1-4 差角公式

1-4 差角公式

1. 求值﹕

(1)cos 20 cos 25 sin 20  sin 25﹒ (2) cos 200 sin100  cos 280 sin160 ﹒

(1)利用和角公式﹐

得原式 ^{cos 20}





       2 ﹒ (2)原式 cos 20 sin 80  cos80 sin 20 





      

 

sin 80 20

    

sin 60 3

     2 ﹒

2. 設90   180﹐180   270 ﹐且

5 cos 3﹐

13 cos 12﹐求 (1)^sin









由平方關係式﹐

得 ^{2 2} 9 16

sin 1 cos 1

25 25

       ﹐ ^{2 2} 144 25

sin 1 cos 1

169 169

       ﹒

因為  2   ﹐ 3 2

    ﹐所以 4

sin  ﹐5 5 sin  13﹒ 利用和角公式﹐

得 sin(  )sincoscos sin  4 12 3 5

5 13 5 13

     

           

33

 65﹒

 

cos   cos cos sinsin 3 12 4 5

5 13 5 13

     

          56

65﹒

3. 設180   270﹐且 3

cos   ﹐求5 ^cos





利用和角公式﹐

得^cos





3 1 4 3

5 2 5 2

 

     

              

3 4 3 10

  ﹒

4. 在△ABC中﹐ 3

cosA ﹐5 5

cosB13﹐求cos C的值﹒

因為A  B C 180﹐

所以^{cosCcos 180}





 

 

cos A B

  





  

3 5 4 12 5 13 5 13

 

      33

 65﹒

5. 已知tan 2﹐^tan





利用正切的和角公式﹐得

 

tan 3

1 tan tan

 

   

   

 ﹒

將tan 2代入﹐得 2 tan

1 2 tan 3





 

  2 tan   3 6 tan

1

tan 7

   ﹒

6. 設  225﹐求







因為  225﹐所以^tan





利用正切的和角公式﹐得 tan tan 1 tan tan 1

 

 

 

  tantan  1 tantan ﹒ 故







 

1 1 tantan tantan

   

 ﹒ 2

7. 已知270   360且 3

cos  ﹐求5 sin2﹐tan2 及 cos2

的值﹒

因為270   360﹐ 3

cos  ﹐ 所以5 4

sin   ﹐5 4 tan   ﹒ 3

(1) 4 3 24

sin 2 2sin cos 2

5 5 25

      ^ ^  

  ﹒

(2) _{2 2}

2 4

2 tan 3 24

tan 2

1 tan 4 7

1 3

 



 

  

 

  

   

 

﹒

(3)因為 135 180 2

    ﹐所以 cos 0 2

  ﹒

利用半角公式﹐得cos ^{1 cos}

2 2

    

1 3 5 2

   2

  5 2 5

  5 ﹒

8. 已知 1 sin cos

    ﹐求下列各式的值： 3 (1)sin 2 ﹒ (2)cos 4 ﹒

(1)因為^{sin cos 1}





3 9

       

1

1 2sin cos

  9

   1

1 sin 2

 9

   ﹐

所以 8

sin 2

  ﹒ 9

(2)利用二倍角公式﹐得cos 4  1 2sin 2² 

8 2

1 2 9

     

47

 81﹒

9. 設等腰三角形的底角為 ﹐頂角為﹐且 5

sin 13﹐求 cos 的值﹒

 

cos cos 180 2 cos 2

 





   5 2

1 2 13

 

     

119

 169﹒

10. 設sin 為方程式4x²  x4 30的一根﹐求cos2 的值﹒

解方程式4x²4x 3 0 ^







x 2

  或 3

 ﹒ 2 因為 1 sin 1﹐所以 1

sin  ﹒ 2

利用二倍角公式﹐得cos 2  1 2sin²

1 2

1 2 2

      1

 ﹒ 2

11. 求sin 33 cos 33 sin11 cos11

 

  的值﹒

利用三倍角公式﹐

得原式

3 3

3sin11 4sin 11 4cos 11 3cos11

sin11 cos11

     

 

 



 



     





6 4 sin 11 cos 11

    

 6 4

 ﹒ 2

12. 如圖﹐在△ABC中﹐B90且CAB之平分線交 BC於 D ﹐ BD

CD3 ﹐求

(1)^cos









(1)因為AD 平分CAB﹐AB AC: BD CD: 1: 3﹐

 

cos 3

CAB AB

  AC  ﹒ (2)設DAB CAD﹐

由(1)知 1

cos 2

  ﹐即3 ² 1 2 cos 1

   ﹐得3 ² 2 cos   ﹐ 3 又cos 0﹐故得^cos

 

3 3

DAB 

    ﹒