數學(A)卷 106-5-A

106-5共同科目 數學(A)卷 詳解

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106 學年度四技二專第五次聯合模擬考試 共同科目 數學(A)卷 詳解

數學(A)卷 106-5-A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A D B D C A A B C A D A B C C D B A A C D C D B B

1. L₂：3x4y 8 0，此三角形的高恰為兩平行線L1

與L2的距離，

2 2

| 7 8 | 3 4 3

    d 

故面積為1 1 5 3 15 2AB d    2 2

2. 同界角的定義為兩角「相差」為 360°(或是 2_)的整 數倍

(A) 30 150  120 (不合) (B) 30 210  180 (不合) (C) 5 7

6  6  3 (不合)

(D) 7 19

2 2 ( 1) 6 6

        

故選(D)

3. P(sin , tan )  _{在第四象限，即} sin 0 I , II

tan 0 II , IV

  



  

在 在

 

  ^，故_{為第二象限角}

4. 將sin cos 1

 3

  左右平方得

2 2 1

sin 2sin cos cos

  9

    _，1 2sin cos ¹

   9 2sin cos 8

9

    _，sin cos ⁴

9

 

而題意所求的tan cot sin cos cos sin

    

 

 

2 2

sin cos 1 9

sin cos sin cos 4

    

   

5. (a c )² b² (2 2)ac

22  2  22  2

a ac c b ac ac，a²c²b²   2ac 再由餘弦定理得

2 2 2 2 2

cos 2 2 2

  

a c b  ac 

B ac ac ^，則 B 135

6. 利用三角形內角和 180°可得 180 45 75 60

ACB       _{，再由正弦定理得}

sinAB sinBC

C A^，

2 6 sin 60 sin 45

 

AB ， 2 6 3

1 2 6 2

  

AB

7. (4r, 2 3) (4   r, 1) (2 , 1 3) (2 , 4)

 r    r  又

則4 1

2 4

 

 

r

r ^，2   r 16 4r，r 6

8. 先求 3 3 3 9

2 2

   

再求

2 9 2

4 3 4 ( 3) 57

    2 

最後開根號得  57

9. 由餘式定理得 f( 2)  1，故所求之餘式為

2 2018 107

[( 2)  1] [ ( 2)]f     ( 2 1) [ ( 2)]f 

2018 107

5 ( 1) ( 1) ( 1) 5 1 ( 1) ( 1) 6

             

10. 由根與係數關係得

6 6 1 3 3 1

    



  



 



所求1 1 6 2

3

    

  

11. 利用指數律把方程式改成(5 )^{x 2}5^x 6 0，十字交乘 法得 (5^x3)(5^x2) 0 ， 5^x 3或2_{(不合，因為指} 數恆正)，故5 3

2^x 2 12. ₂

3

log 2

a ， 2

3

1 log 2

  3 b

2 2

4 2 2 2

9 ( )3 3 3

1 1 2 1 1

log log ( ) log log

4 2 2 2 2

   

c

因為底數0 2 1

 3 _{，真數大小順序為}2 2 1 3 2

 

所以 2 2 2

3 3 3

2 1

log 2 log log

3 2

  _{，即  }a b c 13. [3 2 ( 2)   k][1 2 ( 3)   k] 0

(k1)(k 5) 0，1 k 5，故選(B) 14. 將題目條件表格化

甲 乙 條件

藍色布料 40 20 1000 綠色布料 30 30 900

利潤 300 200 目標函數 ( , )f x y 假設 x y

依條件列出不等式

40 20 1000 2 50

30 30 900 30

0 , 0 0 , 0

   

 

     

 

     

 

x y x y

x y x y

x y x y

，畫出圖形如下

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目標函數 f x y( , ) 300 x200y，將頂點代入得 (0 , 0) 0

f ，f(25 , 0) 7500 ， f(0 , 30) 6000 (20 , 10) 8000

f ，故最大獲利為 8000 元 15. (A) 等號右邊數字應該大於 0

(B) (y2)²前面應該為 

(C) 圓的判別式( 2) ²3²   4 1 9 0 (D) 圓的判別式3² ( 2)²    4 6 11 0 故選(C)

16. 如下圖所示：圓心O到直線的距離

2 2

|1 2 0 4 | 5 1 2

  

 

d  ，PQ2 r²d ²

2 2

2 72 r ( 5) ，7r²5，r² 12 面積為r² 12

17. ₃₅ 35( ^{1 35}) ₁₈ ^{17 19}

35 35

2 2

 

 a a    a a

S a

18 22

35 35 20 700

2

     

18. 512為第 10 項，a10  a r1 ^{10 1} ，512 1  r^{10 1}

9 9

2  r _，r2，題目所求為S10 a1 a10

1 (210 1) 1 512 510 2 1

 

   



19. 先排丁、戊兩人，有 2!種，而這兩個人有三個間格，

再將甲、乙、丙三人排進這三個間格有 3!種，故共有 2! 3! 2 6 12    種

20. C₃²ⁿ 12C₂ⁿ，2 (2 1)(2 2) ( 1)

3 2 12 2

  

 



n n n n n

2(2 1) 3 6

 

n ，2n 1 9，2n10，n5 21. P (至少一黑球) 1 _{P (無黑球)}

6 3 10 3

6 5 4

1 5

1 1 3 2 1

10 9 8 6 6 3 2

 

       

 

 C

C

22. 1 10 50

10000 5000 500 85

1000 1000 1000

      

E

23. 假設 ^{1 2 3 4 5 6 7} 7

     

^{a a a a a a a} X

新的平均數 76 79 80 82 84 85 88 7 82

     

 

Y

又4X  2 Y 82，4X 80，X 20 24. 先求算術平均數 60 64 66 68 72 66

5

   

 

X 利用表格化

x i 60 64 66 68 72

i

x X 6 2 0 2 6 (x_iX)2 36 4 0 4 36

所以母群體標準差 36 4 0 4 36 16 4 5

   

  

S

25. 41 63 2 11(     2 ) _，74 63 11(    )_，則 41 分到 74 分約佔了(95 68)% 81.5%

2  2  _{，故人數約} 為800 81.5% 652  _人