3 空間曲線及其切線向量

向量函數：(fx(t) , fy(t) , fz(t)) = f (t) 多變數函數：f (x, y, z)

1 導函數與積分

f⁰(t) ≡ lim

h→0

f (t + h)− f (t) h

= ¡

f_x⁰ (t) , f_y⁰(t) , f_z⁰(t)¢ Z

f (t) dt = µZ

fx(t) dt, Z

fy(t) dt, Z

fz(t) dt

¶

2 微分公式

d dt

³

a (t) f (t)´

= a⁰(t) f (t) + a (t) f⁰(t) d

dt

³

f (t)· g (t)´

= f⁰(t)· g (t) + f (t) · g⁰(t) d

dt

³

f (t)× g (t)´

= f⁰(t)× g (t) + f (t) × g⁰(t) d

dt

³

f (a (t))´

= df (a) da

da (t) dt

3 空間曲線及其切線向量

參數式：

r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) or

r (t) = x (t) ˆx + y (t) ˆy + z (t) ˆz

x

y z

( ) ^t

rv

( ^{t h} )

r

r⁰(t) ≡ limh→0[r (t + h)− r (t)] /h 為曲線在t點的切線向量。若曲線為質點 在空間中的軌跡，t為時間，則r⁰(t)為質點瞬時速度v (t)。

4 弧長與速率

複習：平面曲線r = (x (t) , y (t)) 小弧長d =q

(dx)²+ (dy)² =⇒ =R

d =R q

(x⁰(t))²+ (y⁰(t))²dt．

Now，空間曲線 d =

q

(dx)²+ (dy)²+ (dz)²

=

Z q

(x⁰(t))²+ (y⁰(t))²+ (z⁰(t))²dt

= Z

|r⁰(t)| dt

|v| ≡√

v· v瞬時速率v = ^d_dt =|r⁰(t)| 6= _dt^d |r|

多變數函數f (x, y, z)

用途：溫度場T (x, y, z)、氣壓場ρ (x, y, z)．．．

x

y

( )

=

( ) ^{x, y}

∂f

∂x ≡ lim

h→0

f (x + h, y)− f (x, y) h

∂f

∂y ≡ lim

h→0

f (x, y + h)− f (x, y) h

３變數函數依此類推（不易畫圖）

6 多變數函數的連續

f 在r0為連續指的是

h→0limf³

r0+ h´

= f (r0) ,∀ h (任意方向逼近) Example 1

f (x, y) =

½ 2xy

x²+y² for (x, y) 6= (0, 0)

0 for (x, y) = (0, 0) 在 (0, 0) 不連續

∵雖然

x→0limf (x, 0) = lim

y→0f (0, y) = 0 但沿對角線

limt→0f (t, t) = 2t²

2t² = 16= f (0)

Note: 單變數時，若在x點存在導函數，則在x點必為連續。但多變數時，存 在偏導數並不保證連續。e.g.

f (x, y) =

½ 2xy

x²+y² for (x, y) 6= (0, 0) 0 for (x, y) = (0, 0)

∂f (x,0)

∂x

¯¯

¯x=0≡ ^{∂f (0,0)}∂x 與^{∂f (0,0)}_∂y 均為0（存在），但f在(0, 0)不連續。

7 梯度（gradient）

∂f

∂x與^∂f_∂y分別是f (x, y)沿x軸與y軸的變化率，沿任意方向h？

但無法定義^f(^r+h)−f (r)

先考慮（為簡化起見，假設只有２個變數）h

f³

r + h´

− f (r)

= f (x + h1, y + h2)− f (x, y)

= f (x + h1, y + h2)− f (x, y + h²)

| {z }

'h∗ 1∂f (x,y+h2)

∂x

'h∗ 1∂f (x,y)

∂x

+ f (x, y + h| {z2)− f (x, y)}

'h∗ 2∂f (x,y)

∂y

= h· ∇f (x, y) + O³ h´ 其中，O³

h´

為一減小得比h快的量，而梯度∇f ≡ ³

∂f

∂x1,_∂x^∂f

2

´為一個向量，

可推廣至三維。

Note: 打＊號處不見得總是成立（e.g., Ex 1.裡的f (x, y)）。如果都成立

，使得對∀ h，都有f³

r + h´

− f (r) = h · ∇f (r) + O³ h´

則稱f (r)在 r可微分。由於在h→ 0時

¯¯

¯h · ∇f¯¯¯ ≤¯¯¯h¯¯¯ |∇f| → 0 and O³ h´

→ 0

∴若f (r)在r點可微分，則f在r必為連續。

8 方向導數

let h = hˆu （ˆu為單位向量），則f (r)沿著ˆu的方向導數定義為 f_uˆ⁰ (r) ≡ lim

h→0

f (r + hˆu)− f (r) h

= lim

h→0

hˆu· ∇f + O (hˆu) h

= ˆu· ∇f

若f為可微分，則方向導數對各方向ˆu都存在。

由於 − |∇f|

（當ˆu//−∇f時）

≤ fuˆ⁰ (r) =|∇f| cos θ ≤ |∇f|

（當ˆu//∇f時）

，θ為ˆu與∇f間的夾 角

∴ f (r) 在∇f方向增加最快（變率為 |∇f| ）

問於(0, 0)點沿哪一個方向溫度增加最快，增加率為何？

Ans.

∇T (0, 0) = ˆx + ˆy

|∇T (0, 0)| = √ 2

Note: 熱流（每秒每cm²通過的能量）在溫度下降最快的方向 J (r) =−κ∇T (r) （富利葉定律）

其中κ是熱導率。