勾股定理證明-Bog023

(1)

勾股定理證明-Bog023

【作輔助圖】

1. 此證明不需要加作輔助線。

B C

A

【求證過程】

直接兩種不同的方式計算直角三角形面積，一是使用海龍公式(Heron’s Formula)，

另一是使用底乘高除以二計算。再透過代數運算整性質整理，即可得到畢氏定理關係式。

為了方便代數計算，我們令ABc BC, a AC, b. 1. 使用海龍公式計算三角形面積：

2 2 2 2

2 2 2 2 .

AB AC BC AB AC BC AB AC BC AB AC BC ABC

c b a c b a c b a c b a

            

      

    

        

    

     

    

2. 使用底乘高除以二計算三角形面積：

1 . ABC 2ab

 

3. 兩個方法所計算的面積相等：

1 ,

2 2 2 2 2

c b a c b a c b a c b a ab             

      左右同平方可得

2 2 2 2

2 2 ( ) ( )

1 ,

4 16

c b a a b c a b           左右同乘16 並展開部分括號可得

2 2 2 2 2 2 2 2

4a b (b c a 2bc a)( b  c 2bc), 再將全部展開

2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

4a b 4b c b  c a 2b c 2a b 2a c , 整理至同一側

4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 0, a b c  a b  a c  b c  恰巧是完全平方式

2 2 2 2

(a b c ) 0, 所以最後可以推得畢氏定理關係式

2 2 2

. a b c

(2)

【註與心得】

1. 來源：此證明收錄在網站(Cut the Knot)中 Pythagorean Theorem Proof #23。

2. 心得：這個證明使用到了高中課程內正式提及的定理，直接以三邊長得到三角形面積的方式。在高中數學中我們證明這個定理的方式多使用餘弦定理以及使用到正弦的面積公式。也因此如果在高中要利用海龍公式證明畢氏定理，

不免有循環論證的問題存在，因為餘弦定理中就可以輕易得到畢氏定理。

而三角函數關係中使用到畢氏定理的也不在少數。這個部分在教學上要特別留意，除非我們以一個更純粹的方式證明了海龍公式，而過程沒有使用到任何的畢氏定理，那使用海龍公式來證明畢氏定理的邏輯才不會有問題。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ●

4. 補充：在數學能力指標中，有這麼一項：

A-4-13 能熟練乘法公式。

在這裡我們先不論海龍面積公式如何被證明，在假設它是正確並可以使用的狀況下，我們可以利用來寫下勾股定理的證明過程，也將這兩個公式之間連上了一些關係。但推論過程當中，要試著將存在三個變數的式子不斷地整理成我們關係式，是練習乘法公式的絕佳機會。

以下補充海龍公式證明，其中不使用到勾股定理，以避免循環論證。

(3)

海龍公式證明

【作輔助圖】

1. 任意三角形ABC ，延伸 AB 及 AC 。

2. 並作ABC的內切圓O ，及 BC 邊上的旁切圓₁ O 。其中₂ O 與₁ AB 切於 D ，且O 與₂ AB 延伸線切於 E 。

3. 連O B₁ ^以及O B₂ ^。

A B

C

D E

O2

O1

【求證過程】

首先將切線段長以三角形 ABC 的邊長表示，再利用兩組相似三角形，即可以推導 出三角形面積與切線段長之間的關係式，也就是海龍定理關係式。

1. 首先我們令 , , ,

2 a b c

ABc BC a AC b s   ，並且令內切圓O 半徑為 r ，以及₁ 旁切圓O 半徑為 R 。接著可以由內切圓、外切圓的性質，得到 ₂

, AEs 且

, AD s a 且

, BD s b 還有

. BE  s c 2. 因為ADO₁ ~AEO₂, 所以可以得到

1 2

AD AE

O D O E，也就是 s a s ,

r R

 

(4)

可以推得

 

^.

R sa rs 3. 又因為BDO₁~O EB₂ , 所以 ²

1

BD O E

O D BE, 也就是 s b R ,

r s c

 

 可以推得

  

s b s c .

R r

 

 4. 綜合以上可以得到

   

s a s b s c ,

rs r

  

 再將等式左右同乘 rs ，得到

 

^rs ² ^^{s s}



^^{a s b s c}



^



^



^,

又已知 rs,

因此 ^{ }² ^{s s}



^^a



^{s b s}^



^^c



^,

即

   

^,

s s a s b s c

    

也就是海龍公式關係式。