基測試題

(1)

■類題熟練本 P54

■歷屆基測試題 P53、55

■MPB 四邊形 P1∼12 配套指示器

■8 小時

教學時數

理解平行四邊形具有下列性質：

1 任一對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形。

2 兩組對邊等長。

3 兩組對角相等。

4 兩對角線互相平分。

活動 1

■例題 1 連接對角線的動機，可以如下發問來引導學生：

「如果要用三角形的全等來說明邊或角的相等，該怎麼做才會有兩個全等的三角形呢？」

■在平行四邊形 ABCD 中，△ABC 與 △ CDA 的全等 方位不同，顧及圖形學習較弱的學生，可先旋轉成同方位再比較。

教學眉批

■如右圖，平行四邊形 ABCD 中，CD ＝CE ，

∠A＝128°，則 ∠AEC＝ 度。

補充問題 補充問題

A

B

E D 128

C

■93 基測 I 第 17 題

■94 基測 I 第 30 題

■99 基測 I 第 23 題

！

基測試題

(2)

■教學掛圖 6A-

■類題熟練本 P54 配套指示器 教具指示器

1 平行四邊形 ABCD 中，若∠A＝∠B，則四邊形 ABCD 為 形。

2 平行四邊形 ABCD 中，若 AB＝AD，則四邊形 ABCD 為 形。

3 平行四邊形 ABCD 中，若∠A＝∠B 且 AB＝AD，則四邊形 ABCD 為 形。

長方菱

正方

■隨堂練習 2 中，若兩紙帶等寬，則重疊的部分為菱形。

教學眉批

6

(3)

■類題熟練本 P55 配套指示器

■例題 2 要選用哪兩個三角形來說明，

教師可如下發問來引導學生：「包含 O A、 O B 、 O C 、 OD 四條線段的是哪兩個三角形？」

教學眉批

■如右圖，平行四邊形 ABCD 中，AC ⊥ BD，AC＝6，BD＝8，

求平行四邊形 ABCD 面積。

24

A D

B C

(4)

■歷屆基測試題 P54、55

配套指示器

■課本中以三角形的面積公式來說明平行四邊形的面積公式，教師可參考本書P153-7、P153-8 教學資源的補充教材，補充說明三角形面積公式（由長方形面積推得直角三角形面積，再推得一般三角形的面積）。

教學眉批

■96 基測 I 第 19 題

■99 基測 II 第 33 題

！

基測試題

1 如右圖，ABCD 為平行四邊形，則 ∠B＝ 度。

2 （ C ）平行四邊形 ABCD 中，下列敘述何者不一定正確？

A AD ＝BC B △ABD △CDB C AC ＝BD D AC、BD互相平分

＝∼ 補充問題

補充問題

60

A

B C

D

3x°

(x＋20)°

(5)

■求∠BEC 時，課本 中利用平行四邊形對角相等的性質，

教師可補充下列利用同位角及平角的解法：

∠BEC

＝180°－∠CED －

∠ AEB

＝180°－60°－70°

（同位角相等）

＝50°

教學眉批

■如右圖，平行四邊形 ABCD 的面積為 26，

E在 CD 上，求△ABE 的面積。

13

A D

E

B C

(6)

1 如下圖，平行四邊形 ABCD 中，

∠1＝∠2， AB＝10，BC＝8，

求 CE 的長。

2

2 如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠B 的 角平分線交直線 AD 於 F。已知 AB＝6，

BC＝3，求 DE 與 DF 的長。

DE＝DF＝3

A D

E C B

1

8 10

2

A

B C

D F

E

6

3

■經由例題 4 的講解，教師可視情況強調「平行四邊形任一內角平分線可截得等腰三角形」的概念，以加強學生的解題能力。

教學眉批

(7)

■例題 5 第(2)小題可補充下列解法，並強調「平行四邊形的兩條對角線將它分成四個等面積三角形」的概念。

另解一：

因為

△AOD △COB，

△AOB △COD，

且△COD 面積

＝△AOD 面積，

所以

△AOD 面積

＝△AOB 面積

＝△COB 面積

＝△COD 面積，

所以平行四邊形 ABCD面積

＝4×△AOD 面積

＝4×5

＝20。

另解二：

△COD 和△AOD 為 等底同高面積相等的三角形，同理

△AOB 和△BOC，

△AOD 和△AOB，

△BOC 和△COD 亦 是，所以△AOB、

△BOC、△COD、

△AOD 面積相等，

因此平行四邊形 ABCD 面積

＝ 4×△AOD 面積

＝4×5

＝20。

教學眉批

■如右圖，平行四邊形 ABCD 中，已知 AB ⊥CA ， BD＝10 公分，OC ＝3 公分，則 AB ＝

公分，△AOD 的面積為 平方公分。

4 6

A

B

D

C O

＝∼

(8)

理解平行四邊形的判別方法：

1 兩組對邊等長的四邊形會是平行四邊形。

2 一組對邊平行且等長的四邊形會是平行四邊形。

3 兩組對角相等的四邊形會是平行四邊形。

4 兩對角線互相平分的四邊形會是平行四邊形。

■教師可提問：「如果要利用三角形的全等，該怎麼做才會有兩個全等的三角形？」藉此引出對角線，並試著以下列方式引導學生：

有兩組對邊平行才是平行四邊形，

要說明 AD // BC，

必須∠1＝∠3。

要說明 AB // CD，

必須∠2＝∠4。

而由兩個三角形全等就可達成，因此先找找看是否有足夠的全等條件。

教學眉批 活動2

■如右圖，四邊形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA，

則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？為什麼？

因為四邊形 ABCD 的兩組對邊等長（AB＝CD，BC＝DA），

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

A B D

C

(9)

■教師可如例題 6 提問引出對角線，並試著以下列方式引導學生：

有兩組對邊平行才是平行四邊形，已 知 AB // CD，只要 說明 AD // BC 即 可。

要說明 AD // BC，

必須∠2＝∠4。

而由兩個三角形全等就可達成，因此先找找看是否有足夠的全等條件。

■例題 7 教師可提問：「若連接對角線，是否有足夠的條件說明兩個三角形全等？」以免學生誤認為仍然可用連接對角線的方式來說明。教師可試著以下列方式引導學生：

AD 與 BC 要平 行，必須

∠A＋∠B＝180°或

∠C＋∠D＝180°，而這兩式與四邊形內角和

∠A＋∠B＋∠C＋

∠D＝360°似乎很 有關聯，因此從內角和著手。

教學眉批

■如右圖，四邊形 ABCD 中，AB＝CD，且∠A＋∠D＝180°，

則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？為什麼？

因為∠A＋∠D＝180°，所以 AB // CD（同側內角互補）。

又 AB＝CD，所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

（因為一組對邊平行且等長）

A B

D C

(10)

■一組對邊平行，另一組對邊等長的四邊形是否一定為平行四邊形？

否，可能為等腰梯形。 補充問題

補充問題

■教師可試著以下列方式引導學生：

要說明 AB // CD，

必須∠3＝∠4，而 由△AOB 和

△COD 的全等就 可達成，因此先找看看這兩個三角形是否有足夠的全等條件。

■為何「同理」可推 得 AD // BC，教師 宜視情況解說。

教學眉批

(11)

■例題 8 與隨堂練習為各判別方法的應用，將各小題的已知條件與判別方法的條件比較，就容易找到適合的方法。因此藉由本題的練習，鼓勵學生牢記判別方法，才能增進解題能力。

■例題 8 第1小題呼應了 P180 提到的問題：「不經由測量，如何確定菱形是平行四邊形？」

■例題 8 第3小題因為圖形中已有對角線，所以容易引導學生利用課本P183 第4條判別方法。

而例題 5 已建立了

「等高三角形」的概念，因此由 △ AOB 與△BOC 面 積相等，便能了解 底邊 AO、 CO 相 等。

教學眉批

■如右圖，四邊形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠D＝60°，∠1＝52°，

∠2＝68°，則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？為什麼？

因為∠B＝180°－52°－68°＝60°＝∠D

又∠A＝∠C，所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

（因為兩組對角相等）

A D

C B

1 2

(12)

1 若四邊形的四個角相等，則此四邊形是否為平行四邊形？

是

2 若四邊形 ABCD 中，∠A＝∠B，∠C＝∠D，則四邊形是否一定為平行四邊形？

否，可能為等腰梯形 補充問題

補充問題

■隨堂練習2可引導學生如下：

由∠2＝∠3 可知…

由∠1＝∠3 可知…

而第4題圖形中有兩條對角線，就是判別的關鍵。

教學眉批

(13)

■如右圖，已知 A、B、C 三點，利用尺規作圖作一點 D，

使得四邊形 ABCD 為平行四邊形。

作法：

1分別以 A、C 為圓心， BC、AB 為半徑畫弧。

2兩弧交於 D 點，則四邊形 ABCD 即為所求。

補充問題 補充問題 利用尺規作

圖作出正方形及平行四邊形。

■例題 9 亦可利用

「一組對邊平行且等長」的方法（畫一次平行線），或根據平行四邊形的定義（畫兩次平行線）來作圖，但圖形都會比課本的複雜，教師可示範比較。

■作法只是實際作圖的簡要說明，評量時應以實際作圖為主。本教材希望學生在學習寫作法時，能減少不必要的困擾，因此例題 9 的作法3不寫成

「設兩弧在 ∠ A 內 交於 C 點」，只單 純配合作圖說明，

而不刻意強調或排除另一交點。但對於程度較好的學生，教師不妨拋出

「為什麼另一個交 點不會落在∠A 內 部？」的問題，激發學生的思考力。

注意事項

A D

C

B

(14)

■十分鐘輕鬆考基礎篇第 34 回

配套指示器

■第 2 題也可參考課本P168，利用「兩直線被一直線所截的同位角相等，則此兩直線平行」的 性質，作過 C 點平 行 AQ 的直線 M。

■重新布題時，有時利用圖形的旋轉或翻轉，即可達到目的。（如本頁下方的補充問題，就是將隨堂練習 2 翻轉後，所得的新題目。）

教學眉批

■如下圖，已知∠PAQ 及一點 C，利用尺規作圖在∠PAQ 的兩邊 分別作出 B、D 兩點，使得四邊形 ABCD 為平行四邊形。

作法：

1過 C 點作 AQ 的垂線 L。

2過 C 點作直線 M 平行 AQ，且交 AP 於 D 點。

3在 AQ 上取 AB，使得 AB＝CD。

4連接 BC，則四邊形 ABCD 為所求。

C

Q A

P

B L

D M

(15)

了解特殊平行四邊形對角線的性質。

■特殊平行四邊形對角線等長或互相垂直的關係，先讓學生猜測，再以例題和隨堂練習作驗證，猜測正確有助於增強學生學習的信心。

■例題 10 無論選用哪兩個直角三角形作說明，圖形都會重疊，對於圖形學習較弱的學生，教師可如下分開圖形來說明。

■例題 10 亦可用勾股定理來說明：

在△ABC 中，

AC＝ AB²＋BC²

（∠ABC＝90°）

＝ CD²＋BC²

（AB＝CD，對邊等 長）

＝BD（△BCD中，

∠DCB＝90°）

A

B C

D

■回答下列問題：

1長方形的兩條對角線會互相平分且等長。 2菱形的兩條對角線會互相垂直且等長。 3 正方形的兩條對角線會互相平分、垂直且等長。

(16)

1（ C ）下列哪些四邊形的兩條對角線等長且互相平分？

A 菱形、長方形 B 菱形、正方形 C 正方形、長方形 D正方形、平行四邊形 2 已知一菱形的兩對角線長分別為 6 與 12，求其周長與面積。

周長為 12 5，面積為 36 補充問題

補充問題

■因為要利用平角來說明，只能選相鄰的兩個三角形；相對的兩個三角形

（如△AOB 和

△COD）雖也會全 等，但無助於解題。

教學眉批

■「菱形四邊等長且對角線互相垂直平分」是例題 11 的解題關鍵，而由直角三角形自然想到勾股定理，當然是教師該強調的。

教學眉批

(17)

■此隨堂練習，教師可提示學生假設一 邊為 x，並利用勾 股定理與解一元二次方程式解題。

教學眉批

■ 已知一長方形的周長為 12，且其兩對角線長的和為 4 5，求其面積。

8

(18)

■（ D ）如果想檢驗一個平行四邊形是不是一個長方形，

至少要檢驗多少個內角是直角？

A 4 個 B 3 個 C 2 個 D₁個 補充問題

補充問題

了解特殊平行四邊形對角線的判別性質。

活動5

■例題 12 中，

△ ABC 和 △ DCB 有重疊，教師可如前分開圖示來說明。

教學眉批

(19)

■十分鐘輕鬆考基礎篇第 35 回

配套指示器

■例題 13 也可以利用線對稱圖形的觀念說明：

1因為 AC 垂直平 分 BD，所以 AC 是對稱軸，則：

AB＝AD ， BC＝CD 。 2又因為 BD 垂直

平分 AC，所以 BD是對稱軸，

則：

AB＝BC，

AD＝CD。

由1、2得，

AB＝BC＝CD＝

AD

故四邊形 ABCD 為 菱形。

教學眉批

1 某四邊形的兩對角線互相垂直平分且等長，已知其對角線長為 2，

求該四邊形的面積與周長。

面積為 2，周長為 4 2

2 已知一四邊形的四邊長均為 1，且兩對角線等長，求其對角線長。

2

(20)

■無敵大補帖基礎篇 P30∼32

配套指示器

■提醒學生熟記性質與判別的方法。

教學眉批

■如右圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形，求 BC。 11

A

B

D

C y

3y－7 x

x－5

(21)

■類題熟練本 P 61

■考前衝刺 P 20、21

■考前 100 分 P 20、21

■歷屆基測試題 4-2 配套指示器

■98 基測 I 第 11 題

！

基測試題

■第 3 題2可經由觀 察 △ B E F ，再解 題。

教學眉批

■平行四邊形 ABCD 中，若 AB ＝3AD ，CD 和 BC 的差為 12 公分，

則平行四邊形 ABCD 的周長為 公分。

48

(22)

■第 4 題是利用「一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形」的觀念作圖，教師也可補充利用「兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形」的觀念作圖（如下），

並讓學生比較。

教學眉批

■一長方形的對角線長 50 公分，周長為 124 公分，則此長方形的面積為多少平方公分？

672平方公分 補充問題 補充問題

A D E

B C

(23)

■十分鐘輕鬆考進階篇第 16 回

■無敵大補帖進階篇 P25、26

配套指示器

■第 8 題主要是要建立學生「逆敘述不一定會成立」此觀念，教師亦可補充日常生活中，逆敘述不一定成立的實例。

例如：下雨後，馬路會濕。但馬路如果濕了，不代表下過雨。

教學眉批

■一菱形的兩條對角線長為 16 公分、50 公分，則與菱形面積相等的正方形，

其對角線長為多少公分？

20 2公分 補充問題 補充問題