x<33>-3x>-9 9>-3x+6>-3,∴9 2> 1 2(6-3x)>- 3 2 5>1 2(6-3x)+ 1 2>-1 5>P>-1。 (D)10.已知山路長x公里,若上山每小時走3公里,沿原路下山每小時走5公里 ,且上山與下山的來回時間不超過6小時,則根據題意可以列出下列哪一

(17)

個不等式?(A)3x+5x<6 (B)3x+5x≦6 (C) 3 x + 5 x <6(D) 3 x + 5 x ≦6。

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