數學(A)卷 106-1-A

106-1共同科目 數學(A)卷 詳解

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106 學年度四技二專第一次聯合模擬考試 共同科目 數學(A)卷 詳解

數學(A)卷 106-1-A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B A C D B C C D A C D D A D D A A B A C B C D B

1. ∵A ab b( , ³)在第四象限得知

3 3

0 0 0

0 0 0

ab a a

b b b

a

   

  

     

  

故B a( ³, )b

a 在第二象限

2. 重心(4 , 1) (1 5 , 4 9 )

3 3

m n

    

 

即 6 12 6

5 3 8

m m

n n

  

 

      

  ，故m n   2 3. 如下圖，由分點公式知

1 ( 1) 2 2 1 2 2 ( 4)

( , ) ( , )

1 2 1 2

B x y        

  

3 6

( , ) (1 , 2) 3 3

    ，故x y      1 ( 2) 1

4. ( 1)

3 6 1

L 3 1

m  k    k

 ，∴k 5

5. ∵A、B、C三點共線，則m_ABm_AC

即 7 2 2 8

2 1 3 1

k k

  

  

  

6. ∵是平行四邊形，∴ AC 的中點 BD 的中點

即 1 7 0 2 4 6

( , ) ( , )

2 2 2 2

n m

     m  ，8 n  2 則m n       8 ( 2) 6

7. ∵₁ 2500 360 6 340 ，∴x340

又∵₂  1000 360   ( 2) ( 280 ) ，∴y 280 故x y 340 ( 280) 60  

8. 原式 1 1 3 1 1 1 1

2 2 3 2 2

      

9. ∵ (sin , tan )A   在第二象限得知 sin_{ 且 tan}0  0

 為第三象限角，則 cot  _{ 且 cos}0  0 故 (cot , cos )B   _{在第四象限}

10. 原式 3 ( 3) 0 2 3

2 2 4

       11. 週期為2

2 

12. 原式(2sin 1) (sin4) 0 _，得sin 1, 4

  2 

但∵ 1 sin1_，故 1 sin  2

13. ∵ 1 cosx   1 3 3cosx  3 2 3cosx 5 8 故 f x( )的最小值為 2

14. ABC_面積 1 sin 2 ^{b c A}

    1 5 4 sin 30

   2  1 5 4 1 5

2 2

     15. 由餘弦定理知

2 2 2 2 cos

AB a b  ab C

2 2

5 3 2 5 3 cos 60

       25 9 2 5 3 1 19

      2 得AB 19

16. ∵L16x8y 2 0_，且L₂ 6x8y 3 0

∴L1與L2的距離為 | 2 ( 3) |_{2 2} 5 1 10 2 6 ( 8)

   

  17. ∵扇形弧長_{半徑  圓心角}

∴6 9 2

      3

而扇形面積為 1 ²

( )

 2 _半徑 _圓心角 1 2 2

9 ( ) 27

2 3 

   

18. 由定義知x 3_，y ，4 r x²y²  5

∴sin 4 5 y

 r  且cos 3 5 x

 r ^

故 1

sin cos

  5

19. ∵_{為第四象限角，且}tan ³

 4



∴ 3

sin 5_且cot ⁴

 3



得 3 4

5sin cot 5 ( ) ( ) 4

5 3

      

 

20. P到直線的距離為

2 2

| 4 ( 2) 3 3 | 4 3 2

    k 



| 3k 5 | 10 3k 5 10

      或 3k   5 10 5

  或k 5 k  3

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∵ ( 2 , )P  k 在第二象限，故取k 5 21. 令x  ，1 1 x ，∴2 f(1) 2 ²  2 6

再令x  ，1 6 x ，∴7 f(6) 7 ² 2 51 故 ( (1))f f  f(6) 51

22. ∵ f x( )x²6x 1

2 2 2

(x 6x 3 ) 3 1

     (x3)² 8

∴ ( )f x 的頂點坐標為 (3 , 8) 23. 原式 cos tan 1 1 0

cos tan

 

 

 

     

 

24. 如右圖，在 BCD 中

∵DBC BDC45

∴BC CD 100 又在 ACD 中

sin 60 sin 30 AC  CD

 

即 100 100

100 100 3 100( 3 1) 3 1

2 2

x x x

      

25. f x( ) (1 sin  ²x) sin x  3 sin²xsinx 2 令 sin x t ，則 1   t 1

且 f t( )    t² t 2

2 1 2 1 2

[ ( ) ] ( ) 2

2 2

t t

      1 ² 7

( ) 2 4

  t  則 ( )1 7

2 4

f   ， ( 1)f    ， (1)4 f   2 得 ( )f x 的最大值為 7

 ，最小值為4 4