由一類定值條件確定的圓錐曲線

(1)

由一類定值條件確定的圓錐曲線

鍾文體

下面的練習很適合給正在學習解析幾何的中學生做:

練習1: 給定平面上的 n 個點 A1, A2, . . . , A_n。若點 P 到這 n 個點的距離的平方和為定值, 求 P 的軌跡。

選擇適當的座標系能極大地減少計算量。設給定的 n 個點的重心為 G。以 G 為座標原點, 建立平面直角座標系。設點 Ai (i = 1, 2, . . . , n) 的座標為 (xi, y_i), 則有

n

X

i=1

x_i = 0,

n

X

i=1

y_i = 0. (1)

設定值為 K, P 的座標為 (x, y), 由距離公式, 有

n

X

i=1

(x − xi)²+ (y − yi)² = K.

再根據 (1) 式, 得

nx²+ ny² = K −

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y_i²

! . 上述步驟可逆, 故所求的軌跡是以給定的 n 個點的重心為圓心的圓。

以下是練習 1 的對偶。

練習2: 給定平面上的 n 個點 A1, A2, . . . , A_n, 設這些點的重心為 G。考慮以 G 為圓心的圓, 則圓周上的任意一點到這給定的 n 個點的距離的平方和為定值。

《數學通報》2020 年第 3 期的一篇文章 (見文獻 [1]) 將練習 2 作了如下推廣:

定理 A: 給定平面上的 n 個點 A1, A2, . . . , A_n, 設這些點的重心為 G。考慮以 G 為中心的橢圓, 則橢圓上的任意一點到 A1, A2, . . . , A_n 的距離的平方和與該點到橢圓的兩個焦點的距離的乘積的 n 倍之和為定值。

81

(2)

上面這段文字的後半部分有點拗口, 乾脆跳過不看也沒關係, 我們直接看下文。具體地說, 取 n 個固定的點 A1, A2, . . . , A_n, 設 G 為它們的重心。以 G 為原點建立平面直角座標系。設有一橢圓, 其方程為 ^x_a²₂ +^y_b²₂ = 1, 左右焦點分別為 F1, F2。 P 為此橢圓上的任意一點, 則

n

X

i=1

|P Ai|²+ n|P F1| · |P F2| 恆等於定值

n

X

i=1

|GAi|²+ na²+ nb².

特別地, 當 F1 與 F2 重合時, 橢圓退化為圓。此時, |P F1| · |P F2| 等於半徑的平方, 為定值。故

n

P

i=1

|P Ai|² 為定值, 這是練習 2 的結論。

我們很自然地考慮上述結論的對偶。為了方便, 先介紹一些術語。

對固定的 n+2 個點 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2及任意點 P , 稱Pⁿ

i=1

|P Ai|²+n|P F1|·|P F2| 為點 P (關於點 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2) 的第一類目標值; Pⁿ

i=1

|P Ai|² − n|P F1| · |P F2| 為點 P (關於點 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2) 的第二類目標值。先給一個引理。

引理: 給定平面上的 n + 2 個點 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2。設點 A1, A2, . . . , A_n 的重心與點 F1, F2 的重心重合, 記為 G。考慮平面上任意一點 P 。

(a) 當且僅當 P 落在線段 F1F2 上時, 它的第一類目標值最小。最小的第一類目標值為

n

X

i=1

|GAi|²+ n|GF1||GF2|.

(b) 設 F1 和 F2 不重合。在直線 F1F2 中挖去線段 F1F2 (不包括端點), 得到兩條射線, 都記為 l。則當且僅當 P 落在 l 上時, 它的第二類目標值取最大值

n

X

i=1

|GAi|²+ n|GF1||GF2|;

當且僅當 P 落線上段 F1F2 的垂直平分線上時, 它的第二類目標值取最小值

n

X

i=1

|GAi|²− n|GF1||GF2|.

證明: 以 G 為原點建立平面直角座標系, 使 F 和 F 落在 x 軸上。不妨設 F , F 的座標分

(3)

別為 (−c, 0), (c, 0), 其中 c ≥ 0。設點 A_i (i = 1, 2, . . . , n) 的座標為 (xi, y_i), 則有

n

X

i=1

x_i = 0,

n

X

i=1

y_i = 0. (2)

設 P 的座標為 (x, y), 根據距離公式, 得

n

X

i=1

|P Ai|²+ n|P F1| · |P F2|

=

n

X

i=1

(x − xi)²+ (y − yi)² + np(x + c)²+ y²p(x − c)²+ y². 再根據 (2) 式, 整理得

n

X

i=1

|P Ai|²+ n|P F1| · |P F2|

= nx²+ ny²+

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y_i²+ np(x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx).

因 Pⁿ

i=1

|GAi|² =

n

P

i=1

x²_i +

n

P

i=1

y²_i 且 |GF1||GF2| = c², 故只需證明

x²+ y²+p(x² + y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx) ≥ c², (3) 且等號成立當且僅當 −c ≤ x ≤ c, y = 0。

以下證明 (3) 式。當 |x| > c 時顯然成立, 下設 |x| ≤ c, 此時,

(3) ⇔ y²+p(x²+ y²+ c²− 2cx)(x² + y²+ c²+ 2cx) ≥ c²− x²

⇔

y²+p(x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c² + 2cx)²

≥ (c²− x²)²

⇔ y⁴+2y²p(x²+y²+c²−2cx)(x²+y²+c²+2cx) + (x²+y²+c²)²−4c²x²

≥ (c²−x²)²

⇔ y²

x²+ y²+ c²+p(x²+ y²+ c²− 2cx)(x² + y²+ c²+ 2cx)

≥ 0.

於是 (3) 式成立, 且等號成立當且僅當 −c ≤ x ≤ c, y = 0, 故 (a) 成立。

下設 F1 和 F2 不重合。類似地, 有

n

X

i=1

|P Ai|²− n|P F1| · |P F2|

= nx² + ny²+

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y_i²− np(x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx).

(4)

故只需證

−c² ≤ x²+ y²−p(x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx) ≤ c², (4) 且左邊等號成立當且僅當 x = 0, 右邊等號成立當且僅當 y = 0, x ≤ −c 或 x ≥ c。以下證明這個不等式。首先,

− c² ≤ x²+ y²−p(x²+ y²+ c² − 2cx)(x² + y²+ c²+ 2cx)

⇔ x²+ y²+ c² ≥p(x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx)

⇔ (x²+ y²+ c²)² ≥ (x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx)

⇔ (x²+ y²+ c²)² ≥ (x²+ y²+ c²)²− 4c²x² ⇔ 4c²x² ≥ 0,

故 (4) 式左邊成立。又由 F1 和 F2 不重合可知 c 6= 0, 故等號成立當且僅當 x = 0。以下考慮不等式的另一邊。

x²+ y²−p(x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c² + 2cx) ≤ c²

⇔ x²− c²+ y² ≤p(x² + y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx)

⇔ (x − c)(x + c) + y² ≤p(x − c)²+ y²p(x + c)²+ y².

當 x−c 和 x+c 異號時, 顯然有 (x−c)(x+c)+y² < y² <p(x − c)²+ y²p(x + c)²+ y², 故此時 (4) 式右邊成立。下設 (x − c)(x + c) ≥ 0, 則

(x − c)(x + c) + y² ≤p(x − c)²+ y²p(x + c)²+ y²

⇔(x − c)(x + c) + y²²

≤(x − c)²+ y² (x + c)²+ y²

⇔ 2(x − c)(x + c)y² ≤ (x − c)²y²+ (x + c)²y²

⇔ [(x − c)y − (x + c)y]² ≥ 0 ⇔ c²y² ≥ 0,

故 (4) 式右邊成立, 且等號成立當且僅當 y = 0 且 (x − c)(x + c) ≥ 0。於是 (b) 成立。

定理1: 給定平面上的 n + 2 個點 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2。設點 A1, A2, . . . , A_n 的重心與點 F1, F2 的重心重合, 記為 G。則關於 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2 的第一類目標值為定值 K

K ≥

n

P

i=1

|GAi|² + n|GF1||GF2|

的點的軌跡是某個以 G 為中心, F1, F2 為焦點的橢圓。

當 K =

n

P

i=1

|GAi|²+ n|GF1||GF2| 時, 軌跡退化為線段 F1F2。

證明: 由引理可知, 當 K =

n

P

i=1

|GAi|²+ n|GF1||GF2| 時, 軌跡為線段 F1F2, 以下只考慮 K >

n

P|GAi|²+ n|GF1||GF2| 的情形。

(5)

以 G 為原點建立平面直角座標系, 使 F1 和 F2 落在 x 軸上。不妨設 F1, F2 的座標分別為 (−c, 0), (c, 0), 其中 c ≥ 0。設點 Ai (i = 1, 2, . . . , n) 的座標為 (xi, y_i), 則有

n

X

i=1

x_i = 0,

n

X

i=1

y_i = 0. (5)

由條件, 有 Pⁿ

i=1

|P Ai|²+ n|P F1| · |P F2| = K。設 P 的座標為 (x, y), 再根據距離公式, 得

n

X

i=1

(x − xi)²+ (y − yi)² + np(x + c)²+ y²p(x − c)²+ y² = K.

根據 (5) 式, 整理得

nx²+ny²+

n

X

i=1

x²_i+

n

X

i=1

y_i²−K = −np(x² + y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx). (6) 兩邊平方, 得

n²x⁴+ n²y⁴+

n

X

i=1

x²_i

!² +

n

X

i=1

y_i²

!² + K²

+ 2n²x²y²+ 2nx²

n

X

i=1

x²_i + 2nx²

n

X

i=1

y_i²− 2nKx²

+ 2ny²

n

X

i=1

x²_i + 2ny²

n

X

i=1

y_i²− 2nKy²

+ 2

n

X

i=1

x²_i

! _n X

i=1

y_i²

!

− 2K

n

X

i=1

x²_i

− 2K

n

X

i=1

y_i²

= n² x⁴+ y⁴+ c⁴+ 2x²y²+ 2c²x²+ 2c²y²− 4c²x² . 整理, 得

2nx²

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y_i²− K + nc²

!

+ 2ny²

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y_i²− K − nc²

!

= n²c⁴−

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y_i²− K

!² .

(6)

因 K > Pⁿ

i=1

|GAi|²+n|GF1||GF2| =

n

P

i=1

x²_i+

n

P

i=1

y²_i+nc², 故 nc²+

n

P

i=1

x²_i+

n

P

i=1

y_i²−K < 0, nc²−

_n P

i=1

x²_i +

n

P

i=1

y_i²

+ K > 0。從而 n²c⁴−

_n P

i=1

x²_i +

n

P

i=1

y²_i − K

²

6= 0, 兩邊同時除以 n²c⁴−

_n P

i=1

x²_i +

n

P

i=1

y²_i − K

² , 得 x²

K−

n

P

i=1

x²i+

n

P

i=1

yi²

+nc² 2n

+ y²

K−

n

P

i=1

x²i+

n

P

i=1

y²i

−nc² 2n

= 1. (7)

這是一個橢圓方程。容易看到這個橢圓的半焦距恰好為 c。設 Q 為此橢圓上的任一點, 根據定理 A,

n

P

i=1

|QAi|²+ n|QF1| · |QF2| 等於定值

n

X

i=1

|GAi|²+ n · K−

_n P

i=1

x²_i +

n

P

i=1

y_i²

+ nc²

2n + n ·

K −

_n P

i=1

x²_i +

n

P

i=1

y_i²

− nc²

2n ,

上式化簡之後恰好為 K。於是, 滿足定理 1 條件的點 P 的軌跡為橢圓。

下面給一個例子。取點 A1(2, 5), A2(1, 2), A3(1, −3), A4(−4, −4) 及 F1(−2, 0), F2(2, 0)。再取 K = 100, 則軌跡方程為 x²

5 + y² = 1, 見下圖。

文 [1] 還證明了下述結論。

(7)

定理B: 給定平面上的 n 個點 A1, A2, . . . , A_n, 設這些點的重心為 G。則以 G 為中心的雙曲線上的任意一點到 A1, A2, . . . , A_n 的距離的平方和與該點到雙曲線的兩個焦點的距離的乘積的 n 倍之差為定值。

類似地可以證明上述結論的對偶。

定理2: 給定平面上的 n + 2 個點 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2, 且 F1 和 F2 不重合。設點 A1, A2, . . . , A_n 的重心與點 F1, F2 的重心重合, 記為 G。則關於 A1, A2, . . . , A_n, F1, F2 的第二類目標值為定值 K n

P

i=1

|GAi|²− n|GF1||GF2| ≤ K ≤

n

P

i=1

|GAi|²+ n|GF1||GF2|

的點的軌跡是某個以 G 為中心, F1, F2 為焦點的雙曲線。當 K =

n

P

i=1

|GAi|² + n|GF1||GF2| 時, 軌跡退化為從直線 F1F2 挖去線段 F1F2 (不包括端點) 得到的兩條射線。當 K =

n

P

i=1

|GAi|²− n|GF1||GF2| 時, 軌跡退化為線段 F1F2 的垂直平分線。

其證明與定理 1 類似, 只需將 (6) 式改為 nx²+ ny²+

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y_i²− K = np(x²+ y²+ c²− 2cx)(x²+ y²+ c²+ 2cx).

上式仍然可整理成 (7) 的形式, 此時它是雙曲線方程。具體細節留給讀者。

參考文獻

1. 何重飛。一類定值問題在圓錐曲線中的推廣。數學通報, 59(3), 61-63, 2020。

—本文作者任教於中國廣東省深圳市教育科學研究院附屬外國語學校_—

由一類定值條件確定的圓錐曲線

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