Unit 5 一元一次不等式

(1)

, 90 180 - 2 90 , - 2 -90 , 45 , ! 0 45 x x x x x x                    設底角為 ∵ ∴ 別忘了 Unit 5 一元一次不等式 能力指標：◎（A-4-3）能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。 ◎（A-4-4）能利用一次式解決生活情境中的問題。 能力一：不等式的列式 一、不等式的符號介紹凡在數學式中出現「>、<、、、」不等號的式子，即稱為不等式。符號

_>

_<







語意大於小於大於等於小於等於不等於超過未滿不小於不大於高於低於以上（含）以下（含） ◎題目的語意表達並非數學，因此，題目的語意表達需如數學符號般的準確，若不準確易造成爭議，因此，當題目的語意不明確時，可以放棄作答或提出疑問。 eg：（1）姚明的身高在 210 公分（含）以上姚明身高210。（2）姚明的身高在 210 公分以上姚明身高>210。 ◎因為有部份書籍表示『以上』是有包含該數，而『以下』並無，這是無稽之談，因此，若無註記（含），則應視為不含有等號，請同學要特別留意！二、一元一次不等式（一）一元一次不等式係指含有一個未知數的不等式，而且未知數的最高次方為一次方，型如：ax+  等樣式。 b 0 （二）一元一次不等式的解，通常為一個區間或範圍，若未限定『解』的性質（如：正整數、負整數等等），此範圍內的數皆為一元一次不等的解；因此，若此範圍為『封閉區間』則為有限解，若此範圍為『開放區間』則為無限多解。（三）不等式的列式與一元一次方程式的列式意思相同，但須考慮相關已知條件與未知數之大小關係。提醒同學們！不要忽略題目中『未提及的條件』，因為很有可能它們也是必要的條件之一。如以下說明： eg：有一等腰三角形，已知其為鈍角三角形，求其底角的大小範圍為何呢？ sol) 【滿足不等式的值】 講解一：

(2)

下列各數 2 5 , 2 , 1 , 0 , 1 − ，哪些數滿足不等式5x−72呢？解：

( ) ( )

1 5 −1 −7=−12 , −122；

( ) ( )

2 50 −7=−7 , −72；

( ) ( )

3 51 −7=−2 , −22；

( ) ( )

4 52 −7=3 , 32；

( )

2 2 11 , 2 11 7 2 5 5 5 − =       _。 Ans：2 , 2 5 。練習一：下列各數−8,0,8,哪些數滿足不等式2

(

x−3

)

+3

(

x−1

)

+3呢？解：

( ) ( )



_

_{( )}

_



, 19 6 , 不成立 6 3 1 8 -19 3 3 8 2 1 − −    − = + − − = + − −

( ) (

₍

₎

)

, 3 4 , 不成立 4 3 1 0 3 3 3 0 2 2    ₋ _ = + + − = + −

( ) (

₍

₎

)

   _ = + + = + − 成立 , 12 13 , 12 3 1 8 13 3 3 8 2 3 Ans： 8 。 【依題意列出不等式】 講解二：下表為宇宙明星高中的普通班級資優班入學標準：學測分數未滿 275 分 275 分以上(含)，未滿 285 分 285 分以上(含) 錄取情形未錄取普通班資優班請依題意列出不等式： ○1 已知芸婷可錄取普通班，假設其分數為 x 分，則 x 的範圍為何？ ○2 假設吟青的學測分數為 y 未滿 275 分，請列出不等式及錄取情形。 ○3 假設珮羚的學測分數為 z 不小於 285 分，請列出不等式及錄取情形。解：○1 ₂₇₅ x₂₈₅，○2 _y₂₇₅（未錄取），○3 _z₂₈₅（錄取資優班）。練習二：鈞偉到體育用品店購買運動鞋，老闆向其推薦的球鞋定價全面打七折，至少可以讓他省下 320~360(元)；adidas 的球鞋促銷價為定價的 20％OFF，至少可以讓他省下 300~320(元)，假設的球鞋定價為 x 元，adidas 的球鞋促銷價為 y 元，請列出兩款鞋的不等式為何？解：○1 ₃₂₀ _x−₀_.₇_x₃₆₀。○2 ₃₀₀₁_.₂₅_y−_y₃₂₀。 【不等式應用】

(3)

小華老師每天開車往返學校與家裡，全程共計 105 公里，若公路的速限規定在 50~70(含 50、70) (公里/小時)之間，若在速限之內走完全程，花費的時間相差多少分鐘呢？解：依據速度公式 v s t vt s= , = 可知，

(

)

(

)

(

)

(

)

     = = − = = = = 分鐘小時小時小時最長最短 36 6 . 0 5 . 1 1 . 2 , 1 . 2 50 105 5 . 1 70 105 t t ，Ans：36 分鐘。練習三：銳跑運動飲料，其營養成分的標示中，鈉離子的含量為每 1 公克有2 0.5

(

毫克

)

，假設一罐銳跑運動飲料為 150（公克），則其納離子含量的範圍為何（以公克表示），請以不等式表示。（1 公克=1000 毫克）解：假設一罐飲料的鈉離子含量為 x 公克

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

   = = −  = = = +  = 公克毫克鈉公克毫克鈉最少最多 225 . 0 225 5 . 0 2 150 375 . 0 375 5 . 0 2 150 ，0.225 x0.375（公克）。 Ans：0.225 x0.375（公克）。 【十分鐘即時練習】 （1）育杰的父親今年 x 歲，五年後父親還不到退休的年齡 65 歲，請列出 x 的不等式為何？x+5 65。（2）啟倫買了一包洋芋片，其包裝標示重量為30  （克）2 ，若以 x 表示洋芋片的實際重量的範圍，則可列出不等式為何？28 x32。（3）已知 a+30 , b−30，則下列何者一定為正數呢？ ○4 _。 ○1 _a+₁，○2 _a+₄，○3 _b−₂，○4 _b+5。（4）若 x 為整數，且滿足0x b的解與滿足0 x a的解，其個數一樣多，求a − 的最大值為何？ b 1 。解：（當 b 為整數且 a=b+1 時，解的個數一樣多。）（5）能夠滿足x−3 且 x−2的整數 x 有多少個呢？ 1 。解：（當x−3且x−2時, −3 x−2 , x=−3

( )

1個） 能力二：不等式的性質 一、不等量的遞移性假設有 a、b、c 三實數，依據不等量的遞移性有下列情況：

(4)

( )

(

)

1 2 3 4 a b b c a c a b b c a c a b b a a c a b b a         =   當且則當且則當且則當且則矛盾不成立二、不等式的運算性質假設 a>b，依據不等量公理，有下列情形：

( )

(

)

(

)

1 2 - -3 4 0 0 a c b c a c b c a c b c c a c b c a c b c a c b c c +  +       _{ }            _{ }      乘除負數時不等當時當時號要變向三、一元一次不等式的圖解 【不等量的遞移性】 講解四：

假設有 a、b、c 三個正整數及 x、y、z 三個負整數，已知 b 大於 a，而 c 不大於 a，又 x 小於 y，且 y 不大於 z，請問 b、c 及 x、z 的大小關係。解：○1 _b_a_且_a_c_,_b_c。 ○2 _x _y_且_y _z_x_z。練習四：假設 a、b、c 是三個正數，若a b b c 2 1 , 3 1 ₌ = ，試比較此三數的大小關係。（1）x>k （2）xk （3）x<k （4）xk （5） xk 或 x-k x k且k 0 （6） -k  x k x k且k 0

(5)

解： c b a c b c c b b a b b a       =    = 0 2 1 , 0 3 1 且且   講解五：假設不等式−3a5，求下列各式的範圍為何？ ○1 −₃_a_○2 _{4 −}_a ₄_○3 _{7 −}_a ₂ 解：○1 原式=

( ) ( ) ( )

−₃  −₃  −₃_a₅

( )

−₃_,₉−₃_a−₁₅ ○2 原式=₄

( )

−₃ ₄_a₄₅_,_-₁₂−₄₄_a−₄₂₀−₄_,−₁₆₄_a−₄₁₆ ○3 原式=

( )( ) ( )

−₃ −₂  −₂_a₅

( )

−₂ _,₆+₇₇−₂_a 

(

−₁₀

)

+₇_,₁₃₇−₂_a−₃ 練習五：假設1 a4，試求− a3 −2的最大與最小的整數值為何？解：原式=1

( ) ( )

−3  −3a4

( )

−3 ,−3−3a−12,−3−2−3a−2−12−2 −5−3a−2−14 , −3a−2的最大整數值為-5,最小整數值為-13。 【不等式的整數解與圖示】 講解六：若要滿足 −1 x k的整數 x 共有 6 個，則 k 有哪些整數呢？並畫出不等式的圖示。解：−1xk −1,0,1,2,3,4共有6個整數。練習六：若axb，其中 a、b 為整數，且滿足 x 的所有整數解為−12,−11,−10 0,1,2，請寫出不等式及其圖示為何？解：−13x2。 【十分鐘即時練習】 （1）若 2、8、x 為三角形的三邊長，且 x 為正整數，則 x 為 7、8、9 。解：8−2x8+2 , 6x10 ,x=7,8,9 （2）假設3a8 , 5b10，試填下列之空格。 ○1 ₈_<a+b<₁₈_○2 _-7_<a-b<₃ ○3 ₁₉_<3a+2b<₄₄_○4 _-3_<b-a<₇ 解：○1 ₃+₅_a+_b₈+₁₀_,₈_a+_b₁₈。 ○2 −₅−_b−₁₀_,−₁₀−_b−₅_,₃+

(

−₁₀

)

_a+

( )

−_b ₈+

( )

−₅ −7a−b3。 ○3 ₉₃_a₂₄_,₁₀₂_b₂₀₉+₁₀₃_a+₂_b₂₄+₂₀ 0 4 -1 2 0 -13

(6)

193a+2b44。 ○4 −₃−_a−₈_,−₈−_a−₃_,₅+

( )

−₈ _b+

( )

−_a ₁₀+

( )

−₃ −3b−a7。（3）假設−1a0，則 a、-a、 a 1 三數中，何者最大 -a 。解： a a a0  1 − 。（4）已知−2a1，且 P=1-2a，求 P 的範圍 −11−2a5。解：−2a1 , −2−2a4 , −11−2a5 。（5）已知−9x5，則 x 的最大值為 9 。解： −9 =9 , 5 =5 ,  x 的最大值為 9。 能力三：一元一次不等式與應用 一、解一元一次不等式的步驟（一）認明不等式之題型：若一數學式中含有兩個（種）不等號時，就以聯立方程式方式處理。若單純僅有一個（種）不等號，即以類似一元一次方程式方式處理。（二）分數型之不等式：若遇到有分數時，將全式乘以分母之最小公倍數。（三）小數型之不等式：若欲小數時，將全式乘以10n。（四）化簡之步驟：執行步驟（一）、（二）將相關係數化為整數後，再按照去括號法則或分配律進行化簡。（五）移項整理之步驟：以移項性質，將含有未知數的項移到不等號的任一邊後，合併或化簡。 ◎需注意未知數前的係數，若為負數時，移項時需將不等變向。（六）以不等量公理驗證：最後再次檢驗『不等號的方向』是否正確。（建議以不等量公理驗證之）二、一元一次不等式解的情況 假設有一元一次不等式 ax b ，其解有下列情況：

(7)

( )

1 0 2 0 3 0, 0 4 0, 0 b a x a b a x a a b x a b x       =   =   為任意實數無解 【解一元一次不等式】 講解七：解下列一元一次不等式： ○1 ₈

(

_x−₁

) (

₃₂_x−₃

)

+₄ ○2

(

)

      ₋  − − 3 2 22 2 1 1 2 3 x x 解：○1 2 3 , 8 5 2 , 4 9 6 8 8 −  − + − +   x x x x 原式 ○2 3 1 , 13 2 13 , 13 3 1 1 3 , 3 1 11 1 2 3− +  − + +     x x x x x 原式練習七：解下列一元一次不等式： ○1 ₂ 7 6 1 3 2 ₋ _ ₋ x x ○2 ₂

(

_x−₃

) (

₃ _x+₂

)

解：○1 4 21 , 4 21 1 , 1 21 18 14 , 1 7 6 3 2        −  −  −  − −  −  x x x x x 原式 ○2 原式₂_x−₆₃_x+₆_,−₆−₆₃_x−₂_x_,_x−₁₂ 【解一元一次聯立不等式】 講解八：解下列一元一次聯立不等式： ○1 ₇−_x₁₄+₂_x₄_x+₂₂ ○2 ₈ 5 3 2 2 x−  解：○1 3 7 18 18 , 2 36 , 12 4 2 14 3 7 , 3 7 , 2 14 7 _ _       +  +   − +  −  x x x x x x x x x 原式 ○2 2 43 2 13 , 43 2 13 , 40 3 2 10 5  −      同乘於 x x x 原式

(8)

練習八：解下列一元一次聯立不等式： ○1 ₇_x−₁₀₃

(

−_x−₂

)

₁₀ ○2 −₂₀−₄_x+₆₂₀ 解：○1 2 7 5 2 2 7 , 14 4 , 20 6 4 5 2 , 4 10 , 6 3 10 7           +   − −  −  x x x x x x x x x 且原式 ○2 2 7 2 13 , 4 14 4 26 , 14 4 26   − −   − −  −  −  x x x 原式 【一元一次不等式應用問題】 講解九：若ABC 為銳角三角形，且A=CB，請問 A 的範圍為何？解：A+B+C=180 , A+C90A+A90,A45 A+B+

( )

A 180, A+A+A180 , 3A180,A60   60 45    A 。 Ans：45 A 60。練習九：已知ABC 為銳角三角形，DEF 為鈍角三角形，且ABC及 F E D   ，求 A 、 C 、 D 、 F 的範圍為何？解：○1 _A_B_C_A₉₀ _,_B₉₀_,_C₉₀ 60 , 180 3 , 3 60 , 180 3 , 3          +  +         +  +     C C C B A C A A C B A A 故 0A60 , 60C90。 ○2 _D_E_F三角形任一角為₉₀即為直角三角形  90F 180 ,  0D90 講解十：櫻怡全家及親戚一起到日月潭露營，傍晚分配帳篷時出現狀況，如果每頂帳篷睡 5 個人，則有 7 個人沒得睡；如果每頂帳篷睡 6 個人，則有 1 頂帳篷沒睡滿，請問他們最多及最少帶了幾頂帳篷呢？解：設有 x 頂帳篷，全部的人數為

(

5 +x 7

)

人。

(

5 7

) (

6 1

)

6 , 1 5 7 6 6 6 , 1 13 6, 1 x+ − x−   x+ − x+  −x+    −  −  −

(9)

Ans：他們最多可能帶了 12 頂帳篷，最少帶了 7 頂帳篷。練習十：一年 18 班辦班級慶生會，老師帶了柳橙汁 1000（毫升），其濃度為 17％，因為濃度太濃所以加入了礦泉水 x（毫升）之後，濃度降低為 10％，請問加入礦泉水 x 的範圍為何？解：100015%10%

(

1000+x

)

, 150100+0.1x , 500.1x, 500x。 Ans：x>500(毫升) 【十分鐘練習題】 （1）因為油價上漲，良宜的父親挑選優惠最多的 Lexus 加油站加油，每次加油滿 600 元，可獲贈面紙一盒，若良宜的父親加油花了 x 元，獲得 5 盒面紙，則 x 的範圍 3000 x3600。解：6005 x6006 , 3000 x3600。（2）滿足

(

3

)

1 6 3 1 2 + −  − x 的最大整數 x 為何？ 15 。解：−6 x+3−118 , −8x16。（3）本學期數學週考有 4 次，雅姿前 3 次的成績為 65、76、83，若想要平均成績達到 80 分（含）以上，請問前 4 次成績的範圍（設第 4 次成績為 x，總分為 100 分）96 x100。解：

(

)

100 96 , 100 96 , 320 224 , 80 4 83 76 65       +   + + + x x x x x 且  （4）若a+5, a ,a−5，為三角形的三邊長，求 a 的範圍 a>10 。解：a−50 , a+5a+

(

a−5

)

, a5 or 10a  取a 10 （5）若 a 是正整數，且 4 3 6 3 1 _ _ a ，求 a 的個數有幾個呢？ 9 個。解： ,

(

17 9

)

1 9個 8 6 6 18 6 , 4 3 6 3 1 _ _ _ _ ₋ ₊ ₌ a a 。 【基本觀念題】 （ B ）1. 一元一次不等式2x−3713−6x的解為 x，其圖示為下列何者？ ○A_○B_○C_○D 解： x 5 1 , 6 6 , 6 13 7 5 , 10 2 6 13 7 3 2      −  − −     −   − 取 x x x x x x x （ D ）2. 正義家中的洗衣機最大的洗衣量為 30 公斤，今天媽媽要洗 x 件的被單和重量 13 公斤的衣服，其中被單每件重量 2 公斤，根據題意可列出不等式為何？ ○A ₁₃_x+₂₃₀_○B ₁₃_x+₂₃₀_○C ₂_x+₁₃₃₀

(10)

( )

( ) (

4 12

)

2 3 14 21 16 2 3 35 21 3 12 12 3 21 3 4 7 14 2 4 2 7 2  −  −  +  −  − + −   −  −  −  −   −   −   −    − b a b a b b a a a 同乘同乘

(

)

( ) ( )

(

)

( ) (

)

(

)

( ) ( )





(

)

( ) (

)

(

不符合

)

不符合不符合符合 1 2 , 1 0 1 2 1 2 , 1 2 1 2 1 2 , 1 1 2 2 1 0 , 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 5   −   + −   −   −  +   −  − +  − − D C B A y x y x y x y x ○D ₂_x+₁₃₃₀。（ A ）3. 承上題，下列何者不是媽媽這一次洗衣服時被單的件數呢？○A_{9 件} ○B_{8 件 ○}C_{7 件 ○}D_{6 件。} （ C ）4. 亭昀解一元一次不等式 −

(

x−3

)

5x+1 的步驟如下圖，請問她從哪一個步驟開始發生錯誤呢？○A_{（一） ○}B_{（二） ○}C_{（三） ○}D_沒有錯誤。（ B ）5. 已知柏超、昆勳、仲寬等三位同學的體重分別是 66 公斤、62 公斤、 x 公斤，三人平均體重不超過 61 公斤，依據此關係可以列出不等式為下列何者？○A

(

₆₆+₆₂+_x

)

₂₆₁_○B

(

)

₆₁ 3 1 66 62+   + x ○C

(

)

₆₁ 3 66 62+ _ + x ○D

(

)

₆₁ 3 62 66 3 + +x _ 。（ D ）6. 承上題，請問仲寬的體重應該為下列何者呢？○A_{58 公斤 ○}B _{57 公斤} ○C_{56 公斤○}D_{55 公斤。} 解：

(

)

61 ,

(

61 3

) (

66 62

)

, 55 3 1 62 66+ +x   x  − + x （ A ）7. 假設有不等式−2a7 , −7b4，試求2 −a 3b的範圍為何？○A 35 3 2 16 −  − a b ○B ₈₂_a−₃_b−₇○C −₁₆₂_a−₃_b₃₅₅₆ ○D ₈₂_a−₃_b−₇。解：（ A ）8. 試判斷下列各數對（x,y），何者是5x−y−33x+ y−2的解為何？ ○A

( )

₁_,₁ _○B

( )

₂_,₁ ○C

(

−_{1 −}_, ₂

)

○D

( )

₁_,₀ 。解：（B）9. 解不等式 1＜3 －x 1≦2=？

(

)

( )

( ) ( ) ( )

( )

3 1 6 2 6 6 2 6 1 5 3 1 5 3   −  −  −  −  −  −  +  + −  +  − −  x x x x x x x 四三二一原式

(11)

(

)

30 17 3 200, 30 17 51 200 8 47 149, 3 47 x x x x x x + +  + +    （A）1＜x≦5 2（B）1＜x≦3 5 （C）1＜x≦2 5（D）1＜x≦ 3 5。 Sol) 2＜3x－1≦4，3＜3x≦5，∴1＜x≦ 3 5 （C）10.不等式 2x－ 3 5 ＞x＋4 的最小整數解為何呢？（A）4（B）5（C）6（D） 7。 Sol)同×36x－5＞3x＋12，3x＞17x＞5 3 2 _∴x＝6 （A）11.若 4a－3b≦－5，試比較 b－ 3 4 a 與 1 2 1 的大小。（A）b－ 3 4 a＞1 2 1 （B） b－ 3 4 a1 2 1 （C）b－ 3 4 a<1 2 1 （D）b－ 3 4 a1 2 1 。 Sol) 4a－3b≦－5 同乘於（－ 3 1_）_ b－ 3 4 a≧ 3 5_＞1 2 1 （D）12. 9≦3x≦x－4 的解為下列何者呢？ (Ａ) 3≦x 或 x≦－2 (Ｂ) x≧－2 (Ｃ) x≦3 (Ｄ)無解。 Sol) 9≦3x 且 3x≦x－43≦x 且 2x≦－4，x≦－2 ∴無解 【溫故歷屆基測試題】 （B）1.小君帶 200 元到文具行購買每枝 17 元的鉛筆和每枝 30 元的原子筆。若小君買的鉛筆比原子筆多 3 枝，則小君最多可買到幾枝鉛筆？ (Ａ) 2 (Ｂ) 3 (Ｃ) 4 (Ｄ) 5。【95 基測一】 Sol) 設小君買原子筆 x 支，（A）2. x＝－3 可為下列哪一個不等式的解？ (Ａ) 5≦4－2x (Ｂ) 3x＋5≧－1 (Ｃ)－2x－3≧4 (Ｄ)－3≦－x－8。【95 基測一】 Sol)

( )

A 5 4-2x x -0.5 , B 3x+5 -1 x -2 C -2x-3 4 x -3.5 , C -3 -x-8 x -5             （C）3.有甲、乙兩個箱子，甲箱重 47 公斤，其重量比乙箱的 3 倍還重，且比乙箱的 4 倍還輕。若乙箱重 x 公斤，依題意可得到下列哪一個關係式？ (Ａ) x＞ 3 47 (Ｂ) x＜ 4 47 (Ｃ) 4 47 ＜x＜ 3 47 (Ｄ) 3 47 ＜x＜47。【95 基測二】

(12)

Sol) 47 47>3x, x< 3 47 47<4x, x> 4      依題意（C）4.如圖(一)，等臂天平呈平衡狀態，其中甲秤盤放方塊，乙秤盤放砝碼。若每個方塊、砝碼的重量分別為 x、y，且 x＜y，則經下列哪一選項的操作，可使天平呈圖(二)的狀態？ (Ａ)在甲加放 6 個方塊，乙加放 6 個砝碼(Ｂ)在甲加放 4 個方塊，乙加放 5 個砝碼(Ｃ)從甲取出 3 個方塊，乙取出 3 個砝碼(Ｄ)從甲取出 3 個方塊，乙加放 4 個砝碼。【95 基測二】 Sol) 由甲=乙，且 x<y，3x<3y，-3x>乙-3y。（A）5.如圖是測量一物體體積的過程：步驟一，將 300mL 的水裝進一個容量為 450mL 的杯子中。步驟二，將三個相同的玻璃珠放入水中，結果水沒有滿。步驟三，同樣的玻璃珠再加兩個放入水中，結果水滿溢出。根據以上過程，推測一顆玻璃珠的體積在下列哪一範圍內？（1mL＝ 1cm3）(Ａ) 30cm3_{以上，50cm}3_{以下(Ｂ) 50cm}3_{以上，70cm}3_以下(Ｃ) 70cm3 以上，90cm3_{以下(Ｄ) 90cm}3_{以上，110cm}3_以下。_{【94.基測一】} Sol) 設每個玻璃珠的體積為 x 由步驟（二）知 3 個玻璃珠的體積範圍為 3x450-300， 3x 150  x 50，由步驟（三）知 5 個玻璃珠的體積範圍為， 5x450-300, 5x150, x30。（A）6.下列何者為 1 2x－ 1

3y＞0 的解？ (Ａ) x＝3，y＝2 (Ｂ) x＝2，y＝3 (Ｃ) x＝－3，y＝－2 (Ｄ) x＝－2，y＝－3。【94.基測二】

(13)

Sol) x=3, y=2 , 1x- y=1 1 3-1 2 2 3 2 3 代入

（B）7.如圖是將積木放在等臂天平上的三種情形。若一個球形、方形、錐形的積木重量分別以 x、y、z 表示，則 x、y、z 的大小關係為何？ (Ａ) x ＞y＞z (Ｂ) y＞z＞x (Ｃ) y＞x＞z (Ｄ) z＞y＞x。【94.基測一】

Sol) 2y+z>y+2z y>z 3y+z>x+2y+z y>x x+y+2z>2x+y+z z>x    _       【模擬學力基測試題】 （D）1.哪一個數是 x＋ 119 120 ＋ 999 1000 ≦0 的解？ (Ａ) 0 (Ｂ)－1 (Ｃ)－2 (Ｄ)－ 3。 Sol) x＋1 119 1 ＋1 999 1 ≦0，x＋2＋ 119 1 ＋ 999 1 ≦0 故選 (Ｄ) （B）2.下列不等式，何者不在下列圖示範圍中： ○1 ○2 （A）2≦x＜10（B） x （C）－3＜x（D）-3<x≦3 -3 （A）3.試比較（1 1000 999 ）5_和（1 1000 999 ）4_的大小。_（A）（1 1000 999 ）5_＞（1 1000 999 ）4 （B）（1 1000 999 ）5_<（1 1000 999 ）4_（C）_（1 1000 999 ）5_（1 1000 999 ）4_（D）_（1 1000 999 ） 5_（1 1000 999 ）4_。 Sol) 1 1000 999 ＞1 ∴（1 1000 999 ）5_＞（1 1000 999 ）4

(14)

（B）4.同時滿足 2x－ 2 3 ＞－x＋ 2 1 及 x－ 3 2 ＜－ 3 x ＋1 的解為何呢？（A） 4 5 ＜x ＜ 3 2 （B） 3 2 ＜x＜ 4 5 （C）-2 3＜x＜ 5 -4 （D） 2 -3＜x＜4 5 。 Sol) 2x－ 2 3_＞－x＋ 2 1 3x＞2，x＞ 3 2_，x－ 3 2_＜－ 3 x_＋1_ 3 4_x＜ 3 5_，x＜ 4 5_，∴ 3 2_＜ x＜ 4 5 （B）5.若－3 為 x 的不等式 mx－9≧x－2 的一個解，則 (Ａ)m≧－ 3 4 (Ｂ)m ≦－ 3 4 (Ｃ)m≧－ 4 3 (Ｄ)m≦－ 4 3 。 Sol) x＝－3 代入：－3m－9≧－3－2，－3m≧4 ∴m≦－ 3 4 （D）6.已知三角形的三邊長為 a－3，26－a，2a－7，若 a 為整數，則 a 共有幾個？ (Ａ)2(Ｂ)3(Ｃ)4(Ｄ)5 個。 Sol)













a－3＋2a－7＞26－aa＞9 a－3＋26－a＞2a－7a＜15 a－3＞0，26－a＞0，2a－7＞0a＞3，a＜26，a＞ 2 7 15＞a＞9 但 a 為整數 ∴a＝10，11，12，13，14 共 5 個（A）7. 福隆火車便當有若干個裝箱，若每箱裝 14 個，則餘 36 個；若每箱裝 18 個，最後一箱裝不滿，當至多可裝 a 箱，至少可裝 b 箱，則 a－b＝？（A） 3（B）4（C）5（D）6。 Sol) 設有 x 箱 ∴18（x－1）＜14x＋36＜18x18x－18＜14x＋364x＜54， x＜13 2 1 14x＋36＜18x36＜4x，x＞9 ∴9＜x＜13 2 1 ；∴最小 b＝10，最大 a＝13 ∴13－10＝3。（C）8. 太平洋 SOGO 百貨公司的商品，都照成本加 25％的利潤做為定價，週年慶大減價，MP4 一臺照定價便宜 500 元售出尚可賺成本的 5％（含）以上，則該 MP4 成本最少為多少元。（A）1999 元（B）2000 元（C） 2500 元（D）3000 元。 Sol)設 MP4 成本 x 元，則定價 x＋0.25x＝1.25x， ∴（1.25x－500）－x≧0.05x0.2x≧500，x≧2500，∴成本最少 2500 元（B）9.一個三角形的底長 10 公分，高為（2x－7）公分，面積不大於（5x＋20）平方公分，則 x 範圍為何呢？（A） 2 7 ≦x≦11（B） 2 7 ＜x≦11（C）7 3≦ x≦11（D）7＜x≦11。

(15)

Sol) 2x－7＞0x＞ 2 7 ；5x＋20＞0，x＞－4，又 10（2x－7） 2 1 ≦5x＋20， 2x －7≦x＋4x≦11 ∴ 2 7_＜x≦11 （C）10.高雄科學工藝博物館的入場券規定：50 人（含）以上打八折，100 人（含）以上打 7 折。今有奇鼎國中 2 年 18、19 班共二班的人數在 50 人到 100 人之間，則此二班最少多少人時，買 100 張入場券反而便宜？（A）66（B） 77（C）88（D）99。 Sol) 設有 x 人以上（50x100），∴0.8x＞1000.7x＞ 8 . 0 70 _{＝87.5，∴x 最小整} 數值 88。 【進階練習題】 （D）1.若甲、乙、丙皆比 0 小，且甲＞乙，則正確的敘述有哪些？○1 _甲＋丙＞乙＋丙； ○2 甲×丙＞乙×丙； ○3 甲÷丙＞乙÷丙；○4（甲－乙）÷丙＞0； ○5 （甲－乙）×丙＜0 ； ○6 甲÷乙＞0。（A）○1 _○3 _○4 _（B）○2 _○3 _○5 _（C）○3 _○4 _○6 _（D）○1 _○5 _○6 Sol)甲＞乙甲＋丙＞乙＋丙甲＞乙（甲－乙）×丙＜0，甲＜0，乙＜0，甲 ÷乙＞0 ∴正確的敍述有○1 _○5 _○6 _。（C）2.奇鼎國中國二理化段考有一考題如下所示：今有 4％的食鹽水 300 公克和 9％的食鹽水多少公克（含）以上混合，可得濃度在 6％（含）以上的食鹽水。（A）100（B）153（C）200（D）253。 Sol) 設 9％的食鹽水 x 克，則 3004％＋x9％≧（300＋x）6％， 12＋0.09x≧18＋0.06x0.03x≧6 ∴x≧200 （D）3. 第 100 屆立法委員選舉，假設花蓮縣第一選區有選票 12000 張，有 10 位候選人要選上 3 位，則候選人花媽至少要得多少張選票，才能篤定當選呢？（A）2998（B）2999（C）3000（D）3001。 Sol) 設需 x 張，（3＋1）x＞12000，∴x＞3000，但 x 為正整數∴3000＋1＝3001。（A）4.解不等式   3x＋71＜25x＋5 8x＋5＞12x－15。 （A）3＜x＜5（B）3＞x＞5（C）3＜x＜7（D）7＞x＞5。 Sol) 3x＋71＜25x＋566＜22x ∴x＞3；8x＋5＞12x－1520＞4x ∴x＜5， 故 3＜x＜5。 （B）5.如右圖，長方形 ABCD 中，若長方形周長小於 50，且斜線部分面積不小 於 16，求 x 的範圍。 （A）2≦x＜8（B）4≦x＜10（C）6≦x＜12（D）8≦x＜14。 Sol)先求斜線部分面積＝(x＋x＋1)(1＋3)－4 2 x  －3 1 2 x （＋）－ 2 1 1 2 x  （＋）

(16)

＝8x＋4－2x－3 2x－ 3 2－x－ 1 2＝ 7 2x＋2； 依條件列式(x＋x＋1＋4)×2＜502x＋5＜252x＜20，x＜10， 又7 2x＋2≧16 7 2　x≧14，x≧4，∴4≦x＜10。 （C）6.學生若干人，住若干間宿舍，如果每間住4人，還餘19人；如果每間住6 人，則有一間住了人但沒有住滿，設宿舍有x間，則宿舍間數。（請寫出所有答案）。（A）8、9、10間（B）9、10、11間（C）10、11、12間（D ）11、12、13間。 Sol)設學生總人數(4x＋19)人，則 6(x－1)＜4x＋19＜6x； 6x－6＜4x＋192x＜25，x＜12.5； 4x＋19＜6x19＜2x，x＞9.5 ∴9.5＜x＜12.5； 則x的整數解10，11，12， ∴宿舍有10間、11間、12間。 （D）7.有一堆鉛筆分給學生若干人，若每人分3枝，則最後1人分得1枝（含）以上但不到3枝；若每人分4枝，則恰有4人沒有分到，問學生共有多少人？（A ）9≦x≦10（B）10≦x≦11（C）12≦x≦13（D）14≦x≦15（人）。 Sol) 設學生有x人，∴3(x－1)＋1≦4(x－4)≦3(x－1)＋2  3( 1) 4) 4( 4) 3( x x x x    _  －＋1 4( －－－1)＋２ 3 3 1 4 16 4 16 3 3 2 x x x x    _  －＋－－－＋  14 15 x x      ，∴14≦x≦15， 故x＝14或15，所以學生有14人或15人。 （A）8.鄧校長開休旅車從家中到學校，離家後起初的 6 公里，因交通較擁擠，平均時速為 30 公里，超過 6 公里後就可增快時速為 50 公里，鄧校長每天到校所需時間從不超過 30 分鐘，問鄧校長的家離學校最遠有多少公里？（A）21（B）22（C）23（D）24 公里。 Sol)設離家 6 公里後的路程為 x 公里， 6 30＋50 x ≦30 60  1 5＋50 x ≦1 2， 10＋x≦25x≦15，∴最遠有 6＋15＝21 公里。 （C）9.設－1＜x＜3且P＝ 2 1 (6－3x)＋ 2 1 ，求P的範圍。（A）5＜P＜7（B）－1 ＜P＜5（C）5＞P＞－1（D）7＞P＞5。 Sol)－1＜x＜33＞－3x＞－9 9＞－3x＋6＞－3，∴9 2＞ 1 2(6－3x)＞－ 3 2 5＞1 2(6－3x)＋ 1 2＞－1 5＞P＞－1。 （D）10.已知山路長x公里，若上山每小時走3公里，沿原路下山每小時走5公里 ，且上山與下山的來回時間不超過6小時，則根據題意可以列出下列哪一

(17)

個不等式？(A)3x＋5x＜6 (B)3x＋5x≦6 (C) 3 x ＋ 5 x ＜6(D) 3 x ＋ 5 x ≦6。