黃金分割、 斐氏級數及其文化價值

黃金 分割、 斐氏級數及其文化價值

張維忠

摘要: 在簡要介紹黃金分割與斐波那契級數的基礎上, 探討黃金分割與斐波那契 級數存在的廣泛聯繫, 並著重分析黃金分割與斐波那契級數的文化價值。 事實上, 黃 金分割與斐波那契級數一直被古希臘乃至於歷代偉大的建築家、 藝術家和雕塑家們 所推崇, 還是人體科學的一個重要規律, 在人體解剖學、 生理學和中醫理論中有一系 列突出表現, 甚至在萬物生長有規律的自然界中被廣泛地發現, 這種大自然的鬼斧神 工, 真是其妙無窮。

關鍵詞: 黃金分割; 斐氏級數; 文化價值。

1. 黃金分割

“黃金分割” (Golden Section) 相傳是由公元前 6 世紀古希臘哲學家、 數學家畢達哥拉斯 (Pythagoras, 公元前 572-前 500) 及其學派在五角星中發現的。 有一則軼事, 說畢達哥拉斯學 派的一個成員流落異鄉, 貧困交迫, 無力酬謝房主的殷勤照顧, 臨終時要求房主在門前畫一個五 角星。 若干年後, 有同派的人看到這個標誌, 詢問事情的經過, 厚報房主而去。^[1] 五角星被認為 是畢達哥拉斯學派兄弟關係的標誌, 後來它又演變成人和神的標誌。 這個五角星是一個典型的 幾何圖形, 它是由一個正五邊形的對角線所組成的, 如果再仔細觀察, 五條對角線交叉後又構成 了另外一個正五邊形, 同時也構成了許多全等的三角形, 如果我們繪出第二個正五邊形的對角 線, 剛才的情況會再次出現 (如圖 1)。

圖 1 圖 1 中各條線段的彼此分割具有穩定性和平衡性。 組成五

角星的線段, 也就是正五邊形的對角線, 按照一種值得注意的 比例相互分割。 這一比例歐幾里得 (Euclid, 公元前 300 前後) 稱其為最大程度的、 平凡的比例: 整個線段與其中較長部分的 比例和較長部分與較短部分的比例相同, 這種關係在如此分割 的任何長度的線段中都會出現。 即把長為 L 的線段分成兩部 分, 使其中較長部分等於較短部分和全部的比例中項, 也就是 X : L = (L − X) : X, X ≈ 0.618L (圖 1 中 AB 為 L,

1基金項目_:全國教育科學_“十五_”規劃教育部重點課題_{: “}文化傳統與數學教育現代化” (DHA010276)

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AC 為 X)。 這樣的分割就稱為 “黃金分割”, 古希臘哲學家柏 拉圖 (Plato, 公元前 427-前 347) 將其命名為 “黃金比”。^[2]

這種比例是獨特的, 而且是可以測算的。 如果把一條線段 圖 2 分割成兩部分: a 和 b (如圖 2), 則這兩條線段的比例為: ^a_b =

a+b a

我們可以把它轉化為: ^a_b =

a b+1

a

b , 讓 ^ab = Φ, 簡化這一等式得:

Φ = Φ + 1

Φ = 1 + 1

Φ, 或 Φ²− Φ − 1 = 0, 解之得: Φ = ¹⁺₂^√5。

如果取倒數 (_Φ¹), 就會得到一個看似相關的數字: ^√5−1₂ 。 如果我們把等式寫成 Φ = Φ + 1

Φ 及 Φ = 1 + 1 Φ

然後, 以等式右邊的部分代入右邊出現的 Φ, 我們又能得到一個新的等式:

Φ = 1 + 1 1 + _Φ¹ 如果我們不斷地將右面的 Φ 用這個等式來取代, 則

Φ = 1 + 1 1 + ₁₊¹1

Φ

連續使用這個等式, 還可以把 Φ 表示成一個複合式的無窮連分數 Φ = 1 + 1

1 + ₁₊ ¹1 1+ 1

1+··· 另一種展開式是 Φ =

q

1+√

1+√ 1+···

, 這是因為 aⁿ =

r

1 +

q

1 +√

1 + · · ·

| {z }

n

=

√1 + a_n−1或 a²n= 1+a_n−1(

^>

n→∞aⁿ = a, 對 (

^>

這樣簡潔的連分數以有序而且無窮的印象, 使人有不言而喻的美感, 黃金分割與無窮連分 數之間竟有如此迷人的聯繫, 怎不讓人驚歎! 而且其漸近分數正是斐波那契級數相繼之數的比。

進一步按照所有神秘主義的解釋, 數 1象徵 “宇宙” 或 “神明”; 而且, 由於在有限步內無法求出 這個比值, 這更增加了這種解釋的神秘性, 因為無限也是上帝的特徵之一, 這也許就是這個比值

之所以贏得 “上帝的比例” 之名的理由。 其實, 古人一點也不知道連分數。 他們賦予這種比例以 神秘的意義, 自有他們自己的理由: 一半是美學的, 一半是形而上學的, 所以柏拉圖借畢達哥拉 斯主義者提馬尤斯 (Timaeus) 的口說出以下的話: “兩個東西不可能有完美的結合, 除非另有 第三者存在其間, 因為它們之間必須有一種結合物, 最好的結合物是比例。 設有三個數量, 若中 數與小數之比等於大數與中數之比, 反過來, 小數與中數之比等於中數與大數之比 — 則後項就 是前項和中數, 中數就是前項和後項, 所以三者必然相同, 即為相同, 就是一體。”^[3]

2. 斐氏級數及其與黃金分割的關聯

圖 3 中世紀義大利著名數學家斐波那契 (Leonardo Fi-

bonacci, 約1170-約1240) 「算盤書」 一書中有這樣一 道數學題: “如果每對兔子每月可生一對小兔, 每對小 兔在第二月也可以生產一對小兔, 如此繼續下去, 且不 發生死亡, 問一年中共可生兔多少對?” 以此引出斐波 那契級數 (簡稱斐氏級數): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. . ., Fⁿ, . . . 即我們從一對兔子開始, 在第二個 月裡兔子數量仍是一對; 而第三個月則有兩對; 第四個 月有三對; 第五個月有五對; 第六個月有八對; 如此等 等 (如圖 3) 。 也就是說從第一個月開始, 每一個月兔

子對的數量, 均由斐波那契級數相應的項給出。 我們來看看該級數的頭幾對相繼數的比:

1/1 = 1.0000 2/1 = 2.0000 3/2 = 1.5000 5/3 = 1.6667 8/5 = 1.6000 13/8 = 1.6250 21/13 = 1.6154 34/21 = 1.6190 55/34 = 1.6176 89/55 = 1.6182 144/89 = 1.6180 233/144 = 1.6181

如果我們的工作遍及整個級數, 將會得到一個奇妙的性質: 這一比值將明顯地趨於一個極 限值, 該值位於 1.6180 與 1.6181 之間, 它恰好是 “黃金比” 的近似值。 它還能準確地以 ¹⁺₂^√5 表示出來, 即 lim

n→∞

F_n Fn

−1

= ¹⁺₂^√5 ≈ 1.618。

Φ 比率組成的 Φ 級數可以表示: 1, Φ, Φ², Φ³, . . . , Φⁿ, Φⁿ⁺¹, Φⁿ⁺², . . . 因此, Φⁿ= Φⁿ⁻¹+ Φⁿ⁻²。 斐氏級數也有類似這樣的遞推關係:

Fⁿ = F_n−1+ F_n−2 (n > 2)。 [基爾拉德 (A.Girard,1595-1632) 1634年提出]。 這樣斐 氏級數、 Φ 級數就可以用二項式係數擴展。

圖 4. 算術三角形 (利比里亞) F10= F9 + F8

但是, F9= F8 + F7

F₈= F₇ + F₆ F10= F8 + 2F7 + F6

進而, F8= F7 + F6

2F7= 2F6+ 2F5

F6= F5 + F4

F10= F7 + 3F6 + 3F5+ F4

即

F10= 1F9+ 1F8 = 1F8+ 2F7+ 1F6

= 1F₇+ 3F₆+ 3F₅+ 1F₄ = 1F₆+ 4F₅+ 6F₄+ 4F₃ + 1F₂. 這樣斐氏級數、 牛頓 (I·Newton, 1642-1727) 二項展開式與帕斯卡 (B. Pascal, 1623-1662) 三角形 (帕斯卡並不是這種算術三角形的創始者, 圖 4^[4] 所示利比里亞郵票上的算術三角形在 帕斯卡誕生前 302 年, 約公元 1303 年就出現在中國數學家朱世傑的 「四元玉鑒」 上, 它被命名 為 “古法七乘方圖”, 圖中的二項式係數一直排列到八次冪。 在中國這一三角形常常稱為 “楊輝 三角”, 事實上應稱為 “賈憲三角”。 但應該承認帕斯卡發現並證明了算術三角形的一些新的性 質)。 這些表面上看來毫無相關的數學內容, 實質上有著深刻的聯繫。 圖 5 說明了它們之間的這 種親密關係: 沿著帕斯卡三角形斜向點劃線的數累加, 便產生斐氏級數; 帕斯卡三角形的每一 列, 則代表二項式 (a + b) 某個特定方展

圖5. 牛頓二項展開式

開式的係數。 例如:

同樣,

Φ¹⁰= 1Φ⁹ + 1Φ⁸

= 1Φ⁸ + 2Φ⁷+ 1Φ⁶

= 1Φ⁷ + 3Φ⁶+ 3Φ⁵+ 1Φ⁴

= 1Φ⁶ + 4Φ⁵+ 6Φ⁴+ 4Φ³+ 1Φ²

= 1Φ⁵ + 5Φ⁴+ 10Φ³ + 10Φ²+ 5Φ¹+ 1Φ⁰ Φ 的某些項的數值和以各種形式出現的斐氏級數還有如下的關聯:

Φ⁰= 1 = 1

Φ = 0 + Φ = 1 + 1/Φ Φ²= 1 + Φ = 2 + 1/Φ Φ³= 1 + 2Φ = 3 + 2/Φ Φ⁴= 2 + 3Φ = 5 + 3/Φ Φ⁵= 3 + 5Φ = 8 + 5/Φ Φ⁶= 5 + 8Φ = 13 + 8/Φ Φ⁷= 8 + 13Φ = 21 + 13/Φ Φ⁸= 13 + 21Φ = 34 + 21/Φ

這裡再給出斐氏級數通項公式的另外一種表示: Fⁿ = ^√1₅[(¹⁺₂^√5)ⁿ− (¹⁻

√5

2 )ⁿ]。 [棣莫佛 (DeMoivre, 1667-1774) 提出, 比內 (J. P. M. Binet, 1786-1856) 1843 年證明, 世稱比內 公式] (比內公式在理論上的重要性是不言而喻的, 有關斐氏級數的證明很多要據以推導。 但是 如果用以計算通項 Fⁿ, 就要做 2n 次無理式乘法, 一次減法和一次除法, 遠不如用基爾拉德公 式做 n 次整數加法快。 從形式上看, 比內公式通項是用無理數來表示的, 也沒有什麼規律, 可謂

“其醜無比”, 但它仍然蘊含著內部的美。 不論 n 為任何自然數, Fⁿ 並不是無理數, 而總是正整 數, 即用無理數的方冪表示出了正整數。

進一步有研究表明, 斐氏級數與中國古代由洛書演化的 “九宮圖” 也有內在的聯繫。 當用 斐氏級數 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 依次替換三階幻方中的數 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 時, 會形成一個新的方陣。 這一方陣雖然不具有幻方通常的性質, 但它 3 個列的乘積的和 (89 × 3 × 34 + 8 × 21 × 55 + 13 × 144 × 5 = 9078 + 9240 + 9360 = 27678) 等於3個行的

乘積的和 (89 × 8 × 13 + 3 × 21 × 144 + 34 × 55 × 5 = 9256 + 9072 + 9350 = 27678)。

(如圖 6)^[5]

8 1 6 3 5 7 4 9 2

89 3 34 8 21 55 13 144 5 圖6

我們現在研究斐氏級數的連續項之間的比率會發現非常有趣的特徵。 在 Φ 級數中, 比率始 終定義為 Φ, 即 1.618 034。 下面是我們獲得的比率, 其值或多於或少於 Φ, 其中的偏差可表示 為:

斐氏級數 Φ 比率 與 Φ 的偏差

5/3 = 1.666666667 = Φ + 0.048632678 8/5 = 1.600000000 = Φ − 0.018033989 89/55 = 1.618181818 = Φ + 0.000147629 144/89 = 1.617977528 = Φ − 0.000056461 4181/2584 = 1.618034056 = Φ + 0.000000067 6765/4181 = 1.618033963 = Φ − 0.000000026

斐氏級數一個偶數項被它前面的一個奇數項所除, 得出小於 Φ 的比率; 斐氏級數一個奇數 項被它前面的一個偶數項所除, 得出大於 Φ 的比率。 例如, 5是斐氏級數的第5個項, 8是第6個 項, 89 是第 11 個項, 4181 是第 19 個項。 若 n 為奇數, 則 Fⁿ√

5 = Φⁿ+ Φ⁻ⁿ; 若 n 為偶數, 則 Fⁿ√

5 = Φⁿ− Φ⁻ⁿ。 因此, F5

F4

= Φ⁵+ Φ⁻⁵

Φ⁴− Φ⁻⁴ = Φ + Φ⁻³+ Φ⁻⁵

F4Φ¹ + F4Φ⁻¹ = Φ + Φ⁻⁴ F4

= Φ + 0.145898034

3 = Φ + 0.048632678 結果與上述 Φ 的偏差值相等。

在一般表示式中, 若 n 為奇數, 則 Fⁿ+1

Fⁿ = Φ − Φ⁻ⁿ

Fⁿ = Φ − 1 FⁿΦⁿ 若 n 為偶數, 則

Fⁿ+1

Fⁿ = Φ + Φ⁻ⁿ

Fⁿ = Φ + 1 FⁿΦⁿ

此外, 下列三角比率亦頗為有趣:

sin 18^◦= cos 72^◦ = 1/(2Φ);

sin 54^◦= cos 36^◦ = Φ/2;

sec 36^◦= csc 54^◦ = 2/Φ;

sec 72^◦= csc 18^◦ = 2Φ.

由於, sin 18^◦ = 1/(2Φ), 則若一個正十邊形的邊長為 1, 弧的半徑則為 Φ。^[6]

3. 文化價值

作為一種類型的應用, 黃金分割一直被古希臘乃至於歷代偉大的建築家、 藝術家和雕塑家 們所推崇。 在那堪稱西方藝術之父的, 經歷了時間長河的風蝕而殘留的幾乎每一座古希臘建築, 都可以看到舉不勝舉的黃金分割比。 古希臘雅典的巴特農神殿, 就是按黃金分割比例來建造的, 其大理石柱廊高恰好占整個神殿高度的 0.618。 這一比例大量充斥於建築物的外觀、 拱道、 門, 以及其他關鍵部位。 在稍後的年代, 這一比例溶入了達·芬奇 (Da Vinci, 1452-1519) 等人的 偉大工作。 當一個矩形的長與寬之比成黃金比時, 這個矩形稱為黃金矩形。 達·芬奇就把 “黃金 矩形” 引入了繪畫。 黃金矩形是一種美麗和令人興奮的數學對象, 其拓展遠遠地超出了數學的 範圍, 在藝術、 建築、 自然界中隨處可見。 例如黃金矩形和黃金比例就出現在海洋生物上 ——

無論哪裡有五邊形, 那裡我們就能找到黃金比例。 在美國東部海膽的圖案裡, 就有許許多多的五 邊形; 而黃金矩形則直接表現在帶小室的鸚鵡螺和其他貝殼類生物上。 文藝復興之後, 黃金矩形 和黃金分割在藝術中得到了更成功的運用。 黃金分割用在藝術上是以生動的對稱技巧為標誌的。

達·芬奇等人都曾在他們的作品中用黃金矩形去創造富有生氣的對稱。 事實上, 在自然界裡有許 多形狀是對稱的, 如樹葉、 蝴蝶、 人體、 雪花等等, 當然, 也有許多自然界的形狀是不對稱的, 雞 蛋、 蝴蝶的翅膀、花斑魚等等。 這些非對稱的形式同樣具有一種美麗的均衡, 這種均衡就是人們 所熟悉的動態的對稱。 在所研究的動態對稱的形狀中, 我們總能找到黃金矩形、 黃金比例或黃 金分割。 達·芬奇的名畫 「最後的晚餐」 中, 猶大的形象就正處在黃金分割點上。 黃金分割還出現 在達·芬奇未完成的作品 「聖徒傑羅姆」 中。 該畫約作於公元1483年。 在這幅作品中, 聖徒傑羅 姆的像完全位於黃金矩形內。 這不是偶然的巧合, 而是達·芬奇有目的地使畫像與黃金分割相一 致。 因為在達·芬奇的著作和思路中, 處處表現出對數學應用的強烈興趣。 達·芬奇說過: “· · · · 沒有什麼能不通過人類的探求而稱之為科學的, 除非它是通過數學的解釋和證明的途徑。”^[5] 時 至今日, 黃金分割依然呈現於眾多的最優秀的時代建築、 藝術、 設計等等之中 —— 從埃菲爾建 造的巴黎大鐵塔直至女性的裙子! 事實上, 即使那些華美而時髦的裙子, 也同樣偏愛於這一美的

旋律! 今天黃金矩形正在廣告和商業等方面派上用場。 許多包裝採用黃金矩形的形狀, 能夠更 加迎合公眾的審美觀點。 例如標準的信用卡就近似一個黃金矩形。

達·芬奇的朋友盧卡·帕希奧裡 (Luca Pacioli) 曾把黃金分割比 Φ 稱為 “上帝的比例”。 而 後, 開普勒 (J. Kepler, 1571-1630) 甚至把它作為天文研究的中心。 “幾何學有兩大筆財富: 一 個是畢達哥拉斯定律, 另一個則是將線分割成了極有意義的比例。 前者的價值我們把它比作黃 金, 後者則是貴重的珠寶。” 事實上, “上帝的比例” 還是人體科學的一個重要規律, 它在人體解 剖學、 生理學和中醫理論中有一系列突出表現。 從經絡系統看, 人體幾個大穴處於相應範圍的黃 金分割點處。 中醫有天地人三才學說, 氣功理論認為百會、 湧泉和勞宮分別是天氣穴、 地氣穴和 人氣穴。 百會基本位於前發際至後發際的 0.618 處, 是督脈上的穴位。 督脈行于背部正中, 總督 一身之陽經。 百會可以通天氣, 故稱天氣之穴。 湧泉穴在足底部的0.618處, 是腎經的起點。 腎為 臟腑陰陽之本, 生命之源, 湧泉穴可以接地氣, 故稱地氣之穴。 勞宮穴則基本上在手掌的 0.618 處, 是心包經的滎穴, 與心相通, 氣功多通過此穴發放外氣, 故稱人氣之穴。 從人體結構看, 人 體各範圍的黃金分割點多處於骨骼的關節, 具有重要的生理意義。 很多器官的結構也符合黃金 分割的規律, 如鼻子硬骨與軟骨交界為鼻子全長的 0.618, 耳孔在整個耳朵的 0.618 處, 胸骨角 在整個胸骨的 0.618 處。 整個脊柱的 0.618 處是胸與腰的分界, 即十二胸椎。 從第一頸椎至第十 二胸椎, 其 0.618 處是胸與頸的分界, 即第七頸椎。 從第一腰椎至尾椎, 其 0.618 處是腰與 骨 的分界, 即第五腰椎。 從 骨至尾骨, 其 0.618 處是 骨與尾骨的分界, 即 骨裂孔。 從肚臍至 膻中, 其 0.618處是胸腔與腹腔的分界, 即劍突。 從膻中至口, 其 0.618處是頸與胸腔的分界, 即 胸骨柄上緣。 從生理方面看, 「內經」 認為人體的陽氣從卯時開始由體內布於體表, 即所謂 “平 旦人氣生” (平旦即卯時。 在酉時, 人體陽氣開始由體表入體裡, 即所謂 “日西而陽氣已虛, 氣門 乃閉” (日西即酉時)。 在病情方面, 「內經」 又言: “旦慧, 晝安, 夕加, 夜甚。” 即在早晨, 疾病好 轉, 症狀減輕, 白日較為好過, 黃昏時分, 病情開始加重, 夜間更甚。 從中可以看出, 一日的整個 過程, 疾病的轉捩點在 “旦”、 “夕”, 也即卯、 酉二時, 這與人體生理上陽氣的出入時刻是吻合 的, 同樣是在每天的兩個對稱的黃金分割點上, 這與太陽的東升西落同步, 正是中醫傳統理論中

“天人相應” 的觀點, 即所謂 「內經」 中的 “人與天地相合也, 與日月相應也。”^[7]

“上帝的比例” 還廣泛地在萬物生長有規律的自然界中被發現。 例如, 上帝的比例控制著蝸 牛殼的外形, 它有組織地生長著, 在增大尺寸的同時保持著類似的外形; 同時, 上帝的比例還控 制著葉子在莖上生長的順序、 向日葵的排列, 甚至人臉的比例。 顯然在有機世界中它是有規律性 和周期性的 (上帝的比例在無機世界中是從來沒有存在過的。 例如, 水晶是以不同的比例為基礎 的, 它是六邊形而不是畢達哥拉斯學派的五邊形)。^[8] 值得指出的是, 稱為 “上帝的比例” 的 Φ, 不僅可以詮釋美的藝術及人類欣賞美的原則, 而且還可以解釋活體生物生長的現象。 但 Φ 不是 一紙丹符, 有了這張丹符, 任何一位現代數學家, 就可以製造出足以與希臘雕塑或繪畫分庭抗禮

的作品。 因為 Φ 不是通向美學的皇家康莊大道, 也無論如何不可能消除藝術作品的魅力和神韻。

但是 Φ 的確說明, 如果我們認識到在美和生活中可以觀察到變異和差異, 我們則會發現它們都 可以用同樣的基本原則來說明。 藝術對自然作出詮釋, 藝術本身也是自然的組成部分。 因此, 從 邏輯上說, 藝術詮釋的符號也應該在它們所激勵的語言中得到共鳴。

從黃金分割的數學表達來看, 似乎發現不了它與自然界的某種聯繫, 但我們注意到數學內 部的和諧與統一, 將黃金分割與斐波那契級數、 連分數聯繫起來分析其內在的深層階構, 就會發 現由黃金分割的定義即可得到一個正則連分數, 而這個正則連分數其漸進分數正是斐波那契級 數相繼項之比, 即正則連分數的漸近分數的分子、 分母依次構成斐波那契級數, 這是連分數運 算的結果。 因此, 斐波那契級數與黃金分割之間的聯繫並非偶然的巧合, 也並不神秘, 連分數是 聯繫二者的紐帶。 而兔子問題僅僅屬於實際中的一個特例, 投合了上述數學模式。^[9] 值得注意的 是, 斐波那契級數與大自然有許多天然的聯繫。 在花的花瓣中就存在著一個奇特的模式, 幾乎所 有的花, 花瓣數目是如下奇特序列的數位中的一個: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。 例如百合花 花瓣有 3瓣; 毛茛屬植物有 8瓣; 萬壽菊有 13瓣; 紫菀屬植物有 21瓣; 大多數雛菊有 34、55或 89 瓣。花瓣不是斐波那契級數的唯一例子。 如果你觀察大向日葵, 你在其葵花盤中會發現很顯著的 小花 —— 最終變成葵花籽的小花模式。 小花呈現兩族相向螺線排列, 一族順時針旋轉, 另一族 逆時針旋轉。 在某些品種裡, 順時針螺線的數目是 34, 逆時針螺線的數目是 55。 它們都是這個 級數中接連出現的斐波那契數。 準確的數位依賴於向日葵的品種, 但往往會得到 34和 55, 或 55 和 89, 或甚至 89 和 144, 或更大的斐波那契數。 鳳梨有 8 行向左邊斜的鱗苞 —— 方塊形的鎧 甲, 還有 13 行向右邊斜的鱗苞。^[10] 如果我們廣為搜尋, 那麼有時我們還會發現, 斐波那契數竟 然會出現在一些特殊的物件中。 例如一架鋼琴, 在一個音階中白色的鍵數為 8, 黑色的鍵數為 5。

許多在實際中發生的事情就象兔子問題那樣, 其排列情況都與斐波那契級數有關。 這是生物進 化過程中進化規律作用的結果, 生物調節以便得到充足的光照等最優化具有 “天然合理” 的意 義。 一個簡單的斐波那契級數, 居然能有如此多樣性的聯繫, 難道不足以令人驚訝嗎? 在人們的 感知中, 這種大自然的鬼斧神工, 真是其妙無窮。

事實上, 在剛剛過去的 20世紀這一百年間, 為數眾多的學者都對斐波那契級數在眾多領域 內進行聯繫和鑽研, 已取得許許多多令人驚歎的有趣結果。 我國近年對其研究也發表論文、 專著 多種。^[11] 兔子問題純是遊戲筆墨, 當時並不顯眼, 斐波那契播下的種子, 經人們培育, 數百年來 枝葉繁茂, 小草竟成喬木。 斐波那契級數具有如此多種性質及其有關知識, 令人十分震驚, 充分 挖掘眾多這樣的素材, 為中小學數學課程與教學服務, 在凸現數學的文化價值的同時, 必能進一 步提升學生學習數學的興趣。

參考文獻

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—本文作者現為浙江師範大學數理學院教授,博士_—