艾雪

(1)

艾雪的心靈版畫

單維彰‧

2021年3月14日

艾雪

M. C. Escher

1898-1972

荷蘭版畫家、圖案藝術家

名列 MacTutor 數學家傳記網站

生涯代表作

瀑布 Waterfall (1961)

畫家晚熟的宿命

Lascaux 岩洞壁畫 1 萬 5 千年前

(2)

不可能的圖像

瀑布 Waterfall

(1961)

左塔：三個正立方體

右塔：三個正八面體

「錯視」或「錯覺」藝術

反向使用透視邏輯

相對論 Relativity

(1953)

三個互相垂直的重力場

黑白對比的凹凸兩可

同⼀空間三個「世界」

畫家的「相對論」詮釋

國際數學家大會 ICM 1954

阿姆斯特丹 艾雪個人展邀請卡

1954 年 8 月 27 日至 9 月 26 日

(3)

潘洛斯 R

oger

P

enrose (b. 1931)

攝於 1978 年

時年 23 歲劍橋研究生

潘洛斯三角形

追尋「基本原理」

以「透視邏輯」創造空間中的視覺矛盾

最簡「不可能」空間結構

發展成心理測驗圖案

潘洛斯獲 2020 諾貝爾物理獎

攝於 2020 年

時年 89 歲

瞭望台 Belvedere

(1958)

另⼀不可能的結構

雖非「最簡」但數學課常見

(4)

黑板上的長方體

模稜兩可

左下在前

右上在前

升與降 A

scending and

D

escending (1960)

潘洛斯階梯

老潘洛斯做出木刻模型

1960 年贈予艾雪

邏輯的反用

數學「反證法」

 不是有理數

不存在最大質數

2

球面的摹寫

(5)

靜物與球面鏡 S

till Life with

S

pherical Mirror (1934)

艾雪自己入畫

德國石灰岩板

波斯人面鳥鋼塑

在羅馬的家

手上的球面鏡

H

anding with

R

eflecting Sphere (1935)

左手作畫

版畫是「鏡像」

告別羅馬的家

結束19年「壯遊」

平面拼貼

八頭像 Eight Heads

(1922)

工藝學校：地磚壁紙

平面上的循環

（⼀塊木板印四遍）

畢業作品

將滿 24 歲

(6)

蜥蜴 Lizard

(1942)

正規平面分割

平面拼貼 Tessellation

⼀種圖案（三種顏⾊）

貼滿平面

圖案中沒有「背景」

「可辨識」的造型設計

臺師大數學系許志農師生

正規平面分割技術的解析

國中生也可參與的設計

平面拼貼的數學

「葛老爹」Martin Gardner

1975 年經《科學人》將艾雪介紹到美國與加拿大

三角形與凸四邊形皆可

不規則六邊形有三種

尋覓可密鋪平面的凸五邊形

UniMath在2015年報導了第15種

萊斯太太，攝於 1995 年

(7)

連續漸變與循環

循環 Cycle

(1938)

漸變 (morphing)

立體與平面

結合平面拼貼

動畫與拓樸學

變形 II M

etamorphosis

II

(1940)

4 公尺⻑的「橫幅」

可循環播放

邱瑋國

2012

M

etamorphosis

III

(1968)

(8)

晝與夜 Day and Night

(1938)

偶對稱─左右線條對稱

奇對稱─左右顏⾊相反在視覺效果上：

太初 Verbum

(1942)

Verbum = Word

生命形式的循環

 In the beginning was the word.

天、地、海洋與日、月

中心是混沌的太初

蜥蜴(1942) 困擾著艾雪

沒有生命

於是 …

爬行 Reptiles

(1943)

平面與立體的漸變

從平面（土裡）來

回歸到平面

(9)

尺度的循環與漸變

畫廊 Print Gallery

(1956)

畫廊裡展示著艾雪的版畫

「這⼀幅」也展出於此畫廊

尺度的週期性

線型的尺度週期／遞迴

透過 Google 遠端桌面共用自己的 Windows 桌面

Droste 可可粉包裝盒

畫廊概念的線型動畫展示

 艾雪為 Droste 特效增加⼀個「扭曲」(twist)

 旋轉同時縮放，

轉⼀圈還原

 線型尺度遞迴的概念，

作成動畫以便了解

(10)

Lenstra, Jr 教授接棒 (2001)

 阿姆斯特丹的版畫家

 加上柏克萊的數學家和電腦工程師

 實現了旋轉型的尺度週期概念(2003)

無窮

渦流 Whirlpool

(1957)

呈現「無窮」的創作渴望

「循環」只是無窮的隱喻

自製極細雕刻刀

在12倍放大鏡下刻板

龐加萊圓盤 Poincaré Disk

 雙曲幾何

 圓內無窮多個三角形

 在新幾何意義下，

每個三角型的面積相等

(11)

極限圓盤三 C

ircle

L

imit

III

(1959)

極限圓盤四 C

ircle

L

imit

IV

(1960)

數學結構

群星 Stars

(1948)

正多面體

融嵌

艾雪感覺變⾊龍很適合關在這種籠子裡

(12)

莫比烏斯帶二

M

öbius

S

trip

II

(1963)

只有「⼀面」的曲面

螞蟻不越過邊界即可爬遍整個曲面

莫比烏斯帶一 M

öbius

S

trip

I

(1961)

沿中線剪開不會斷

剪成兩條莫比烏斯帶

自製莫比烏斯帶

版畫的

工藝、心靈、美

(13)

艾雪熱愛版畫的原因

醉心於製版工藝

著迷於壓印／複製的程序

須節制複製的份數

艾雪的自我認同

具備心與靈的圖案藝術家 (graphic artist)

水坑 Puddle

⁽¹⁹⁵²⁾

真實性

(14)

第三種真實

心靈

物質

數學

對立／並立／鏡射

數學的真實性

與物質無關

不能用物質定義「⼀」

並不因為人的心靈而存在

心、物、數學

艾雪以優雅、幽默、精確的方式，

將「數學」融嵌在「心、物」之間，

讓人感受到這三種真實的並立與分立。

結語

(15)

「經典」皆為後見之明

經過時間的考驗

讓人持續地

跟隨、研習、批判、延伸與變形

個人成就不脫社會的支持

艾雪絕非個案

達文⻄

畢卡索

達利

釘刑 Crucifixion (1954)

四度空間正立方體在三度空間的展開圖

(16)

艾雪