不等式

Muirhead 不 等式

陳柏宇 · ^張福春

摘要: 本文首先探討蓋、 雙重隨機矩陣及凸包之間的等價關係, 並介紹由這些概念所 得到的 Muirhead 不等式, 及其在古典不等式和數學競賽不等式問題中的應用。

美國數學會 2010 年分類索引: 主要 26D。

關鍵詞: 凸包、 Muirhead 條件、 Muirhead 不等式、 羅倫斯曲線、 蓋、 雙重隨機矩 陣、 相異代表系、 伯克霍夫定理。

1. 前言

不等式是數學中重要的分支, 不論是在日常生活中或是在數學的領域裡, 我們常會希望能 夠對我們有興趣的量探討其最大值或最小值, 或是對某些無法確切計算的數值給出一個最大或 最小的界, 以便我們對其性質能做更深入的瞭解。

[5] 探討 n 變數對稱代數函數的等式及不等式, 以及其相關代數方法的應用, 其中特別探 討了有關 n 維向量中特定排序及其中包含形如 x^a₁¹x^a₂²· · · x^anⁿ 的對稱冪次式。 Muirhead 想要 將這類型的對稱冪次式的值做排序, 因而發展了 Muirhead 不等式。 原本需要反覆使用廣義算 幾不等式才能得到結果, 使用 Muirhead 不等式 能夠大量簡化所需的計算過程, 且能幫助我們 更方便和有系統的處理相關的問題。 對於數學競賽有關不等式的問題, Muirhead 不等式是一 個有用的工具, 文中也提供相關的例題作說明。 有關 Muirhead 不等式更進一步的介紹可參考 [1]、 [6] 和 [4]。

本文的安排如下: 第 2 節中, 由蓋、 凸包及雙重隨機矩陣推導出 Muirhead 不等式, 並證 明蓋具有遞移性與稠密性。 除此之外, 也提出它在古典不等式中的重要應用。 在第 3 節中, 利用 Muirhead 不等式的特殊形式衍生的兩個小技巧, 將齊次性的概念帶入不等式中, 拓展其能應 用的範圍。

41

2. Muirhead 不等式

以下先看一個用廣義算幾不等式推導的問題:

例1: 設 x, y, z 為非負實數, 試證

x²y³+ x²z³+ y²x³ + y²z³+ z²x³+ z²y³ ≤ xy⁴+ xz⁴+ yx⁴+ yz⁴+ zx⁴ + zy⁴ (1) 當我們考慮兩個齊次性多項式間的關係時, 我們經常使用算幾不等式幫助我們處理問題。 若此 處我們希望以相同的手法, 則我們需要證明式 (1) 不等式左邊的各項可以表達為右邊各項的加 權幾何平均數。 經過一些試驗後, 我們觀察到對任意非負實數 a, b 皆有 a²b³ = (ab⁴)²³(a⁴b)¹³, 則利用廣義算幾不等式可推導

a²b³ = (ab⁴)²³(a⁴b)¹³ ≤ 2

3ab⁴ +1 3a⁴b 接著我們以此式證明例 1。

證明: 利用上述觀察到的關係式, 可知

x²y³+ x³y² ≤ xy⁴+ x⁴y

接著利用相同的方式處理 x²z³, x³z² 與 y²z³, y³z², 可得兩條類似的不等式 x²z³+ x³z² ≤ xz⁴+ x⁴z 與 y²z³+ y³z² ≤ yz⁴+ y⁴z, 最後將三式相加, 即可得證。  設 f (x1, x2, x3, . . . , xn) 為變數 x1, x2, . . . , xn 的函數, f (x1, x2, x3, . . . , xn) 的 n 項 循環和定義如下:

X

cyc

f (x1, x2, x3, . . . , xn) = f (x1, x2, x3, . . . , xn) + f (x2, x3, . . . , xn, x1)

+ f (x3, . . . , xn, x1, x2) + · · · + f(xⁿ, x1, x2, . . . , xn−1) 例 1 中考慮的是變數兩兩相乘的情況, 為了觀察更廣義的結果, 我們嘗試想將類似式 (1) 的不等 式推廣到更多變數相乘的情形。 可是當我們考慮到三變數相乘的情況, 例如考慮 P

cycx²y² ≥ P

cycx²yz 時, 情形就變得不這麼簡單了。

我們嘗試從幾何的角度出發。 觀察圖 1, 從中可發現 (2, 3) = ²₃(1, 4) +¹₃(4, 1), 這與我們 之前觀察到的式子 a²b³ = (ab⁴)²³(a⁴b)¹³ ≤ ²₃(ab⁴) + ¹₃(a⁴b) 十分類似, 可知我們或許可利用 幾何的方法描述此種次方的分解。 因此若我們希望能將不等式 (1) 推廣到更多變數的情形, 我 們可嘗試在多變數的情況下建構出類似於圖 1 的圖形。

為了推廣到多變數的情形, 我們使用分析的名稱描述圖 1, 即 (2, 3) 落在 (1, 4) 及其排序 (4, 1) 的凸包中, 其中凸包的定義可參照定義 1。

b

b b

(4, 1) (2, 3) =²₃(1, 4) +¹₃(4, 1) (1, 4)

1 :

2

圖_1: 二維空間中, 共線三點的比例關係

定義 1: 在一個實數向量空間 V 中, 對於給定集合 X, 所有包含 X 的凸集合的交集 S 被稱 為 X 的 凸包 (convex hull)。

S := \

X⊆K⊆V

K, K 是凸集合

例如在二維平面中, 任意非共線三點所形成的凸包, 即為連接此三點所成的三角形, 任意 n 點所形成的凸包, 則為能包含此 n 點的最小凸 k 多邊形 (k ≤ n)。

因此, 考慮類似於圖 1 的形狀及凸包的定義, 給定任意 n-維向量 α = (α1, α2, . . . , αn) 及 β = (β1, β2, . . . , βn), 我們考慮 α 落在由 

βτ (1), βτ (2), . . . , βτ (n)
| τ ∈ Sn 所組成的 凸包 H(β) 中, 其中 Sⁿ 代表集合 {1, 2, . . . , n} 中元素的所有 n! 種排列所成的集合, τ(i), i = 1, 2, . . ., n 表示集合 Sⁿ 之中元素的第 i 個分量。 例如在 n = 3 的情況下,

S³ = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}

即為集合 {1, 2, 3} 的所有可能排序, 考慮其中元素 (2, 3, 1), 其 τ(1)=2, τ(2)=3, τ(3)=1。

圖 2 為三維空間中, 凸包的示意圖。 有了幾何圖形的引導及幫助, 我們能將例 1 的不等式 推廣至多變數的情況。

為了底下書寫的方便, 此處引進一些新的符號。

定義2: 給定 n 維向量 a = (a1, a2, . . . , an), 定義 a[j], 1 ≤ j ≤ n 為此 n 維向量中對各分量 由大至小做排序後的第 j 項, 亦即 a_[1] ≥ a^[2] ≥ · · · ≥ a^[n], 並定義 a↓ = (a[1], a[2], . . . , a[n])。

定理 3: (Muirhead Inequality) 給定 α = (α1, α2, . . . , αn), β = (β1, β2, . . . , βn) ∈ Rⁿ, 且 α ∈ H(β), 對所有正數 x¹, x2, . . ., xn 有

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)¹ x^α_σ(2)² · · · x^ασ(n)ⁿ ≤ X

σ∈Sn

x^β_σ(1)¹ x^β_σ(2)² · · · x^βσ(n)ⁿ

b

O

b

b b bb

b b b b

y= (β1, β2, β3) α∈ H(β)

x2

x1

x3

圖2: 三維空間中, 凸包的關係圖 等號成立若且唯若 α↓ = β↓ 或 x1 = x2 = · · · = xⁿ。

證明: 因為有 α ∈ H(β), 其等價於 (α1, α2, . . . , αn) = X

τ ∈Sn

pτ(β_{τ (1)}, β_{τ (2)}, . . . , β_{τ (n)}) 且 pτ ≥ 0,X

τ ∈Sn

pτ = 1

現在, 若我們利用上述等式表示 x^α_σ(j)^j , 則我們可得 x^α_σ(1)¹ x^α_σ(2)² · · · x^α_σ(n)ⁿ = Y

τ ∈Sn

x^β_σ(1)^τ(1)x^β_σ(2)^τ(2)· · · x^β_σ(n)^τ(n)pτ

(2) 接著, 利用廣義算幾不等式有

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)¹ x^α_σ(2)² · · · x^ασ(n)ⁿ ≤ X

σ∈Sn

X

τ ∈Sn

pτx^β_σ(1)^τ(1)x^β_σ(2)^τ(2)· · · x^βσ(n)^τ(n) (根據 (2) 及算幾不等式)

= X

τ ∈Sn

pτ

X

σ∈Sn

x^β_σ(1)^τ(1)x^β_σ(2)^τ(2)· · · x^βσ(n)^τ(n)

= X

τ ∈Sn

pτ

X

σ^′∈Sn

x^β_σ^1′₍₁₎x^β_σ^2′₍₂₎· · · x^βσ^n′(n)

= X

σ^′∈Sn

x^β_σ^1′₍₁₎x^β_σ^2′₍₂₎· · · x^βσ^n′(n)

= X

σ∈Sn

x^β_σ(1)¹ x^β_σ(2)² · · · x^βσ(n)ⁿ (3)

因為重排的重排依然為重排, 所以式 (3) 成立。 舉例來說, 當 n = 2 時 p1

x^β₁¹x^β₂² + x^β₂¹x^β₁²

+ (1 − p¹)

x^β₁²x^β₂¹ + x^β₂²x^β₁¹

= x^β₁¹x^β₂²(p1+ (1 − p¹)) + x^β₂¹x^β₁²(p1+ (1 − p¹))

= x^β₁¹x^β₂² + x^β₂¹x^β₁²

故得證。 

註: 一般我們稱 α ∈ H(β) 為 Muirhead 條件 (Muirhead’s condition)。

然而, 在我們使用 Muirhead 不等式時, 有一個條件需要先滿足, 即我們要先確定條件 α ∈ H(β) 是否成立, 而檢查此條件有一個很有效的方法, 即考慮蓋的觀念。

定義 4 (蓋 (majorization)): 給定兩組向量 α = (α1, α2, . . . , αn), β = (β1, β2, . . . , βn) ∈ Rⁿ, 若滿足條件

(i) α[1]+ α[2]+ · · · + α^[j] ≤ β^[1]+ β[2] + · · · + β^[j], 1 ≤ j < n (ii) α[1]+ α[2]+ · · · + α^[n] = β[1] + β[2]+ · · · + β^[n]

則我們稱 α 被 β 蓋住, 記做 α ≺ β 或 β ≻ α。

為了更瞭解關於”蓋”的定義, 以下我們舉一個簡單的例子:

(1, 1, 1, 1) ≺ (2, 1, 1, 0) ≺ (3, 1, 0, 0) ≺ (4, 0, 0, 0) (4) 關係式 (4) 可經由簡單的計算得到。 因為 α ≺ β 的關係只與 α 與 β 排序後的向量有關, 故 (4) 也可寫成

(1, 1, 1, 1) ≺ (0, 1, 1, 2) ≺ (0, 1, 3, 0) ≺ (0, 4, 0, 0) 定理 5 (蓋的遞移性): 設 α, β, γ ∈ Rⁿ, 若 α ≺ β, 且 β ≺ γ, 則 α ≺ γ。

證明: 因為

(i) α_[1]+ α_[2]+ · · · + α[j]≤ β[1]+ β_[2]+ · · · + β[j] ≤ γ[1]+ γ_[2]+ · · · + γ[j], 1 ≤ j < n (ii) α[1]+ α[2]+ · · · + α^[n] = β[1] + β[2]+ · · · + β^[n] = γ[1]+ γ[2]+ · · · + γ^[n]

故得證。 

有了蓋的基本觀念後, 接著說明兩向量 α, β ∈ Rⁿ, α ∈ H(β) 與 α ≺ β 間的關係, 以 瞭解 Muirhead 不等式使用的時機。

定理 6: 設向量 α, β ∈ Rⁿ, 且 α ∈ H(β), 則 α ≺ β。

證明: 對於 α ∈ H(β), 我們可表達為

(α1, α2, . . . , αn) = X

τ ∈Sn

pτ β_{τ (1)}, β_{τ (2)}, . . . , β_{τ (n)}

若只考慮第 j 個分量, 則有以下等式 αj = X

τ ∈Sn

pτβτ (j)=

n

X

k=1

n X

τ :τ (j)=k

pτ

o βk =

n

X

k=1

djkβk (5)

式 (5) 中, 為了簡化式子, 我們設定

djk = X

τ :τ (j)=k

pτ

可發現 d_jk≥ 0, 且因為對 djk 的下標 j 或 k 求和皆相當於 Sn 中所有 p_τ 的總和, 故有

n

X

j=1

djk= 1,

n

X

k=1

djk= 1 (6)

對一個非負實係數的矩陣 D = {d^jk} 若能滿足 (6), 則我們稱此矩陣為雙重隨機矩陣 (doubly stochastic matrix)。 因此, 若我們將 α, β 視為行向量, 則由 (5) 有

α ∈ H(β) ⇒ α = Dβ 因此, 接下來我們只需證明 α = Dβ ⇒ α ≺ β。

因為 α ∈ H(β) 及 α ≺ β 皆不受 α, β 向量內排序的影響, 因此不失一般性我們可假設 α₁ ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn 且 β₁ ≥ β2 ≥ · · · ≥ βn。 接著, 我們將 (5) 對 j 做加總, 可得

k

X

j=1

αj =

k

X

j=1 n

X

t=1

djtβt =

n

X

t=1 k

X

j=1

djt

! βt =

n

X

t=1

ctβt 其中 c_t=

k

X

j=1

djt (7)

因為 c_t 為 D 中第 t 行的前 k 個元素的加總, 且 D 為雙重隨機矩陣, 故我們有 0 ≤ c^t ≤ 1, 1 ≤ t ≤ n 且

n

X

j=1

cj = k 最後, 根據蓋的定義, 觀察以下等式

∆k =

k

X

j=1

αj −

k

X

j=1

βj =

n

X

j=1

cjβj−

k

X

j=1

βj+ βk k −

n

X

j=1

cj

!

=

k

X

j=1

(βk− β^j) (1 − c^j) +

n

X

j=k+1

cj(βj − β^k)

因為當 1 ≤ j ≤ k 時, βj ≥ β^k, 而當 k < j ≤ n 時, β^j ≤ β^k, 所以 ∆k ≤ 0, 1 ≤ k < n, 且由 (7) 可知 ∆_n = 0, 滿足蓋的定義, 故 α ≺ β 得證。  蓋的起源來自於兩個向量間, 其分量總和固定之下, 比較哪一個向量較為分散, 或是較為 平均的現象? 這樣子的議題, 在各個領域中被研究著。 在 20 世紀初, 經濟學家開始對衡量收入 或財富的不等式感興趣, 為了要去衡量這件事情, 我們希望能夠說明在收入或財富的分佈上, 何 謂一個收入 (財富) 的分佈較另一個平均。 [3] 所提出的羅倫斯曲線 (Lorenz Curve) 為最早針 對此議題所發展出的理論, 其他還有許多不同解釋的角度, 最著名的便是蓋的觀念了。

一個有趣的例子是假設觀察甲與乙兩個國家的人民收入狀況, 設定 α1 為甲國前 10% 收 入者的收入占甲國全國總收入的比例, α2 則為接下來 10% 收入者的收入占甲國全國總收入的 比例, 依此類推, α10 為甲國最後 10% 收入者的收入占甲國全國總收入的比例。 接著以 β1, β2, . . ., β10 對乙國做相同的定義。 則 α ≺ β 在經濟學上可被視為乙國的人民收入分佈比甲國來 得不平均。

很直覺的, 我們可聯想到是否 α ≺ β, 亦可推得 α = Dβ, 使得乙國人民的收入分佈能藉由雙 重隨機矩陣的轉換慢慢的與甲國類似。 這樣縮小貧富差距的觀念也不禁使人聯想到羅賓漢-劫富 濟貧的故事。 這也是在許多文章中, 將蓋理論翻譯為優化理論的重要原因。

定理 7: 設向量 α, β ∈ Rⁿ, 且 α ≺ β, 則存在一雙重隨機矩陣 D 使得 α = Dβ。

證明: 首先, 我們考慮最簡單的情況, 當 n = 2 時, 令 α = (α1, α2) = (ρ + σ, ρ − σ) 且 β = (β₁, β2) = (ρ + τ, ρ − τ)。 不失一般性, 我們可假設 α¹ ≥ α², β1 ≥ β², 且 α1+ α2 = β1+ β2。 因此, 若 σ ≤ τ, 則相當於說明 α ≺ β, 因此, 剩下的工作只需找出一雙 重隨機矩陣 D 使得 α = Dβ, 利用分點公式求 D 可得

Dβ =

"

τ +σ 2τ

τ −σ 2τ τ −σ

2τ τ +σ

2τ

# "

ρ + τ ρ − τ

#

=

"

ρ + σ ρ − σ

#

= α (8)

故此定理在 n = 2 的情況成立。

雖然上述的情況很簡單, 但我們可以利用上述的結果, 推廣到 n 維的情況, 並且說明 n × n 的 雙重隨機矩陣 D 為由有限個每次改變兩個分量的雙重隨機矩陣相乘而得。

考慮向量 α, β 有 α ≺ β, 且 α¹ ≥ α² ≥ · · · ≥ αⁿ, β1 ≥ β² ≥ · · · ≥ βⁿ, 已知其中有 N 個 分量不相等。 考慮 N ≥ 2, 則根據蓋的定義可知, 必定存在整數 1 ≤ j < k ≤ n, 使得

βj > αj, βk < αk, 且 βs= αs, ∀j < s < k (9) 考慮類似 n = 2 的情況, 取 ρ = (βj + βk) /2, τ = βj− ρ, 故 β^j = ρ + τ , βk= ρ − τ, 接著取 σ = max{|α^k− ρ|, |α^j− ρ|}, 如圖 3。 然後令 T 為能將 β = (β¹, β2, . . . , βn) 送到

|

|

• • | |

|

•

• | |

|

β_j^′ = ρ + σ β_k^′ = ρ − σ

αk αj α2 α1

αn

βj= ρ + τ

βk= ρ − τ β2 β1

βn

β^′ 值 β 值

α 值

| {z }

ρ

ρ− σ ρ ρ+ σ σ

圖_3: 將 β 做一次轉換為 β^′ β^′ = (β₁^′, β₂^′, . . . , β_n^′) 的 n × n 的雙重隨機矩陣, 其中 β^′ 滿足

β_k^′ = βk+ τ − σ, β_j^′ = βj − τ + σ, β_t^′ = βt, ∀t 6= j, t 6= k

T 的表示式可將 n = 2 時所推導出的雙重隨機矩陣的係數分別對應放置於矩陣 T 的 (j, j), (j, k), (k, j), (k, k) 四點上, 接著將對角線上的空位補滿 1, 其他空位則補滿 0, 如 (10)。 值 得注意的是, 轉換後的 β^′ 滿足 β^′ ≺ β。

































1 . ..

1

τ +σ

2τ · · · ^{τ −σ}_2τ ... . .. ...

τ −σ

2τ · · · ^{τ +σ}_2τ

1 . ..

1

































(10)

我們利用簡單的觀察及計算可以檢查 α ≺ β^′, 因此, 藉由矩陣 T 將 β 轉換成 β^′, 可將 α 與 β^′ 間不相等的分量縮小為至多 N − 1 個。 最後, 利用歸納法, 假設存在雙重隨機矩陣 D^′ 使得 α = D^′β^′, 因為 β^′ = T β, 故有 α = D^′(T β) = (D^′T )β, 且知兩個雙重隨機矩陣的乘積依然

為雙重隨機矩陣, 故得證。 

觀察圖 4, 其中 (1) 與 (2) 已經在定理 6 說明, 而 (3) 跟 (4) 的證明則可由定理 7 得到,

α ∈ H(β) α = Dβ α ≺ β

α = T

T

· · · T

β

(1) (2)

(4) (3) 伯克 霍夫定理

(5)

圖_4: 蓋與凸包的關係

若我們能證明最後一件事情, 即 α = Dβ ⇒ α ∈ H(β), 則我們可瞭解 α ≺ β 與 α ∈ H(β) 兩件事為等價的。 要證明 (5), 我們需要證明伯克霍夫定理, 這個定理又被稱為是雙重隨機矩陣 的基本定理。 此處我們採用一個較有趣的證明方式, 更詳細的介紹可參考 [6]。

定理 8 (結婚問題): 設 S₁, S₂, . . ., S_n⊂ S, 則對一集合 R = {x1, x₂, . . . , x_n} ⊂ S, 若其 中元素皆不相同且 xk ∈ S^k, k = 1, 2, . . ., n, 則稱 R 為一 相異代表系 (system of distinct representatives) (又稱 SDR)。 證明 SDR 存在若且唯若滿足以下條件

|A| ≤     

[

j∈A

Sj

其中 A ⊂ {1, 2, . . . , n} (11)

此處符號 |C| 代表集合 C 中的元素個數。

這個理論由 [2] 提出, 而 [7] 的文章中將其介紹為結婚問題 (marriage theorem), 也是 現在大家所熟知的名字。 原本的題目為考慮一群男孩及一群女孩, 若每個女孩只能嫁給自己認 識的男孩, 則順利將所有女孩嫁出的充分必要條件是: 任意 k 個女孩至少認識 k 個男孩。

證明: 明顯可知, 若 SDR 存在, 則條件必定滿足。 考慮另一個方向的證明, 利用 Weyl 的題意, 即第 j 個女孩認識的男孩為集合 S_j, 所以給定女孩的集合 A, 則集合S

j∈ASj 中的男孩必定 有某個 A 中的女孩認識。 考慮下列兩種狀況:

情況一: 假設 (11) 中的不等號為嚴格小於(即無等號成立的情況發生), 且已知 |A| < n。 將第 n 個女孩配對給她所認識的任一個男孩 b。 因為條件 (11) 依然在集合 A ⊂ {1, 2, . . . , n − 1}

及每個 S_j, 1 ≤ j ≤ n − 1 皆被替換成 S^j\{b} 的情況下成立, 因此其餘的女孩可依相同的方 法配對給其餘的男孩們。

情況二: 假設對某個集合 A₀ 考慮條件 (11), 發現等號成立, 且已知 |A⁰| < n。 我們令 B = [

j∈A0

Sj 且 S_j^′ = Sj\B 對所有 j ∈ A^c0

則根據歸納法, A₀ 中的女孩必可配對給 B 中的男孩, 因此我們只需證明在 A^c₀ 中的女孩也可 適當的配對給 B^c 中的男孩。 我們取任意的 A ⊂ A^c0 可發現

[

j∈A0∪A

Sj

≥ |A⁰∪ A| = |A| + |A⁰|

又我們有等式     

[

j∈A0∪A

Sj

=     

( [

j∈A0

Sj

) [

( [

j∈A

S_j^′ )

= |A⁰| +     

[

j∈A

S_j^′      因此, 可發現對所有 A ⊂ A^c0 皆可導出

[

j∈A

S_j^′     

≥ |A|

即對任意 A^c₀ 中取 k 個女孩的集合皆至少認識 k 個 B^c 中的男孩。 根據數學歸納法, 可知 A^c₀

中的女孩必可適當地配對給 B^c 中的男孩。 

定理 9 (伯克霍夫定理 (Birkhoff Theorem)): 給定排列 σ ∈ Sⁿ, 對應 σ 的置換矩陣為一 n × n 的矩陣 P^σ = (Pσ(j, k)) , 1 ≤ j, k ≤ n 其中元素為

Pσ(j, k) =







1 若 σ(j) = k 0 其他

證明若 D 為一 n × n 的雙重隨機矩陣, 則存在非負權重 {wσ : σ ∈ Sn} 使得 X

σ∈Sn

wσ = 1 且 X

σ∈Sn

wσPσ = D 即所有的雙重隨機矩陣皆可表示為置換矩陣的加權平均。

證明: 此處, 我們利用結婚問題 8 的結果推導伯克霍夫定理。 給定雙重隨機矩陣 D, 考慮 1 ≤ j ≤ n, 我們令 S^j 為能使得 d_jk> 0 的所有 k 所成的集合, 則對任意集合 A ⊂ {1, 2, . . . , n}

必有

|A| =X

j∈A

X

k∈Sj

djk ≤ X

k∈∪j∈ASj

X

1≤j≤n

djk =     

[

j∈A

Sj

根據定理 8, 必存在 {S¹, S2, . . . , Sn} 的 SDR, 所以我們可以定義排列 σ 藉由設定 σ(j) 為 Sj 中的代表值 (representative), 以 Weyl 的例子說明則相當於將向量中的第 j 個分量取為 第 j 個女生所配對到的男生。 接下來, 令 Pσ 為 σ 的置換矩陣並令 α = min d_jσ(j) > 0。 可

知, 若 α = 1 則 D 為一置換矩陣, 故得證。 但若 α < 1, 則考慮定義一個新的矩陣 D^′ = (1 − α)⁻¹(D − αP^σ), 可改寫為

D = αPσ+ (1 − α)D^′

觀察可知 D^′ 依然為一雙重隨機矩陣, 且矩陣中含有比 D 中更多的 0。 最後, 可利用數學歸納 法完成此定理的證明。

至此, 我們完整證明了 α ∈ H(β) 與 α ≺ β 之間的關係。 下面, 我們將介紹幾個例子, 來 示範 Muirhead 不等式的功用。 但此之前, 我們先介紹蓋的稠密性, 以及為了使得計算的式 子 更簡化, 我們定義一個新的符號使我們能更輕易地運用 Muirhead 不等式。 

定理 10 (蓋的稠密性): 設向量 α, β ∈ Rⁿ, α ≺ β 且 α^↓ 6= β^↓, 則必定存在 γ ∈ Rⁿ, 使得 α ≺ γ ≺ β。

證明: 不失一般性考慮向量 α, β 有 α ≺ β, 且 α¹ ≥ α² ≥ · · · ≥ αⁿ, β1 ≥ β² ≥ · · · ≥ βⁿ, 假設其中有 N 個分量不相等。 考慮 N ≥ 2, 則根據蓋的定義可知, 必定存在整數 1 ≤ j <

k ≤ n, 使得

βj > αj, βk< αk, βs = αs, ∀j < s < k (12) 考慮類似定理 7 的證明方式, 取 ρ = (β_j + βk) /2, τ = βj− ρ, 故 β^j = ρ + τ , βk = ρ − τ, 接著取 σ = max{|αk− ρ|, |α^j − ρ|}, 如圖 3。 接著取 γ 滿足

γk= βk+ c(τ − σ), γ^j = βj − c(τ − σ), γ^t= βt, t 6= j, t 6= k 其中 c ∈ (0, 1), 故 γ 6= α, γ 6= β。 接著我們驗證此 γ 是否符合我們的需求

t

X

i=1

αi ≤

t

X

i=1

γi =

t

X

i=1

βi, 1 ≤ t < j

t

X

i=1

αi ≤

t

X

i=1

γi ≤

t

X

i=1

βi, j ≤ t < k

t

X

i=1

αi ≤

t

X

i=1

γi =

t

X

i=1

βi, k ≤ t < n

n

X

i=1

αi =

n

X

i=1

γi =

n

X

i=1

βi

故有 α ≺ γ ≺ β, 得證。 

例 2 (內斯比特不等式 (Nesbitt’s Inequality)): 對於正實數 a, b, c 有 a

b + c+ b

c + a + c

a + b ≥ 3 2 證明: 通分並交叉相乘可得

2X

cyc

a(a + b)(a + c) ≥ 3(a + b)(b + c)(c + a) ⇐⇒ X

sym

a³ ≥X

sym

a²b

因為 (3, 0, 0) ≻ (2, 1, 0), 故可利用 Muirhead 不等式得證。  為了使得計算的式子更為簡化, 底下我們定義一個新的符號使我們能更輕易的運用 Muir- head 不等式。

定義 11: 令 [a] = [a1, a2, . . . , an] = 1 n!

X

σ∈Sn

x^a_σ(1)¹ x^a_σ(2)² · · · x^aσ(n)ⁿ 。

例 3 (算幾不等式): 對任意正數 y₁, y₂, . . ., y_n, 試證 y1+ y2+ · · · + yⁿ

n ≥ √ⁿy1y2· · · yⁿ 解法 1: 取 x_i = √ⁿy_i, 將上述算幾不等式寫成

1 n

n

X

i=1

xⁿ_i ≥ x1x₂· · · xn

現在, 我們可利用定義 11 觀察到 1

n

n

X

i=1

xⁿ_i = [n, 0, . . . , 0] 且 x1x2· · · xⁿ= [1, 1, . . . , 1]

因為 (1, 1, . . . , 1) ≺ (n, 0, . . . , 0), 故根據 Muirhead 不等式有 X

σ∈Sn

x¹₁x¹₂· · · x¹n ≤ X

σ∈Sn

xⁿ₁x⁰₂· · · x⁰n ⇒ [1, 1, . . . , 1] ≤ [n, 0, . . . , 0]

故可完成算幾不等式的證明。

解法 2: 接著, 我們提供算幾不等式的另一個證明。

1 n

n

X

i=1

xⁿ_i − (x¹x2· · · xⁿ) = [n, 0, . . . , 0] − [1, 1, . . . , 1]

= ([n, 0, . . . , 0] − [n − 1, 1, 0 . . . , 0]) + ([n − 1, 1, 0, . . . , 0] − [n − 2, 1, 1, 0 . . . , 0]) + · · · + ([2, 1, . . . , 1, 0] − [1, 1, . . . , 1])

=1 n!

X

σ∈Sn

xⁿ⁻¹_σ(1)− xⁿ⁻¹σ(2)

(x_σ(1)− xσ(2)) + X

σ∈Sn

xⁿ⁻²_σ(1)− xⁿ⁻²σ(2)

(x_σ(1)− xσ(2))x_σ(3)

+ X

σ∈Sn

xⁿ⁻³_σ(1)− xⁿ⁻³σ(2)

(xσ(1)− x^σ(2))xσ(3)xσ(4)+ · · ·

+ X

σ∈Sn

x^n−(n−1)_σ(1) − x^n−(n−1)σ(2)

(xσ(1)− x^σ(2))xσ(3)· · · x^σ(n)

!

當 x1 = x2 = · · · = xⁿ 時, 等號成立。 

註: 觀察例 3 的解法一可發現, 我們是利用 (1, 1, . . . , 1) ≺ (n, 0, . . . , 0) 此種蓋的關係完成證 明。 故我們可利用定理 10 中蓋的稠密性將算幾不等式寫得更加精鍊, 即對任意 n 維向量 (γk), k = 1, 2, . . ., 若滿足 (1, 1, . . . , 1) ≺ (γ¹) ≺ (γ²) ≺ · · · ≺ (γ^k) ≺ · · · ≺ (n, 0, . . . , 0), 則 對任意正數 x1, x2, . . ., xn 有

x1x2· · · xⁿ = [1, 1, . . . , 1] ≤ [γ¹] ≤ [γ²] ≤ · · · ≤ [γ^k] ≤ · · · ≤ [n, 0, 0, . . . , 0] = 1 n

n

X

i=1

xⁿ_i 舉例而言:

(1, 1, . . . , 1) ≺ (n − 1, 1, 0, . . . , 0) ≺ (n, 0, 0, . . . , 0)

⇒ [1, 1, . . . , 1] ≤ [n − 1, 1, . . . , 0] ≤ [n, 0, 0, . . . , 0]

⇒ x1x₂· · · xn ≤ 1 n!

X

σ∈Sn

xⁿ⁻¹_σ(1)x_σ(2)≤ 1 n

n

X

i=1

xⁿ_i

3. 兩個有用的技巧

這一節中, 我們將介紹兩個使用 Muirhead 不等式時有用的技巧。

定理 12: 在運用 Muirhead 不等式時, 若有條件 x1x2· · · xⁿ= 1, 則對任意實數 r 有 [α1, α2, . . . , αn] = [α1− r, α²− r, . . . , αⁿ− r]

證明:

[α1− r, α²− r, . . . , αⁿ− r] = 1 n!

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)^1−rx^α_σ(2)^2−r· · · x^ασ(n)^n−r

= 1 n!

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)¹ x^α_σ(2)² · · · x^ασ(n)ⁿ

x^r_σ(1)x^r_σ(2). . . x^r_σ(n) = 1 n!

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)¹ x^α_σ(2)² · · · x^ασ(n)ⁿ

= [α₁, α₂, . . . , α_n] 

觀察定理 12 可發現其相當於將式子改為齊次性不等式, 這樣的技巧能幫助我們更方便的 處理不等式的問題。

例 4 (1995 IMO): 對任意實數 a, b, c ≥ 0 且 abc = 1, 試證 1

a³(b + c) + 1

b³(c + a) + 1

c³(a + b) ≥ 3 2 證明: 通分並整理後可得

2(a⁴b⁴+ b⁴c⁴+ c⁴a⁴) + 2(a⁴b³c + a⁴c³b + b⁴c³a + b⁴a³c + c⁴a³b + c⁴b³a) + 2(a³b³c² + b³c³a²+ c³a³b²)

≥ 3(a⁵b⁴c³+ a⁵c⁴b³+ b⁵c⁴a³+ b⁵a⁴c³+ c⁵a⁴b³ + c⁵b⁴a³) + 6a⁴b⁴c⁴ 此式可寫成

[4, 4, 0] + 2[4, 3, 1] + [3, 3, 2] ≥ 3[5, 4, 3] + [4, 4, 4]

此處我們發現 4 + 4 + 0 = 4 + 3 + 1 = 3 + 3 + 2 = 8, 但是 5 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12。

運用定理 12, 我們可選擇 r = ⁴₃, 可知 [5, 4, 3] = ₁₁

3,⁸₃,⁵₃ 且 [4, 4, 4] = ⁸₃,⁸₃,⁸₃。 觀察到 (4, 4, 0) ≻ ¹¹3,⁸₃,⁵₃
, (4, 3, 1) ≻ ¹¹₃,⁸₃,⁵₃
且 (3, 3, 2) ≻ ⁸₃,⁸₃,⁸₃
。 故接下來我們只需應用 Muirhead 不等式, 即有

[4, 4, 0] + 2[4, 3, 1] + [3, 3, 2] ≥ 11 3 ,8

3,5 3



+ 2 11 3 ,8

3,5 3

 + 8

3,8 3,8

3



= 3 11 3 ,8

3,5 3

 + 8

3,8 3,8

3



= 3[5, 4, 3] + [4, 4, 4]  例 5 (1998 Short list IMO): 設 a, b, c 為正實數且 abc = 1, 試證

a³

(1 + b)(1 + c) + b³

(1 + c)(1 + a)+ c³

(1 + a)(1 + b) ≥ 3 4 解: 通分並整理後可得

4(a⁴+ b⁴ + c⁴+ a³+ b³+ c³) ≥ 3(1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc)

此式等價於

4[4, 0, 0] + 4[3, 0, 0] ≥ [0, 0, 0] + 3[1, 0, 0] + 3[1, 1, 0] + [1, 1, 1]

運用定理 12 及 Muirhead 不等式

[4, 0, 0] ≥ 4 3,4

3,4 3



= [0, 0, 0]

3[4, 0, 0] ≥ 3[2, 1, 1] = 3[1, 0, 0]

3[3, 0, 0] ≥ 3 4 3,4

3,1 3



= 3[1, 1, 0]

[3, 0, 0] ≥ [1, 1, 1]

將得到的四個結果相加, 即可得證所需之不等式。 

定理 13: 在使用 Muirhead 不等式時, 若有條件 x1x2· · · xⁿ≥ 1, 則對任意實數 r ≥ 0 有 [α1, α2, . . . , αn] ≥ [α¹− r, α²− r, . . . , αⁿ− r]

證明:

[α1 − r, α²− r, . . . , αⁿ− r] = 1 n!

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)^1−rx^α_σ(2)^2−r· · · x^ασ(n)^n−r

= 1 n!

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)¹ x^α_σ(2)² · · · x^α_σ(n)ⁿ x^r_σ(1)x^r_σ(2). . . x^r_σ(n)

≤ 1 n!

X

σ∈Sn

x^α_σ(1)¹ x^α_σ(2)² · · · x^ασ(n)ⁿ

= [α1, α2, . . . , αn]  例 6 (2005 IMO): 對任意實數 x, y, z ≥ 0 且 xyz ≥ 1, 試證

x⁵− x²

x⁵ + y²+ z² + y⁵− y²

y⁵+ z²+ x² + z⁵− z²

z⁵ + x²+ y² ≥ 0 證明: 通分並整理後可得

[9, 0, 0] + 4[7, 5, 0] + [5, 2, 2] + [5, 5, 5] ≥ [6, 0, 0] + [5, 5, 2] + 2[5, 4, 0] + 2[4, 2, 0] + [2, 2, 2]

欲證明此式, 我們觀察以下幾點 (i) [9, 0, 0] ≥ [7, 1, 1] ≥ [6, 0, 0]

(ii) [7, 5, 0] ≥ [5, 5, 2]

(iii) 2[7, 5, 0] ≥ 2[6, 5, 1] ≥ 2[5, 4, 0]

(iv) [7, 5, 0] + [5, 2, 2] ≥ 2[6,⁷2, 1] ≥ 2₁₁

2,⁷₂,³₂ ≥ 2[4, 2, 0]

(v) [5, 5, 5] ≥ [2, 2, 2]

其中 (i), (iii) 可由 Muirhead 不等式及定理 13 得到, (ii) 為 Muirhead 不等式所得, (iv) 為 運用算幾不等式、 Muirhead 不等式及定理 13 得到, (v) 則由定理 13 得到。 將觀察到的五個

不等式相加, 即可得到所求的不等式。 

習題

7: (i) 設 a, b, c 為非負實數, 試證

8abc ≤ (a + b)(b + c)(c + a) (ii) 設 aj, 1 ≤ j ≤ n 為實數, 試證

2 X

1≤j<k≤n

ajak≤ (n − 1)

n

X

j=1

a²_j

(iii) 設 aj, 1 ≤ j ≤ n 為非負實數, 試證

(a1a2· · · aⁿ)^1/n ≤ 2 n(n − 1)

X

1≤j<k≤n

√ajak

8 (2004 Moldova): 證明對於所有 a, b, c > 0, 皆滿足 a³+ b³+ c³ ≥ a²√

bc + b²√

ca + c²√ ab 9: 設 x, y, z 為正實數且滿足 xyz = 1, 試證

x² + y²+ z² ≤ x³+ y³+ z³

10: 對正實數 xk, 1 ≤ k ≤ n, 定義函數 S^m(x) = x^m₁ + x^m₂ + · · · + x^mn, 試證 S_m²(x) ≤ S^m−1(x)Sm+1(x), m = 1, 2, . . .

11: 為正實數, 試證

ra² b +

rb² a ≥√

a +√ b

12: 設 a, b, c 為非負實數, 試證

a³+ b³+ c³+ abc ≥ 1

7(a + b + c)³ 13: 設 a, b, c 為非負實數, 試證

a + b + c ≤ a²+ b²

2c + b²+ c²

2a + c²+ a² 2b ≤ a³

bc + b³ ca + c³

ab 14: 設 a, b, c 為正實數, 試證

a

(a + b)(a + c) + b

(b + c)(b + a) + c

(c + a)(c + b) ≤ 9 4(a + b + c) 15 (2004 Croatia): 設 a, b, c 為正實數, 試證

a²

(a + b)(a + c) + b²

(b + a)(b + c) + c²

(c + a)(c + b) ≥ 3 4 16 (2003 Short list Iberoamerican): 設 a, b, c 為正實數, 試證

a³

b²− bc + c² + b³

c²− ca + a² + c³

a²− ab + b² ≥ a + b + c 17: 設 x, y, z 為非負實數且 xy + yz + zx = 1, 試證

1

x + y + 1

y + z + 1

z + x ≥ 5 2

18 (1961 IMO): 令 a, b, c 為三角形三邊長, 並令 S 為其面積。 試證 4√

3S ≤ a²+ b²+ c² 19 (1964 IMO): 設 a, b, c 為正實數, 試證

a³+ b³+ c³+ 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 20 (2002 Canada): 設 a, b, c 為正實數, 試證

a³ bc + b³

ca+ c³

ab ≥ a + b + c 等號何時成立?

21 (2008 Serbia): 設 a, b, c 為滿足 a + b + c = 1 的正實數, 證明 a² + b²+ c²+ 3abc ≥ 4

9

參考資料

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2. Hall, P. (1935). On Representatives of Subsets. J. London Math. Soc. 10, 26-30.

3. Lorenz, M.O. (1905). Methods of measuring the concentration of wealth. Publications

of the American Statistical Association 9

4. Manfrino, R.B., Ortega, J.A.G., and Delgado, R.V. (2009). Inequalities: A Mathemat-

ical Olympiad Approach. Boston: Birkh¨auser.

5. Muirhead, R.F. (1903). Some methods applicable to identities and inequalities of sym- metric algebraic functions of n letters. Proc. Edinburgh Math. Soc 21, 144-157.

6. Steele, J.M. (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of

Mathematical Inequalities. Cambridge: Cambridge University Press.

7. Weyl, H. (1949). Almost periodic invariant vector sets in a metric vector space. Amer.

J. Math. 71, 178-205.

—本文作者陳柏宇任教新北市樹林區三多國中, 張福春任教國立中山大學應用數學系—

Sinica-NCTS/TPE Mini-course in Geometry

日 期 : 2014 年 07 月 09 日 (星期三) 、 2014 年 07 月 11 日 (星期五) 地 點 : 台北市大安區羅斯福路四段 1 號 天文數學館 722研討室 詳見中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw