藉「觀察規律」處理畫鐘面的困難
陳芷茵
嘉諾撒聖方濟各學校
緒論
「觀察規律」是一種重要的數學能力，理應於學生的學習歷程中佔有 重要的角色。隨意翻開一些數學練習書，不難發現當中常以找一些數列的 缺項作為訓練「觀察規律」的手段。然而，這種想法存在學理上的缺陷。
作為一位專科數學教師，有必要深思怎樣才算有意義的「觀察規律」活動。
本文先從數學學理的角度出發，探討怎樣才算是有意義的「觀察規律」
活動。接着介紹如何藉小二「時間」課題裏的鐘面運動規律，設計完整且 有意義的「觀察規律」活動，並報告施教的結果。從中可以看出，讓學生 參與觀察鐘面運動活動，既可培養學生的探究能力，又可解決學生於畫鐘 面時，時針位置偏差過大的問題，可謂一舉兩得。
數學科的「觀察規律」
要「觀察規律」，必先確認存在可供觀察的規律。在探究的過程中，探 究者會猜想其中的規律，然後以實際數據印證猜想。遇有偏差，會修訂猜 想，再引用實際數據重複檢測。常見的找數列缺項的練習，無法讓學生經 歷這個完整的觀察規律過程。從以下的一道求數列缺項的習題，可說明其 中道理。
例題：觀察數列的規律，填寫適當的數字。
3 ，5 ，7 ，___ ，___ ，____。
大家可能毫不猶豫地答到是 9，11，13。那麼，若學生填上 11，17，
27 又是否錯誤呢？事實上，該數列可以按不同的規律衍生，以下是其中 3 個可能（中華人民共和國教育部，2001，頁 65）：
1）9，11，13，形成奇數列；
2）11，17，27，數列從第三個數開始，每個數都是前兩個數之和減 1；
3）27，181，4879，數列從第三個數開始，每個數都是前兩個數之積 減 8。
從數學學科的眼光來看，以上這種題型不能算作是一種「觀察規律」
的訓練。因為在學理上，後面的未知數是什麽也可以，只要將之代入一條 插值公式中，答案便可以有無窮無盡之多。關於這種數列續項問題，有興 趣可參看“Mathematics made difficult”(Linderholm, C. E.，2008)的有趣論 述。由此可見，從學科的內部邏輯看，這種求數列缺項的習題，並不存在 特定可供觀察的規律。
若從學生的角度看，這種設問方式亦不能算作理想的「觀察規律」練 習。很多時候，教師可能會因為學生答的不是那個「標準答案」而當作錯 誤。但事實上，後面的未知數是什麽也可以，故此，應注意的並不是學生 答對老師心目中的那個數，而是學生對答案的解釋。學生真正可以做到的，
只是說明按照某一規律，可以得出全部已知的各項，同時按此規律可得出 要求的缺項。過程當中，學生並不能以實際數據印證自己對規律的猜想，
再按更多的數據把猜想修訂。
既然，上述數列缺項的題型並不能真正地訓練學生「觀察規律」的能 力，那麼，如何在有限的課時裏，為學生創造有意義的「觀察規律」活動，
就更值得教師思考了。
小二時間教學的骨架方案
回顧香港的數學課程，小二時間課題涉及的鐘面運動，就存在着特定 可供觀察的規律。而將有意義的「觀察鐘面規律」活動放進課程內容之時，
亦需配合該課題對學生的考核要求。
筆者就時間課題參考了小學三年級《全港性系統評估》（TSA），其考 核不單要求學生看鐘面報時，更要求學生在鐘面上畫出時針和分針（畫鐘 面）來表示時間。評估報告指出，學生不善於在鐘面上以時針及分針表示 時間，忽略了時針相對分針的正確位置。加上評分準則常變，欠缺一致性
（馮振業，2011），若學生只隨意地將時針畫在兩個時正之間並不足夠，必 須對時針與分針的聯動關係有一定的掌握。
爲了創造一個完整有意義的「觀察規律」經驗，並克服學生畫時針位 置偏差過大的困難，數學化團隊以小二時間課題設計了一個方案，就是讓 學生觀察鐘面上時針和分針固定而又隱藏的運動規律。學生在探究過程 中，能以實際數據印證自己對時鐘運動規律的猜想，並在有需要時修訂猜 想，再以實際數據重複檢測。經過猜測、檢測、修訂猜測的循環過程，學 生能抽取時針和分針運動的共性，歸納出時針與分針的聯動規律（即時針 走了 1 小格，同時分針走了 12 小格）。
若將「觀察規律」的學習融入其他課題（如小二「閏年」的教學），又 會有怎樣的效果？教師儘管可以提供多年的二月份月曆，引導學生觀察每 四年一閏的規律。但這樣一來所運用的課時實為不少，而學生的學習效果 卻未必有明顯的分別。在比較之下，將「觀察規律」的學習放入小二時間 課題中，既能在緊湊的課時內讓學生作重要的數學能力訓練，又能對準課 程測考的要求，實為「完美的結合」。
是次「觀察鐘面規律」的教學設計，充分體現數學化教學所追求的學 習品質。不但追求在測考中反映的理想學習成效，更致力把具一般性的數 學思考方法滲透在不同課題的學習過程中（馮振業，2007）。整個骨架方案，
藉著鐘面的運動來創造一個觀察規律的情境，讓學生在有跡可尋的情況下 找出鐘面隱藏着的固有規律。透過觀察這些明確的鐘面刻度，有效幫助學 生正確地畫出時針相對分針的位置。在充分照顧學理的同時，也處理到學 生「畫鐘面」的學習難點。
執行方案的構思及細節
明顯地，時針和分針的運動並不止於聯動傾向，更存在着獨有的規律。
而課程的測考，要學生正視時針相對分針的正確位置，就更凸顯出讓學生 發現鐘面運動規律的重要性。肯定了時針和分針的運動規律，是值得讓學 生發現之後，剩下值得深思的，就是如何鋪排一系列的教學活動，讓學生 深入探討這個隱藏了的鐘面規律。
在觀察鐘面運動規律的教學中，首要任務是如何在課室裏清晰而準確 地向學生呈現鐘面運動。若使用一般的教具聯動鐘，都會出現較大的誤差，
以至無法準確地完成整個「觀察規律」的過程。爲了提高可行性，需運用 數學化團隊設計了用於 GeoGebra 動態幾何平台上的教件（如圖一）。當中 加設「延長指針」、「校鐘按鈕」和「行鐘速度調整」等功能，有效提升
指針指向位置的清晰度，學生在觀察的過程中對指針位置一目了然，並可 透過反覆地觀察時針（藍色）和分針（紅色）的運動，以獲得實際數據來 修訂自己對規律的猜想。
圖一 GeoGebra 動態軟件製作的聯動鐘1
在討論觀察鐘面運動規律的教學細節前，需將其放在「時間」課題裏，
作學習內容的前後連接。而學生在進入觀察規律的學習前，必須已懂得以
「時」「分」報時，掌握「時」和「分」的意思。當中，教師更需謹慎區 分「鐘面現象描述」與「時間描述」，並完整地把它們對應起來。例如以 指針走了多少大格或小格來描述鐘面指針轉動的程度，同時，將這鐘面現 象對應着時間過了多久的描述（如圖二）。
1 上課時的軟件檔案，時針為藍色及分針為紅色，以加強對照效果，此處並無顯示。
圖二 節錄自「時」「分」報時工作紙
學生有了「報時」和「畫分針」的基礎後，便進入觀察與歸納鐘面運 動規律的部份。在學習「報時」的部份，學生已知道當時針向前走了 1 大 格，同時分針向前走了一圈。在這個時候，教師提問：「當時針向前走了 1 小格，分針走了多少？」先讓學生猜猜，然後帶領全班以觀察與記錄的 形式，從 3 時正開始進行觀察。在得出「時針由“3”向前走了 1 小格，分 針由“12”向前走了 12 小格」的結果時，學生能以實際數據印證自己的猜 想，若有偏差，學生能立即修訂猜想。
筆者再提問「當時針向前走了 2 小格，分針走了多少？」。此時，再 引用實際的數據，學生就能檢測自己前次的修訂。通過不斷觀察鐘面，學 生在心中逐漸對鐘面運動的規律形成念頭與猜想。當在鐘面規律前段的猜 想得到證實與肯定，學生便更掌握以累加的方式作後段的猜想。重複通過 猜想、檢測、修訂猜想的步驟，直到歸納出一個完整的規律（即實踐所見，
學生指的「魔術數字」：12，24，36，48，60）。同時，學生需跟從「時 針向前走幾多小格，分針向前走幾多小格」的數學語言模式，配合着工作 紙作記錄與朗讀（如圖三）。
圖三 節錄自「觀察時針與分針運動」工作紙
接下來，學生運用觀察歸納得出的結果（魔法數字），配合「畫鐘面」
的程序，畫出時針相對分針（12，24，36，48，60）的位置。筆者教授的 程序是先鎖定時針會在哪兩個數字之間（學生需要圈出數字），然後再考 慮分針走到哪裡，從而決定時針相對走到第幾個小格（學生可以寫出「魔 法數字」協助）。過程中，學生如工作紙的指示，每次「畫鐘面」時都會 重複口述相同的程序（如圖四），逐步跟從執行。通過重複演練，學生就 能依從一貫的程序，熟練地畫出鐘面，培養有利學習數學的工作習慣和態 度。
圖四 節錄自「畫鐘面」工作紙
當學生內化了畫鐘面的程序，筆者再引入分針在「魔法數字」之間相 對的時針位置，學生就能輕易掌握。得出分針在 12 和 24 小格之間，時針 會在第 1 和第 2 小格之間；分針在 24 和 36 小格之間，時針會在第 2 和第 3 小格之間……（學生可以寫出「魔法數字」及箭嘴協助）。
學生表現
若置身於是次觀察鐘面規律的課堂中，定能感受到學生當時高漲的學 習情緒。他們踴躍地對時鐘的下一個運動規律作出猜想和發言，並且能立 即解釋對「魔術數字」的猜想，如：「因為第 1 個走了 12 小格，所以第 2 個『魔術數字』會是 12+12=24 小格。」學生通過循環地猜想、檢測、修訂 猜想，掌握以累加的方法猜想出後段的「魔術數字」，全程由學生帶動歸 納出時針和分針相對的運動規律，充分地體驗一個完整及有意義的「觀察 規律」的學習。
而藉此「觀察規律」的活動，亦期望有效改善學生畫時針位置偏差過 大的問題，以滿足課程與測考的要求。筆者以小學三年級 TSA）歷屆（2004 至 09 年）畫鐘面題目為測卷的考題，共有七題。為配合是次的教學，不止 要求學生把指針畫得有聯動傾向，更要求學生仔細地把時針畫在不多於 1 小格的偏差，從而定出以下的測卷評分準則﹕
4 分：分針指對；時針指對（完全正確）
3 分：分針指對；時針在 1 小格的偏差 2 分：分針指對；時針在 2 至 4 小格的偏差
1 分：分針指對；時針直接按幾時指向鐘面上的數字 0 分：分針指錯；時針指錯
學生在此教學設計的學習下，班中達到八成的學生能做到全卷完全正 確（每題達滿分 4 分﹕分針指對；時針指對），學習品質令人滿意。下圖 為學生測卷的表現：
從上述測卷表現可見，學生經過觀察鐘面規律的活動，能把時針準確 地畫在分針相對的位置，相信可輕鬆地應付 TSA 畫鐘面的考題。而且，學 生能遵循所學習的「畫鐘面」程序，如圈出時針在哪兩個數字之間，列出
「魔術數字」和加「箭嘴」來輔助，確定時針畫在數字幾後的第幾小格。
學生亦因在課堂上以 GeoGebra 教件多次觀察鐘面運動，收得耳濡目染之 效，畫出「延長虛線」確定指針位置。
筆者曾與學生就測卷內容作訪談，發現學生皆能以準確的數學語言和 程序描述自己所畫的鐘面。數學教師能夠在課堂上習慣運用嚴謹的數學語 言，學生就能在潛移默化的情況下，學習使用這些數學語言與老師和同學 作學術交流（吳丹，2005）。以上圖 7 時 15 分（06 年考題）為例，學生
能解說：「時針應畫在數字 7 和 8 之間，15 分在 12 和 24 分之間，所以時 針應畫在數字 7 後的第 1 和第 2 小格之間。」當再追問時針會貼近第 1 還 是第 2 小格時，學生亦能解釋因為 15 分較接近 12 分，所以時針會較貼近 第 1 小格。由此可見，學生整體畫鐘面的表現是細緻而準確的，對畫鐘面 的程序與數學語言亦有充分的掌握，能透徹地理解鐘面上的聯動關係。
結語
是次的教學成果著實讓人感到欣喜，亦使筆者真切地感受到學生樂於 參與濃厚數學氣息的課堂。整個教學設計，不但能滿足課程與測考的要求，
亦解決了許多學生畫鐘面時，時針位置偏差過大的問題，更能給予學生一 個有意義及完整的「觀察規律」的經驗，使之全程投入於數學能力的訓練 當中。作為一位數學教師，有什麽比目睹學生把鐘面畫得準確之餘，又深 刻地經歷了有數學味道的課堂來得痛快！
本文是改寫自在馮振業博士指導下完成的畢業論文，謹此致謝。
參考文獻
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香 港 考 試 及 評 核 局 。《 小 三 全 港 性 系 統 評 估 》。 評 估 試 卷 及 評 估 參 考 。 取 自 ： http://www.bca.hkeaa.edu.hk/web/TSA/zh/PriPaperSchema.html
馮振業（2011）。令人沮喪的數學科全港性系統評估。《數學教育》，32 期，2-28。
馮振業（2007）。略述數學化教學的九大關注項目。載梁志強、黎敏兒、潘建強、梁景 信（編）。《香港數學教育會議—2007 論文集》(頁 152-164)。香港：香港數學教育 學會。
吳丹（2005）。小學數學教學語言運用初探。《數學教育》，21 期，57-62。
Linderholm, C. E. (2008). Mathematics made difficult. In U. Dudley (Ed.), Is mathematics inevitable? ： A miscellany (pp. 305-317). Washington, DC: The Mathematical Association of America. (Original work published 1972)
作者電郵： misschantszyan@gmail.com
