數學考科

大學入學第一次學科能力測驗聯合模擬考

數學考科

一作答注意事項一

考試範圍：第一～三冊全 考試時間： 100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 5 題，選填題第 A. 至 I. 題共 9 題。

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，更正時應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正帶（液）。

未依規定畫記答案卡，使機器無法辨識答案者，其後果考生自行承擔。

作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。

（一） 填答選擇題時，只用 1•2•3•4•5 等五個格子，而不需要用到一，士，以及 6 ' 7 ' 8 ’ 9 ’。等格子。

1~tl ：若第 1 題的選項為 (1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11 ，而考生得到的答案為 7 ，亦 即選項（3）時，考生要在答案卡第 1 列的已畫記（注意不是 7 ），如：

解 ^答 欄

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 一士

1 l 口口圖口口口口口口口口口

例：若多選題第 10 題考生認為正確的選項為 (1 ）與（3 ）時，考生要在答案卡第 10 列的 占與直畫記，如：

︱叫 1

0 一±︱

（二） 選填題的題號是 A. ，日，仁，．．．，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式 填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。

@ 3

例：若第 B. 題的答案格式是可言 ，而依題意計算出來的答案是一，則考生必須分別

8 在答案卡的第 18 列的品與第 19 列的占畫記，如：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 一±

18 I 口口圖口口口口口口口口口

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 一±

19 I 口口口口口口口圖口口口口

@@ 一句

例：若第 c. 題的答案格式是寸石一，而答案是一一午，則考生必須分別在答案卡的第 20

50 列的已與第 21 列的 ι畫記，如：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 一士

20 l 口口口口口口口口口口圖口

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 一±

21 l 口口口口口口圖口口口口口

※試題後附有可能用到的參考公式及數值。

4川川叫叫叫叫呵，ιMMMMM

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祝考試順利

i 版權所有﹒翻印必究︱

第壹部分：選擇題（占 55 分）

一、單選題（占 30 分）

說明：第 1. 題至第 6. 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是最適當的選項，畫吉己在答案卡之

「解答欄」，每題答對得 5 分﹔未作答、答錯或畫記多於一個選項者，該題以零分計 算。

1 若 sinα ＝－% 'cosa>o ，貝lj標準位置角 2α 的終邊在下列哪一個選項？

(1)第一象限 (2 ）第二象限 (3 ）第三象限 (4 ）第四象限 (5 ）坐標軸上

2. 數列： 1 , 1 勻， 1 , 3 ，夕，夕， 1 , 4 ' 42 , 43 , 44 , 45 , 46 , 47 ' 1 , 5 , ... ·（首項為 1 ，公 比為 k 的等比數列出現了 2k一 1 項），依此順序，若第 1000 項為你，貝lj Gn 為幾位數？

(1) 486 (2) 487 (3) 488 (4) 489 (5) 490

l-lOX

3. 若四個函數： fi(x)= I 封 I +x2-2 、 f2(x)=2x 、 J3(x)=0.2x 、 f4(x）＝ 一一一中，有 m 個函數 l+lOx

圓形本身對稱於原點、 n 個函數圓形本身對稱於 y 軸，則 m+2n=?

(1) 3 (2) 4 (3) 5 (4) 6 (5) 7

4. 如右圖所示，平面上的DA.BC 中，立互＝ 1'

BC

DCDG 、 DEBG 的外接圓半徑分別為 R1 、 Rz 、此，試問 R1 、 Rz 、 R3

的大小關條為何？

(1) R1 <R2 <R3 (2) Rz <R1 <R3 (3) R1 =R2<R3 (4) R3<R1 =R2 (5) R3 <R1 <R2

c

G

F

5. 坐標平面上，正方形 ABCD 的四邊均平行坐標軸，且 A(4 ,/(4））、 C(6 ,/(6））均在f(x)=Iogax 圓形上，其中 α＞ 1 ，則。＝？

(1)

Jj (2）主

2"'11

(3 ）」二

3

(4)

if-

(5)

~

2

a 平面上兩相異直線 L : 2x-y=a ' M: 2x-y=b 及圓： （x-4)2+(y-3)2=20 的所有交點恰 形成一正三角形，其中 α ＞ b ’試求。之所有可能值的和為下列何者？

(1) 5 (2) 10 (3) 15 (4) 20 (5) 25

二、多選題（占 25 分）

說明：第 7. 題至第 11. 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的，選出正確選項畫言己在 答案卡之「解答欄」。每題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分﹔答錯 1 個 選項者，得 3 分﹔答錯 2 個選項者，得 1 分﹔所有選項均未作答或答錯多於 2 個選 項者，該題以零分計算。

7. 若f(x） 為實條數多項式，已知 1 +i log32 為方程式f(x)=O 之一根（ i= -J二i ），則下列哪些

(1) 1 +i log2 3

仙 i 1吋

(3) 1+ilogI2

仙 ilog1 ±

(5) 1 +i log.J3

.Ji

8. 有兩組數值資料 x與 y ，其相關條數為 r ’算術平均數分別為 µx 、 μγ 標準差分別為 σx 、 σγ 且 Y 對 X 的迴歸直線方程式為 y ＝ α ＋缸，則下列哪些選項正確？

(1 ）若 σ x=O ，貝IJr=O

(2）若 r=O ，則 σ x=O 或 σ y=O (3）若 r=b 午 0 ，貝ljσ x＝ σy (4）若。＝ o ，則 µx=O 且 µy=O (5 ）若 α＝ o ，則 σ y=

I

9. 若 a•b εR ，已知非零函數f(x）＝ α × （x-5)

+

×

8），則下列哪些還項正

(2 5) (2 8) (5-2) (5-8)

確？

(l)f(x-3） 除以 x-5 之餘式為。

(2）若f(x） 有最大值為 b ’則。＝ o (3 ）若f(x） 沒有最大值，則 α － 2b=O

(4 ）若 y=f(x） 和 x 軸負向沒有交點，則 α ＞ o 且 b<O (5）若 b ＞ 。＞ o ，貝IJJ(x） 之最大值發生在 x=2 與 x=5 之間

10. 坐標平面上。為原點。在下列各方程式的圓形中，請選出圓形上存在兩點 p 、 Q 滿足

5P. δ否＝一 1 的選項。

(1) y=x (2) y=

Ix I (3)1xl+iyl

~ 川＝ ~x2

11. 已知數列 （ an ） ，該數列前 k 項之最大值記為 Ak ’若第 k 項之後（不合第 k 項）的最小值存在，

則記為 Bk ’設 dk=Ak-Bk 。例如： （ an)

=

(1)若 （ an) = (n ! ），則 d3=18

(2 ）若 （ an ） 為公差大於 0 之等差數列，則 （ dn ） 為等差數列

(3 ）若 （ an ） 為首項大於 0 且公比大於 1 之等 tt數列，則 （ dn ） 為等比數列 la1=1

(4）若 （ an ） 滿足遞迴關條﹛ (1γ ，則〈品，〉為等比數列

︱ α ＝仗，十 1-=-1 •n'?.2 I ,,-, \ 4 J

︱。，＝2

(5 ）若 （ an ） 滿足遞迴關條﹛ 1 ，則 （ dn ） 為等差數列

︱。也＝一一一＿， n '?. 2

︱“ I-a 1

第貳部分：選填題（占 45 分）

說明： 1. 第 A. 至 1 題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（ 12-34) 2 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設 α＞ o 且函數f(x)=d ，已知／(log35)=9 ，試求f(log325)= @@ 。

B. 包含企主與午在一共 10 人組成一個讀書會，欲從中選出 3 人分別擔任組長、記錄、資訊蒐 集等工作，則企主與企益不能同時被選上的機率為 百志＠。 。（化為最簡分數）

c. 設。、 bεR ’ αb=2 • a3+b3=40 ，試求 α ＋ b 之值為 @

D. 從 0•1•2•3•4•5•6•7•8 ’ 9 共十個數中任取四個不同的數，再算其標準差，則有

。＠ 種取法可使這四數的標準差與（一 108 ，一 106 ，一 105 ，一 104 ﹜的標準差相等。

E. 已知三角形兩頂點坐標為 A(l, -2）、 B（ 一 3 '0），而第三個頂點 C 在 y 軸之正向上，外心。

在 x 軸上，試求 C 點坐標為

0 ，、府）

F. 半盟有 3 個不同的書櫃’今天他任意把 4 本不同的百科全書、 5 本不同的漫畫書全放進書 櫃，每個書櫃可以放超過一本書，也可以空著，但同一書櫃不可同時放入百科全書及漫畫 書，若同一書櫃內的書不考慮排列順序，則共有 @@@ 種不同的放法。

G 有 10 個好朋友要從 4 個旅遊景點不記名票選出下次出遊的地點。每人可投兩票，兩票可全 部投給同一個地點，亦可投一次或兩次廢票，則這四個景點有 ＠＠＠＠＠種可能的得票 情形。

H. 平面上三點 A(3

5），你， y） ，。為原點，若法 ＝ moA 付房， l 這份陀 O•

試求 x-4y 之最小值為 @@@ 。

I. 如右圖，中盟去夜市玩射擊水球的遊戲，半且在點 A 處進行射擊，已知 M 坡道白設置在垂直於水平面 ABC 之木板 CMB 上，而水球位置 p 沿

著 CM 移動，么盟為了準確瞄準目標點 p ，需計算由點 A 觀察點 P 的

仰角。的大小。若互互＝ 5 公尺，互c=s 公足， oc=s 公足，

LBCM=45 。舟山 B

c

可能用到的參考公式及數值

-b±.Jb2-4ac

1. 一元二次方程式似2+bx+c=O 的公式解： x= ~u 一『＇Ul., La

1 平面上兩點 P酬， YI) 'P2（均收）間的距離為百耳＝ Jc而－x1)2 +

斗一 α (l-rn)

a 首項為 α 且公比為 r 的等比數列月U n 項之和 Sn 一一一一－＇ r午 1 1-r

I

cl

4. 平面上點的例， Yo） 到直線 ax+by+c=O 的距離為 。一~

5. 三角函數的二倍角公式： sin2B =2 sin B cos B

cos 2 B =cos2 B -sin2 B = 1 -2 sin2 B =2 cos2 B - I

a b c

6.

sinA sinB sine

LA.BC 的餘弦定理： c2=a2+b2-2abcos C

7 一維數據 X: XI ，站，．．．．，品，算術平均數 µx

n n 三「

標準差 <Yx

J!; ~（X; -µx叫~（（含，＇）叫）

8. 二維數據 （X, Y) :(x1 ,y1） ，帖， Y2) '··· ...，抖， Yn)'

乏的一片）（Y； 一 µy)

相關條數肘，Y) = i=l

nσxσY

迴歸直線（最適合直線）方程式為 y一片＝ rcx, m 立L(x一µx)

、， σx

9. 參考數值： .J2, ""

.J3 ""

.JS "" 2.236 ，而且 2.449 ， π ＂＂ 3.142

10. 對數值： log102 "" 0.3010 ' log10 3 月 0.4771 ' log10 5 "" 0.6990 ' log10 7 "" 0.8451