102 學 年 度 台 灣 省 北 三 區 (新 竹 高 中) 高 級 中 學 數 理 及 資 訊 學 科 能 力 競 賽
(數 學 科 筆 試 一 參 考 答 案)
問 題 一：
設 a, b 都 是 大 於 1 的 實 數。 試 求 a2b ´ 1` b2
a ´ 1 的 最 小 值。 (12 分)
【證】 由 算 幾 不 等 式， 可 得 當 a ą 1， 且 b ą 1 時：
a2
b ´ 1` b2 a ´ 1ě 2
d a2 b ´ 1¨ b2
a ´ 1“ 2
´ a
?a ´ 1¨ b
?b ´ 1
¯
. (1)
又 對 任 一 正 實 數 x ą 1， 因 為 x2´ 4x ` 4 “ px ´ 2q2 ě 0， 所 以 x2 ě 4px ´ 1q， 即 得 x ě 2?
x ´ 1， 也 就 是 x
?x ´ 1 ě 2 恆 成 立， 且 僅 當 x “ 2 時 等 號 成 立。 所 以 由 (1) 式 可 得
a2
b ´ 1` b2
a ´ 1ě 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 8, 而 且 僅 當 a “ b “ 2 時， a2
b ´ 1` b2
a ´ 1 “ 8 為 最 小 值。
問 題 二：
銳 角 三 角 形 ABC 中，BD 垂 直 AC 於 D 點，而 E 為 BD 上 一 點。設 CE 交 AB 於 F 點，AE 交 BC 於 G 點。證 明：=FDB “ =GDB。 (12 分)【證】 如 圖，將 D 置 於 坐 標 平 面 的 原 點，AC, BD 分 別 為 x, y 軸。設 A, B,C, E 的 坐 標 分 別 為 pa, 0q, p0, bq, pc, 0q, p0, eq。 則 AG 與 BC 的 直 線 方 程 式 分 別 為 ax`ye“ 1 以 及
x
c`by “ 1。 所 以 過 兩 線 交 點 G 又 通 過 原 點 D 的 直 線 GD 方 程 式 為 p1a´1cqx ` p1e´
1
bqy “ 0。 同 理 可 計 算 出 直 線 FD 方 程 式 為 p1a´1cqx ` p1b´1eqy “ 0。 因 為 直 線 GD 與 FD 兩 者 的 斜 率 互 為 相 反 數， 所 以 =FDB “ =GDB。
A
B
D C E F
G
【另 證】 如 下 圖， 令 F, G 兩 點 分 別 對 AC 邊 的 投 影 點 為 H, J。
A
B
D C E F
G
H J
因 為 AG, BD,CF 三 線 共 點 E， 故 由 西 瓦 定 理：
BF FA ¨AD
DC¨CG
GB “ 1. (1)
因 為△AFH „ △ABD，所 以 BF
AF “ AH
HD； 類 似 地 有CG GB“CJ
JD。 將 此 兩 關 係 代 回 (1) 式，得
DH HA¨AD
DC¨CJ
JD “ 1. (2)
再 用 一 次 相 似 直 角 三 角 形 的 邊 長 比 例 關 係， 得 AD
AH “ BD FH, CJ
CD “ GJ
BD。 代 回 (2) 式 並 消 掉 分 子、 分 母 共 有 的 BD， 得
DH FH ¨GJ
JD“ 1, 即 DH FH “ JD
GJ. 所 以△DFH „ △DGJ。 取 餘 角 即 得 =FDB “ =GDB， 證 畢。
問 題 三：
三 角 形 ABC 中， 兩 邊 長 為 AB “ 17, AC “ 12。設 D 是△ABC 中 相 對 於 頂 點 B 的 旁 切 圓 在 AC 邊 上 的 切 點，而 E 是△ABC 中 相 對 於 頂 點 C 的 旁 切 圓 在 AB 邊 上 的 切 點。(1) 證 明：BE “ CD。
(2) 設 F 為△ABC 的 內 切 圓 在 AC 邊 上 的 切 點。 若 DF “ 2， 試 求 BC 邊 長。
(所 謂 三 角 形 ABC 相 對 於 頂 點 B 的 旁 切 圓， 指 的 是 與 AC 邊 相 切、 並 且 與 邊 BA, BC 的 延 長 線 相 切 的 圓。 相 對 於 頂 點 C 的 旁 切 圓 可 類 似 定 義。)
(12 分)
【證】 (1) 設 三 角 形 ABC 相 對 頂 點 A 的 旁 切 圓 圓 心 為 O，該 旁 切 圓 與 BC 邊、AB 的 延 長 線 及 AC 的 延 長 線 分 別 切 於 X,Y, Z 點， 如 下 圖 所 示。
A
B C
O X
Y
Z D E
設 BC “ a, AC “ b, AB “ c； 且 設 BX “ BY “ y, CX “ CZ “ z。 明 顯 有 y ` z “ BX ` CX “ BC “ a。 另 一 方 面， 因 為 AY “ AZ (A 點 到 旁 切 圓 O 的 切 線 長)， 所 以 y ` c “ z ` b。 將 下 面 兩 式 聯 立：
y ` z “ a y ` c “ z ` b
解 得 y “a ` b ´ c
2 , z “ a ` c ´ b
2 。
至 此， 由 對 稱 性 可 得 x “ BE “ b ` c ´ a
2 “ CD。
(2) D, F 兩 個 切 點 與 諸 邊 長 的 對 應 關 係， 如 下 面 兩 圖 所 示：
F x x
z
z y
y A
B C
D E
y z
x
y z
x A
B C
由 題 設 知 x ` z “ 17, x ` y “ 12, 且 |x ´ y| “ DF “ 2。若 x ´ y “ 2，則 px, y, zq “ p7, 5, 10q，
得 BC “ y ` z “ 15；若 y ´ x “ 2， 則 px, y, zq “ p5, 7, 12q， 得 BC “ y ` z “ 19。
故 本 題 有 兩 解：BC “ 15 或 19。
問 題 四：
設 f pnq 表 示 正 整 數 n 所 有 正 因 數 的 乘 積。 試 求 所 有 滿 足 不 等 式f pp4` 47q ă pp4` 47q10
的 質 數 p。 (13 分)
【證】 令 gpnq 表 示 正 整 數 n 的 正 因 數 個 數， 則 有 f pnq “ ngpnq{2。 因 此， 由
pp4` 47qgpp4`47q2 ă pp4` 47q10, 可 知： 原 題 等 價 於 求 質 數 p 使 得 gpp4` 47q ă 20。
首 先 證 明 p ď 5。假 設 p 為 大 於 或 等 於 7 的 質 數，則 由 24 pp2´ 1q 與 2 pp2` 1q，
得 知 p4` 47 “ pp2´ 1qpp2` 1q ` 48 是 48 的 倍 數。 可 令 p4` 47 “ 48k “ 24¨ 3 ¨ k， 其 中 k “ 2r¨ 3s¨ m， 而 pm, 6q “ 1。因 此 p4` 47 “ 2r`4¨ 3s`1¨ m； 於 是
20 ą gpp4` 47q “ pr ` 5qps ` 2qgpmq.
(i) 若 gpmq “ 1， 則 m “ 1。 由 20 ą pr ` 5qps ` 2q， 可 得 r ď 4, s ď 1。 因 此
51 ď p4` 47
48 “ k ď 24¨ 3 “ 48, 矛 盾。
(ii) 若 gpmq ě 2， 則 20 ą gpp4` 47q ě 5 ¨ 2 ¨ 2 “ 20， 也 矛 盾。
因 此 p ď 5。
以 下 分 別 就 p “ 2, 3, 5 的 情 形 討 論：
(i) 當 p “ 2 時，gpp4` 47q “ gp63q “ gp32¨ 7q “ 6， 滿 足 條 件。
(ii) 當 p “ 3 時，gpp4` 47q “ gp74q “ gp2 ¨ 37q “ 4， 滿 足 條 件。
(iii) 當 p “ 5 時，gpp4` 47q “ gp672q “ gp25¨ 3 ¨ 7q “ 24， 不 合。
由 以 上 的 討 論， 得 到： 所 有 可 能 的 質 數 p 為 2 或 3。
