第一章 緒論
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第一章 緒論
第一節 研究背景及動機
三角函數是數學以及其他應用學科廣泛地而且非常重要數學函數。學生在高 二後續理科的內容都會必須用上。例如數學上極座標、複數極式、「測量學」、物 理學上斜向拋射、等速率圓周運動、簡諧運動…等等。在高中生學習二年級後續 理科學習的地位是非常重要的。因此對三角函數的性質能否學好將是影響後續理 科學習的重要因素。
根據教育部在 88 年所頒布的高級中學課程標準，對於三角函數性質的學 習，是被安排在三角函數圖形的單元來做介紹，經研究者參考了國內出版商：正 中書局、南一書局、翰林出版社、龍騰文化這些版本的教師手冊，有關三角函數 圖形的性質，都是安排在圖形單元做介紹的。
然而從研究者在高中職任教的經驗，有關三角函數圖形性質的單元一直是學 生們學不好的單元，特別在進行三角函數圖形的繪製單元的過程中，傳統上要先 一步一步描點，再將所描的點以平滑曲線連結，然後再去探討並介紹所繪製函數 的性質，這樣的過程往往是曠日費時的。
尤其在介紹操弄函數伸縮和平移概念的時候，如果每一次介紹描繪函數圖形 舉例說明的時候，都要先把點一個一個描繪出來，然後連接起來，再觀察與原來 函數圖形之間的伸縮和平移關係，往往要耗費許多時間，才能畫出所要求的圖 形，而且在圖形繪製的過程中，學生還容易因為繪製的圖形不精確，導致學習興 趣下降，影響對於三角函數伸縮和平移變換的學習不佳，
而且在這樣傳統教學法的繪圖過程中，很多學生常常因為「描點過程繁複」， 而表現得興趣缺缺，導致學生容易失去耐心而無法學好後續所介紹的圖形性質以 及伸縮和平移變換，於是研究者為了改善這樣的教學現象，提升學生學習興趣，
有關三角函數圖形的平移和單向伸縮 變換之電腦輔助補救教學之相關研究
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便參考了近來電腦輔助教學的方式，希望利用電腦快速呈現的優點，動態呈現學 生所該學的函數圖形性質，吸引學生學習動機，企圖來提升學生學習成效。
研究者參考了國內各家出版所出版的高中數學有關三角函數的圖形單元，發 現一般對於圖形的介紹，教材上在進行函數圖形的呈現方式不外乎先對基本三角 函數圖形的描點繪製，再探討函數性質，然後或多或少再對三角函數的平移和伸 縮作基本描繪和歸納結論來引入操弄函數圖形。然而這實際在課堂上以傳統方式 進行教學的時候，往往無法讓學習者在學習過程中立即精確地獲得圖形來進行觀 察。而且也都僅限於書面靜態地呈現和介紹。很難直接讓學生能直接看出操弄的 動作。於是研究者希望在教學過程中，利用電腦輔助教學的快速動態呈現，能立 刻幫助學生預測和製作函數圖形，獲得正確回饋，以及操弄函數的伸縮和平移，
幫助教師立即診斷學生迷思概念，或於展示教學中讓學生操弄函數讓學生形成並 獲得正確的有關三角函數平移以及伸縮的相關概念。
研究者曾對同校內資深數學教師(教學年資均達 20 年以上)的做了一份問卷 調查，對於函數圖形的平移及伸縮的教學，有教師認為應從簡單函數為例引入操 作概念。可是研究者認為一般教科書中既然在三角函數圖形單元都有對伸縮和平 移的引入(正中版)甚至詳加介紹(南一版)，那麼如果能利用學生學習三角函數圖 形單元的機會，透過電腦軟體讓學生對於三角函數平移及伸縮的操作若能更「具 象」，是不是將更幫助學生實體化所要操弄的「平移」和「伸縮」概念而使得學 生在未來學習伸縮和平移的時候能更容易學習而接受呢？
於是研究者參考曾經先於所服務的學校進行三角函數問卷抽測的結果，共有 三年級自然組及社會組各一班，二年級自然組一班，就發現三年級自然組答題的 表現最好，但是能達到答對 60%的學生只有八位（三年級自然組受測班共 34 位 學生），這是很令人訝異的。以此，這加深了研究者幫助學生克服學習操弄三角 函數伸縮和平移變換的決心，在和擔任受試班級教師討論過後，均認為電腦輔助 教學值得一試。
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高科技的應用
人類視覺的機能是我們對於外界獲取資訊的最重要來源（Adams and Victor,1993）。人們對於所處世界中要面對以及探索解決的現象和問題，所需要 的資訊我想最直接就是來自於視覺了。Abraham Arcavi(2003)：「視覺化，同時 是對圖形和物像的創造力，解釋性以及反思性的產物和過程，…」。Duval, R.
(1998)也提到在幾何中，視覺化涵蓋了對一個圖形的知覺性理解、構圖性理解、
論述性理解、操作性理解。也因為不需要數學知識，透過操作性理解視覺化扮演 了一個啟發性的角色。對於函數的研究以及操弄，透過將之視覺化（畫成圖形）
是一般數學課程都會採用的表徵方式。目的就是希望透過對圖形上「直接」的觀 察，察覺目的函數的特性甚至進行操弄。就目前國內國、高中數學科函數方面所 學習的素材，在學習三角函數之前有線型函數、二次函數、多項函數、指對數函 數等，也都有描繪它們所代表的圖形的部分，到了高三數學乙有更進一步對函數 圖形的伸縮與平移。在這些函數範例之中，三角函數剛好是一個具有週期以及振 幅現象的函數，可以藉此量化週期和振幅的伸縮現象。因此以三角函數的圖形為 例，進行視覺上平移及伸縮操作的教學，將使學生更明確「具體」了解函數的平 移及伸縮現象。
近年來，隨著電腦高科技的發展，應用電腦於輔助教學的風氣日盛，一般對 於此種新穎的教學方式也都持正面的看法。本著幫助學生，提升教學效能的初 衷，研究者調查自願以電腦輔助學習的學生進行輔助補救教學。整個對接受電腦 輔助的學習者來說，希望學生能透過將三角函數「視為」一個具有良好特性的「視 覺化物件」：除了可以促進學生對三角函數定義域中週期現象、值域中振幅現象 的伸縮、以及鉛直平移水平平移現象的理解，更能自然地順暢直覺地加以應用於 表徵的操弄上。縱觀高中數學函數教材，談到週期現象、談到振幅現象，三角函 數剛好具有週期、振幅現象的函數，當然也可以被平移。如能善加利用這些素材 的視覺特性利用電腦做直覺的操弄，是否更能讓學生面對相關問題時能正確地使 用這些「物件」來理解以及解決問題。研究者很期待電腦輔助補救教學能大大地
有關三角函數圖形的平移和單向伸縮 變換之電腦輔助補救教學之相關研究
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幫助學生的學習。
在電腦軟體上視覺化實際操作是否將更引起學生們學習興趣，也是否將因之 促進學習成效的提升將是本研究關心的問題。
第二節 研究目的與待答問題
綜合以上所述，本研究之研究目的有三：
一、 探究學生在學習三角函數圖形的平移和單向伸縮變換的錯誤類型和原 因。
二、 探究有效的 GSP 軟體補救教學方案，幫助學生改善上述之錯誤類型。
三、 以此研究為例，探討以 GSP 進行輔助補救教學幫助學生改善的時候，
在學生的概念學習上所扮演的角色以及需注意的事項。
呼應以上的研究目的，本研究在待答問題的部分有以下三部分：
一、 探究高中生對於三角函數圖形平移和單向伸縮的理解錯誤類型和原因 為何？
二、 以 GSP 電腦軟體輔助「三角函數的圖形」單元教學是否能幫助高中生 對於三角函數的振幅、週期、平移操弄的理解？如何幫助？為什麼能 幫助？
三、 電腦輔助的方式對於學生的三角函數圖形方面的操弄學習將產生何種 影響？
