四 1. 典型的例子 : 等比級數

四 _1. 典型的例子 _: 等比級數

1.1 如同課本範例_, 考慮某定點 b,且_{0 ≤b< 1}

−ln(1 − b) =Rb 0

1 1−xdx

=Rb

0(1 + x + · · · + xⁿ)dx +Rb 0

xⁿ⁺¹ 1−xdx

= b +^b₂² +^b₃³ + · · · + ^b_n+1ⁿ⁺¹ +Rb 0

xⁿ⁺¹ 1−xdx

|Rb 0

xⁿ⁺¹

1−xdx| =Rb 0

xⁿ⁺¹ 1−xdx

≤Rb 0

xⁿ⁺¹

1−bdx (∵ 0 ≤ x ≤ b < 1 ⇒ _1−x¹ ≤ _1−b¹ )

= (_1−b¹ )(_n+2¹ )bⁿ⁺²

≤ (_1−b¹ )(_n+2¹ )

∴ limn→∞

Rb 0

xⁿ⁺¹

1−xdx = 0

∴ ln(1 − b) = −(b + ^b₂² +^b₃³ + · · · + ^b_n+1ⁿ⁺¹ + · · ·)

上面推導過程中_,b是_{[0, 1)}某任取的固定點_, 將_b 代換成_x, 因此可得 ln(1 − x) = −(x + ^x₂² + ^x₃³ + · · · + ^x_n+1ⁿ⁺¹ + · · ·), 0 ≤ x < 1

1.2 ln(^1+x_1−x) = ln(1 + x) − ln(1 − x) ln(1 + x) = ln(1 − (−x))

= −((−x) + ^(−x)₂ ² +^(−x)₃ ³ +^(−x)₄ ⁴ + · · · + ^(−x)_nⁿ + · · ·)

= −(−x + ^x₂² − ^x₃³ + ^x₄⁴ − · · · + ⁽⁻¹⁾_n^nxn + · · ·)

= x − ^x₂² +^x₃³ − ^x₄⁴ + · · · −⁽⁻¹⁾_n^nxn − · · · ,−1 < x < 1 (1) ln(1−x) = −(x+^x₂²+^x₃³+^x₄⁴+···+^x_nⁿ+···) ,−1 < x < 1 (2) (1)-(2)⇒ ln(^1+x_1−x) = ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2(x + ^x₃³ +^x₅⁵ + · · ·) ,−1 < x < 1

1.5 ∵ ^π₄ = 1 − ¹₃ + ¹₅ − ¹₇ + · · · + ⁽⁻¹⁾_2n+1ⁿ + · · ·

∴ π = 4(1 − ¹₃ + ¹₅ − ¹₇ + · · · + ⁽⁻¹⁾_2n+1ⁿ + · · ·)

|π − 4(1 −¹₃ +¹₅−¹₇ + · · · +⁽⁻¹⁾_2n+1ⁿ)| = 4|^π₄ − (1 − ¹₃+¹₅ −¹₇+ · · · +⁽⁻¹⁾_2n+1ⁿ)| ≤ 4(_2n+3¹ )

4

2n+3 ≤ 0.01 ⇒ 2n + 3 ≥ 400 ⇒ 2n ≥ 397 ⇒ n ≥ 198.5 所以 _n至少要取199

1