熱配馬達轉子對轉軸動態特性之影響與其有限元素 建模之探討
陳炘鏞 黃榮華 楊錫凱
遠東技術學院自動化控制系
摘 要
一般而言，分析一高速主軸的動態特性時，有限元素分析為一相當重要及 常用的方法。然而，有限元素法的分析結果常會有所誤差，此誤差乃由於有限 元素法所建立的模型與實際系統的差異所致。因此，本文提出以模態測試的結 果修正有限元素法所建立的模型，使得有限元素模型能夠更加精準，並且能用 其做更進一步的分析。另外，本文以一每分鐘三萬轉的馬達內藏式高頻增速器 為研究對象，探討轉軸因轉子干涉配合所造成的動態特性變化，並提出可行的 有限元素模型修正方式，由修正結果的比對顯示，此種修正方法具有其實用性。
關鍵詞：高速主軸、模態測試、有限元素法、轉子干涉配合。
THE EFFECT ON THE DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A ROTATING SHAFT BY INTERFERENCE FITTING THE MOTOR ROTOR AND ITS
FINITE ELEMENT MODELING
Shin-Yong Chen Rong-Hwa Huang Shyi-Kae Yang Department of Automation and Control Engineering
Far East College Tainan, Taiwan 744, R.O.C.
Key Words: high speed spindle, modal testing, finite element method, in- terference fitting of rotor.
ABSTRACT
The finite element method is the major way to analyze the dynamic characteristics of a high speed spindle. However, the behavior of a system obtained by finite element modeling is different from a real system. The errors come from the difference between the finite element model and the real system. Therefore, we propose a modified finite element model method by using modal testing results. The modification can improve the accuracy of an original finite element model and can be used for further numerical analysis. In this paper, a 30,000 rpm speed-booster spindle with build-in motor is used as a study case. The interference fitting effect of a motor rotor is discussed. In this case study, we introduce a feasible modifi- cation approach to improve the finite element model. In comparison with results obtained by the modified finite element model and experiments, this improved method shows its practicability.
一、前 言
隨著時代的進步，對於產品的要求也越來越細密、精 確，而不再只是單對它的外觀要求，更在乎它的性能需 求。目前有限元素法的使用範圍非常的廣泛，且其分析功 能非常的強大。因此，利用有限元素法來設計分析新開發 的產品，往往可以縮短在設計上所花費的時間及成本。亦 即一個新產品的研發，大都先建立物體的有限元素模型來 模擬並加以分析其靜、動態特性。但是往往因為所使用的 元素及一些參數上的設定差異(如楊氏係數、密度、界面 結合狀態等)，使得所建立的模型，經有限元素分析結果 與實際系統特性有所誤差。因此常需藉助其他資料對有限 元素法所建立之模型進行修正。所謂模態測試分析，乃直 接對實體結構作模態實驗，經由實驗所得到的頻率響應函 數可以作為比較的基準，並依此實驗結果來驗證及修正有 限元素分析時的參數設定，使得有限元素法在預測實體結 構的動態行為上，能更為接近模態測試的結果。
基 於 利 用 實 驗 的 數 據 資 料 來 修 正 有 限 元 素 法 的 模 型，目前已有相當多的方法被提出。然而在這些方法中，
大部分是基於結構系統的齊性運動方程式(homogeneous governing equation)和正交性條件(orthogonality conditions) 進 行 修 正 。 另 有 一 部 份 的 研 究 是 考 慮 模 態 參 數(modal parameters) 對 質 量 與 勁 度 矩 陣 改 變 做 靈 敏 度 分 析 (sensitivity analysis)。Berman [1] 1979 年所提出的方法 中，特點是不需計算特徵值和特徵向量，用實驗之特徵值 矩陣及模態矩陣直接修改系統的質量和勁度矩陣。但修改 之矩陣為滿矩陣，與有限元素之架構不同，無法直接對照 使用在有限元素中。1983 年 Chen [2]提出從模態實驗的 結果辨識結構參數。利用模態測試分析所得的特徵值矩 陣、模態矩陣及計算所得特徵值矩陣修改結構的物理參 數。Yee 和 Tsuei [3]在 1991 年發表了直接修改模態分析 所得之質量和勁度矩陣的方法。接著 Chen 等人 [4-7]，
從複數模態中擷取正規振型，作為無阻尼振動理論的實驗 基礎。並以動態縮減法降低自由度，達到與模態分析實驗 比較的標準。接著再以Shih 及 Tsuei [8]的方式進行修改 結構。
馬達內藏式高速主軸在精密加工與高速切削上的應 用正不斷成長中，其應用產業包括精密模具加工、硬脆材 料加工、PCB 成型與鑽孔加工、精密光學鏡片加工、半 導體業之晶圓加工、雕刻加工、航太零件加工、輕合金加 工及精密研磨等等，應用範圍遍及各種產業。綜合而言，
馬達內藏式高速主軸對我國之精緻工業的產品製造是關 鍵技術之一。動態分析為開發馬達內藏式高速主軸成功與 否的重要關鍵因素。因此，如何能建立一更加精確的主軸 有限元素模型為本研究之主要目標。一般而言，心軸(shaft)
的各別動態分析是分析的重點之一。然而，馬達內藏式高 速主軸的設計重點之一為將馬達轉子(rotor)利用干涉配合
（熱配）的方式直接與心軸結合，成為一新的轉子-心軸系 統，其轉子與心軸間的結合機制相當複雜。因此，如何精 確有效建立其有限元素模型，為一值得研究的課題。本文 將針對一轉速可達30,000 rpm 的馬達內藏式高頻增速器進 行研究，探討心軸因馬達轉子干涉配合所造成的動態特性 變化，並提出可行之有限元素建模方式。
二、正規頻率響應函數
本研究的研究方法為利用模態測試所得到的頻率響 應函數(frequency response function, FRF)與模態參數為 基準，對有限元素分析結果進行驗證及修正有限元素模 型。有限元素部分乃利用ANSYS 軟體進行建模與分析；
為 了 比 較 有 限 元 素 法 與 模 態測 試 之 頻 率 響 應 函 數 的 結 果，本節將推導由有限元素分析得到之模態參數與正規 頻率響應函數間關係式如下。茲考慮一無阻尼之系統運 動方程式
t
t Kx f(t) x
M&&()+ ()= (1)
其中M，K∈Rn×n分別為質量矩陣(mass matrix)及勁度矩陣 (stiffness matrix)。x、f∈Rn分別為位移響應向量及施加於 系統之激振外力向量。對(1)式取拉普拉氏轉換(Laplace transform)，則可得：
) ( ) ( )
(s s s
s2MX +KX =F (2)
將(2)式轉換成為頻域表示式，令 s=iω， 則 )
(
(−ω2M+K)X(ω)=F ω (3)
由(3)式可得
) ( ) (ω ω
ω H F
X( )= (4)
其中
-1
ω2
ω) )
( M K
H = (− + (5)
稱為系統的正規頻率響應函數(normal FRF)。經由正交方程 式(orthogonal equation)與變數轉換[5] 可得
∑
= −= N
1
r 2 2
r k r j r
jk ω ω
Φ ω Φ
h ( )( )
)
( (6)
表一 心軸各部分尺寸 單位(mm) 部 位
尺 寸 I II III IV V
長 度 27 33 15 86 29 直 徑 25 25 31 18 15 壁 厚 3 12.5 15.5 9 7.5
圖1 建立及修正有限元素模型之步驟
其中hjk代表輸入在k 個節點時，第 j 個節點的頻率響應函 數，rΦ 為經質量正規化後，第 r 個振型向量之第 j 個元素。j
ω 為系統之第 r 個無阻尼自然頻率。模態參數r rΦ 及j ω 可 r 由有限元素分析得到，由第(6)式計算可得有限元素分析之頻 率響應函數，並用其來與模態測試之頻率響應函數做比較。
三、實例研究
1. 有限元素模型建立步驟
一般而言，在設計一工件成品前常常都會利用有限元 素法加以建模與分析，以節省設計工件成品時，因為錯誤 而花費許多時間及成本。對高速主軸而言，由於馬達轉子 熱配於心軸上對於主軸整體的剛性影響是非常大的，若轉 子熱配於心軸上的條件不佳，導致主軸整體的剛性效果不 如預期時，則當高速主軸在高速運轉時，將會因為動態剛 性不夠，使其自然頻率落在操作頻率範圍內，如此無法達 到所需之最高轉速。因此轉子的熱配效果好壞，對於整個 系統的剛性及自然頻率的影響是非常重要的。圖 1 之流程 圖為說明如何利用模態實驗的數據修正有限元素法建立模 型的步驟。首先，建立心軸之有限元素模型，並與實驗結 果作比對及修正，此一步驟的目的為確保心軸的外形尺寸 與材料參數之正確性。其次，將心軸加上轉子建立其有限 元素模型，並與轉子-心軸實體之模態實驗結果作比對，探 討心軸因馬達轉子干涉配合所造成的動態特性變化，並提
圖2 心軸示意圖
圖3 實驗設備架構示意圖
出可行的有限元素的建模方式。最後再加上其他的轉動件 並建立有限元素模型，在此一階段完全不變更前面所修正 設定的材料參數，此一步驟的主要目的是為了驗證上一步 驟之有限元素的建模方法的有效性，測試該方法是否會因 加上其他轉動件而失去其實用性。
2. 心軸模型建立及修正
本研究主要是針對一每分鐘轉速為三萬轉與額定馬力 為1.6 kw 之馬達內藏式高頻增速器進行分析探討。為了能 精準的建立有限元素模型，有幾個細節於建模時必須特別 注意：(1) 參考工程圖面，精密測量轉軸各部位尺寸，並依 此實測尺寸建立心軸之有限元素模型；(2) 由於轉軸均為圓 形橫斷面，因此使用 PIPE16 元素取代一般常用之 BEAM 元素，更為適合且準確。PIPE16 元素為一個直向軸的管元 素，具有6 個自由度，適用於作拉伸、扭矩、壓力等分析；
(3) 高速轉軸在製造流程上會有許多熱處理製程，如表面滲 碳及超深冷處理等，因此密度參數必須由實測體積與質量 求得；(4) 外螺紋部分可以節圓直徑尺寸之圓柱體建模；(5) 一般轉軸在直徑段差處之軸承承靠端面，均會設計逃隙，
此一逃隙並不大很容易被忽視，但其對轉軸的動態剛性影 響不小，因此建模時也須加以考慮。本研究之分析建模的 心軸示意圖如圖2 所示。圖中所標示的數字 1~11 為模態實 心 軸 模 型 建 立
與修正
轉子-心軸模型 建立與修正
轉子-心軸+其它轉動件之模 型建立與驗證
心 軸 實 體 模 態測試結果
轉子-心軸 實 體 模 態 測試結果
轉子-心軸 + 其 它 轉 動 件 實 體 模 態 測 試 結果
表二 微調浦松氏比與自然頻率之結果
浦松氏比 0.32 0.31 0.3 0.29 0.28 自然頻率(Hz) 2534.2 2534.6 2534.8 2535.6 2535.9 表三 心軸之有限元素模型修正前後之參數值
心軸參數 修正前參數 修正後參數
密度(kg/m3) 7847 7847
長度(m) 0.19 0.19
浦松氏比 0.30 0.30
楊氏係數(N/m2) 2.1E11 2.066E11
圖4 心軸實體圖
圖5 心軸之有限元素修正前後與模態測試之頻率響應
函數h5-7結果比較。
驗的量測位置。因為，加速規與衝擊鎚測力規頻寬的限制，
因此所量測的頻率範圍為0 到 5000 Hz。實驗時對每個節點 作 5 次脈衝輸入，分別量其頻率響應函數，並加以平均以 獲得較精確之頻率響應函數。由模態測試的結果可知：在 量測的頻率範圍內僅存在有一個心軸的自然頻率。心軸之 各部位尺寸，如表一所列。實驗設備架構示意圖與心軸實 體圖分別如圖3 與圖 4 所示。心軸經有限元素分析後所得 到第一個自然頻率為2534.8 Hz，而由模態測試所得第一個 自然頻率為2514.3 Hz，此結果相當精確，誤差為 0.808 %。
表四 心軸之有限元素模型修正前後的第一個自然頻率
比較
模態測試 有限元素修正前 有限元素修正後 2514.3 Hz 2534.8 Hz 2514.3 Hz
圖6 心軸之有限元素修正前後與模態測試之頻率響應
函數h5-10比較結果
圖7 轉子-心軸示意圖
有限元素分析結果之自然頻率略高於模態測試結果，
此乃因為有限元素所建立的模型與實際心軸仍有些微的誤 差所致。此一誤差可藉由對有限元素加以修正來降低。首 先，在有限元素材料參數設定方面，由於心軸的密度為經 由計算質量及體積而得，故不予修正。因此針對心軸之楊 氏係數及浦松氏比之參數做修正。首先將工具書給予之楊 氏係數2.1E11 N/m2 固定，對浦松氏比參數作微調，其微調 結果如表二所示。由表二得知，針對浦松氏比參數作微調，
其對整體的自然頻率影響不大，因此，在修正有限元素模 型時，對於浦松氏比的影響不予考慮，僅用工具書所給予 之值即可。其次，對心軸材料之楊氏係數加以微調，透過 ANSYS 所提供的最佳化工具，設定模態測試所得第一個自 然頻率為最佳化目標，而心軸材料之楊氏係數為可調整變 動之參數，得到最佳化楊氏係數為 2.066E11N/m2，心軸修 正前後經有限元素分析與模態測試之比較結果如圖 5 與圖 6 所示，其中虛線為模態測試之頻率響應函數；細線為有限 元素修正前之頻率響應函數；而粗線為修正後之有限元素 頻率響應函數。修正後有限元素分析之頻率響應函數曲線
表五 轉子-心軸之有限元素模型修正前後的第一個自 然頻率比較
模態測試 有限元素修正前 有限元素修正後 3287.5 Hz 2118.4 Hz 3287.5 Hz
圖8 轉子-心軸實體圖
圖9 轉子-心軸之有限元素修正前後與模態測試之頻率 響應函數h5-7結果比較
與模態測試的頻率響應函數曲線相當吻合。亦即心軸部份 以此方式建立模型是可行的。值得一提的是：此處所得之 心軸參數設定，在爾後的分析中不再更改。有限元素模型 修正前後的參數值如表三所示。而有限元素修正前後的第 一個自然頻率與模態測試的頻率結果如表四所示。
3. 轉子-心軸模型建立及修正
經過前一節之心軸有限元素模型修正建立後，接著在 心軸上熱配馬達轉子，干涉量為 0.025mm，其位置如圖 7 所示，其實體圖如圖8 所示。對於熱配轉子後之轉子-心軸 系統的有限元素建模，分兩方面加以比較探討。首先，僅 考慮馬達轉子的質量與其質量慣性矩對心軸之影響，此部 分使用可描述一系統之質量的矩陣元素MATRIX27 加以建 模。經有限元素分析後，得到第一個自然頻率2118.4 Hz。
然而當轉子熱配於心軸上之轉子-心軸實體結構，經模態測 試後所得到的第一個自然頻率為3287.5 Hz（如圖 9 所示），
圖10 轉子-心軸之有限元素修正前後與模態測試之頻率 響應函數h5-10結果比較
有限元素分析結果與實驗得到之結果差距甚遠。亦即馬達 轉 子 熱 配 於 心 軸 後 ， 其 第 一 個 自 然 頻 率 由 原 先 心 軸 之 2514.3 Hz 提高至 3287.5 Hz，增加約 773 Hz，而並非因質 量效應而降低至2118.4 Hz，此一現象說明熱配件的有限元 素建模，不可以單純之質量效應考慮，也必須同時考慮熱 配件剛性對心軸影響。因此，由圖9 之模態測試結果可得：
馬達轉子熱配於心軸上造成轉子-心軸的第一個自然頻率提 昇，亦即心軸熱配轉子後剛性因應提高，此一現象我們稱 其為局部剛性提昇效應，也就是說心軸在熱配轉子的位置 處的剛性提高了。基於此一觀點，轉子-心軸系統在有限元 素建模時，除應計算轉子的質量效應外，局部剛性提昇效 應也須一併加以考慮。然而，馬達轉子以矽鋼片推疊起，
其中間穿插有鋁（或銅）棒，並在兩端加以壓緊固定，要 以有限元素對此建模是相當困難的，同時轉子與心軸為採 干涉配合，其結合界面的剛性亦是難以獲得。由另一角度 思考，因為轉子熱配後，會在轉軸表面上造成壓縮應力，
由於轉軸一般均屬細/長比小的結構，因此對於抵抗彎曲 (bending)的能力較弱，使得轉軸的前幾個自然頻率均為彎 曲振模(bending mode)。值得注意的是，當轉軸在彎曲振模 時，其表面會有應力正負（即張應力與壓應力）交替變化 的特性，所以其必先克服轉子熱配後所造成的壓應力後，
才能有彎曲振型產生，亦即在轉子熱配處的剛性提高了，
而此一剛性的提高可以被合理的推論其楊氏係數提高。所 以，我們藉由調高轉子熱配位置處之心軸材料的楊氏係 數，以模擬此一局部剛性提昇效應。同樣以ANSYS 所提供 的最佳化工具，設定轉子-心軸模態測試所得第一個自然頻 率為最佳化目標，而以轉子熱配位置處之心軸楊氏係數為 可 調 整 變 動 之 參 數 ， 得 到 最佳 化 楊 氏 係 數 為 5.653E11 N/m2。經修正轉子熱配於心軸上之局部剛性後，有限元素 分析所得到的頻率響應函數與模態測試的頻率響應函數相 當的接近，如圖9 與圖 10 所示。轉子-心軸經有限元素修正 前後與模態測試的自然頻率比較如表五所示。經由比較所
表六 轉子-心軸+其他轉動件之有限元素分析與模態測 試結果比較
模態測試 有限元素分析 誤差百分比(%) 2647.8 Hz 2650.6 Hz 0.105
圖11 轉子-心軸+其他轉動件示意圖
圖12 轉子-心軸+其他轉動件實體圖
得結果可知，強化心軸熱配位置處之局部剛性的建模方法 為一相當簡單實用且可行的方式。
4. 轉子-心軸+其它轉動件之模型建立及驗證
經過前面二節的修正，轉子-心軸的建模已相當的準 確，也合乎所預期的結果後，心軸及馬達轉子的參數便固 定不再修正。接著再將其他精密滑動配合的轉動件加入有 限元素模型中。此主軸之滑配轉動件計有：前/後軸承壓環、
前軸承內間隔環及前/後軸承內環。加上滑配轉動件後之示 意圖如圖11 所示，其實體圖如圖 12 所示。因為這些轉動 件是滑配於心軸上，不像轉子是熱配於心軸的，所以本身 的 剛 性 對 於 心 軸 不 會 有 影 響 或 可 以 忽 略 ， 因 此 以 MATRIX27 加質量的方式做有限元素建模。經有限元素分 析得到其自然頻率為 2650.6Hz，而模態實驗所得到的自然 頻率為 2647.8Hz，結果亦相當的接近。其頻率比較及誤差 如表六所示。圖13 與圖 14 為有限元素分析與模態測試之 頻率響應函數之結果比較。由這些結果可知加上轉動件之 心軸經有限元素分析得到的頻率響應函數與模態測試的頻
圖13 轉子-心軸+其他轉動件有限元素分析與模態測 試之頻率響應函數h5-7結果比較
圖14 轉子-心軸+其他轉動件有限元素分析與模態測 試之頻率響應函數h5-10結果比較
率響應函數相當的吻合。這也間接說明了，前節之轉子-心 軸的建模方式是可行的。
四、結 論
本文提出以模態測試的結果來驗證及修正有限元素分 析時的參數設定，使得有限元素法在預測實體結構的動態 行為上，能更為接近模態測試的結果。文中以一每分鐘三 萬轉的馬達內藏式高頻增速器為研究對象，探討心軸因轉 子干涉配合所造成的動態特性變化，並提出可行的有限元 素模型修正方式，由修正結果的比對，可以得到下列幾點 結論：
1. 建立心軸有限元素模型可經由對心軸材料之楊氏係數微 調修正後，其所得之頻率響應函數與模態測試所量得之 頻率響應函數曲線更為一致。
2. 馬達轉子熱配於心軸上，會有局部剛性提昇現象，使得原 本心軸的動態剛性大為增加，設計分析時必須加以考慮，
否則會造成極大的分析誤差。換言之，此局部剛性提昇現 象對設計馬達內藏式高速主軸提供更大的彈性與空間。
3. 對於馬達轉子熱配行為所造成的局部剛性提昇效應，可 藉由修正馬達熱配位置處心軸材料之楊氏係數得到相當 不錯且簡單可行的建模方式。
4. 心軸有限元素分析修正前與模態測試所得之第一個自然 頻率誤差為0.808 %，為工程可接受之範圍，若不考慮第 一步驟之心軸楊氏係數修正，直接進行第二步驟之馬達 轉子的熱配效應之影響，經有限元素進行分析修正後得 知，其楊氏係數為 5.630E11 N/m2。最後於轉子-心軸加 上其他轉動件後，再以有限元素分析後得知自然頻率為 2651.9Hz 與模態測試所得結果 2647.8Hz 比較，誤差為 0.15 %，誤差仍非常小。由此可知，對心軸做修正的方式 可不予考慮，僅需針對馬達轉子的熱配效應現象加以修 正即可。
5. 本研究並未考慮轉子熱配後實際界面接觸狀態與干涉量 變化之影響，值得進一步的探討。
誌 謝
感謝普慧企業股份有限公司提供高速主軸相關圖面資 料、零組件及加工組立上的協助，使此研究得以順利進行。
符號索引
) (t
f 施加於系統之激振外力向量 )
(ω
F 定義於頻域的激振力向量
h jk 輸入在第k 個節點，第 j 個節點的頻率響應函數 )
( ω
H 頻率響應函數矩陣 K 勁度矩陣
M 質量矩陣 )
(t
x 位移響應向量 )
( ω
X 定義於頻域的位移響應向量
ω 激振頻率
ωr 為系統之第r 個無阻尼共振頻率
j
rΦ 為經質量正規化之第r 個振型向量之第 j 個元素
參考文獻
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2005 年 10 月 05 日 收稿 2005 年 10 月 07 日 初審 2005 年 12 月 12 日 複審 2005 年 12 月 14 日 接受
