第三节

第三节

一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

幂级数

一、 函数项级数的概念

设















1 ( ) 1( ) 2( ) ( )

n un x u x u x  un x 

为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对

_{若常数项级数} 

1 ( 0)

n un x

敛点 , 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 

1 ( 0)

n un x

为定义在区间 I 上的函数 , 称

收敛 ,

发散 , 所有

x0

称

_为其收

x0

称

^{为其发散点 ,}

, 2 , 1 (

)

(x n   u_n

发散点的全体称为其发散域 .

, ) (x S

为级数的和函数 , 并写成

) ( )

(

1

x u

x S

n







若用

) ( )

(

1

x u

x

S ⁿ

k

k

n







令余项

则在收敛域上有

, ) ( )

(

lim S_n x S x

n 



 lim ( )  0



 r_n x

n

表示函数项级数前 n 项的和 , 即

在收敛域上 , 函数项级数的和是

的函数 称它

例如 , 等比级数

它的收敛域是

, 1

[ ]

1 ,

(  及 ， ）



 











n n

n x x x

x ²

0

1

x x

n

n

 



 1

1

0

它的发散域是 或写作

又如 , 级数

0 2 







n x x x

n

n n

, )

(

lim  



 u_n x

n

级数发散 ;

所以级数的收敛域仅为

, )

1 , 1

( 时

当x  

_有和函数

, 1时收敛 当 x 

, 1

0 时

但当  x 

二、幂级数及其收敛性

形如 





0

0 ) (

n

n x x n

a  a₀  a₁(x  x₀)  a₂(x  x₀)² 

的函数项级数称为幂级数 , 其中数列

下面着重讨论



0 n

nxn

a  a₀  a₁x  a₂x²  a_nxⁿ 

例如 , 幂级数

1 1

0

 





x x x

n

n

为幂级数的系数 .

即是此种情形 . 的情形 , 即



 a_n(x  x₀)ⁿ 

称

o _{发 散} x

发 散 收 敛

收敛 发散

定理 1.

若幂级数 

0 n

nxn

a

0 点 点 点 ,

点 x  x

_{则对满足不等式}

的一切 x 幂级数都绝对收敛

. 反之 , 若当

x 

的一切 x , 该幂级数也发散 .

时该幂级数发散 ,则对满足不等式

幂级数在 ( －∞ , +∞) 收敛 ; 由 Abel 定理可以看出 , 

0 n

nxn

a

中心的区间 .

用 ±R 表示幂级数收敛与发散的分界点 ,

的收敛域是以原点为 则

R = 0

时 ,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;

 时 ,

,

0  R  

幂级数在 ( － R , R ) 收敛 ;

( － R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域 .

R

称为收敛半径 ，

在 [ － R , R ] 可能收敛也可能发散 .

R x  

外发散 ; 在

( － R , R ) 称为收敛区间 .

o _{发 散} x

发 散 收 敛

收敛 发散

定理 2. 若 

0 n

nxn

a

_{的系数满足}





 n

n

n a

a 1 ;





 ;

 R

.

 0 R

1) 当

≠ 0 时 , 2) 当

＝ 0

时 , 3) 当

＝∞时 ,

则



0 n

nxn

a

_{的收敛半径为} 说明 : 据此定理

1

lim

 

 

n n

n a

R a

对端点

¹ ,

1

lim

 

 

n n

n a

R a



  





 ^

n x x

x x

n 1 n 3

2

) 1 3 (

2

的收敛半径及收敛域 .

解 :

1 1

 n

n 1

 1

对端点

级数为交错级数

) 1 (

1

1 n n





 

_{收敛 ;}

级数为







n n

^{发散 .}

] 1 , (1

故收敛域为

例 1. 求幂级数

lim

 n

例 2. 求下列幂级数的收敛域 :

.

! )

2 (

! ; ) 1

1 (

0 0

n n

n n

x n

n x











解 : (1)

lim

lim

1 

 

 

 n n

n

n a

R a

 ^!

1

n  lim ( 1)



 n

n  

所以收敛域为

(2)

lim lim

1 

 

 

 n n

n

n a

R a

 n !

! ) 1

(n  1

lim 1

 



 n

n  0

所以级数仅在 x = 0 处收敛 .

规定 : 0 ! = 1

! ) 1 (

1

 n

例 3.

n

n x

n ₂

0( !)2

! ) 2





求幂级数

^{的收敛半径 .} 解 : 级数缺少奇次幂项 , 不能直接应用定理 比值审敛法求收敛半径 . 2,

) lim

(

) lim ¹(









 

n n n

n u x

x

u ^{[( 1)! ]2}

! ] ) 1 (

2 [



 n

n

]2

! [

! ] 2 [

n n

2

)2

1 (

) 2 2

( ) 1 2

lim ( x

n

n n

n 



 





4 x2

 1

4 x² 

当

时级数收敛

时级数发散 故收敛半径为

 1

2 R

 1

即 x 1 4 x² 

当 即 x  ¹₂

) 1 ( 2 n

x x²n

故直接由

例 4. 





1 2

) 1 (

n n

n

n

求幂级数 x

^{的收敛域 .} 解 : 令

_级数变为

n n t



1 2 1



 



 



 n n

n

n a

R lim a lim

1 2ⁿ n

1

) 1 (

2

1

1 

 n

n n

n

n n

n 2

) 1 (

lim 2

1 

 ^



  2

当

时 , 级数 为

1 ,





n n

^{此级数发散 ;} 当

时 , 级数

为

) , 1 (







n

n

n

^{此级数条件收敛 ;}

因此级数的收敛域为

故原级数的收敛域为

2 1

2   

 x

_即

三、幂级数的运算

定理 3. 设幂级数

n



0

n n



及

的收敛半径分别为

, ₂

1 R

R

_令

n n



0



0





n





 x  R₁





min R₁ R₂ R 

n

n n

n

n













0 0

, )

(

0

n n

n

n b x







 x  R

,

0

n n





 x  R

则有 :

  



n n n

n

nx b x

a









0 0

其中

n

k k

n a b

c _





0

以上结论可用部分和 的极限证明 .

说明 : 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多 . 例如 , 设

n n



0

n n



0

) ,

2 , 1 ,

0 ,

1

(a₀  a_n  n  



 



   

,  3 , 2 ,

0

, 1 ,

1 ₁

0 n

b

b b

n

它们的收敛半径均为

但是

n n



0  1 x  x²  xⁿ 

其收敛半径只是

 1

 x

 1

n n



0

 x

 1 1

定理 4 若幂级 数

n n



0

的收敛半径

(x 点 S

 

 





n n anx x

S

0

)

( ¹,

1

 



 ⁿ

n nanx x (R, R) x

x a

x x

S

n

n x n

x ( )d d

0 0

0

 





 ,

1

1 0

 



 ⁿ

n

n x n

a

) ,

( R R x  

则其和函

在收敛域上连续 , 且在收敛区间内可逐项求导与

逐项求积分 , 运算前后收敛半径相同 :

例 5. 

1 n

xn

求幂级数 n

^的和函数

解 : 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,

x

＝ ±1 时级数发

) 1 , 1

( 时

故当x  







1

) (

n

xn

n x

S





 

1

) (

n

xn

x





 





 

x x x

1 (1 x)² x

 

. ) (x S





 

1

1 n

xn

n x

 





1 n

xn

x

散 ,

例 6. 求级数 

₀ 1

n

n

n

x

的和函数

解 : 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,



 



0 1

) (

n

n

n x x

S

 

 



 ^x

n

n x

x _{0 0}x d

1 ^ _x



0

1 d 1 1

) 1

1 ln(

x  x



 ( 0  x 1

_及

收敛 ,







 

0

1

1 1

n

n

n x

x







 ^{x n}

n

x x _{0 0} x d 1

) 1 , 0 ( )

0 , 1

[ 

 x )

(x

S 1 ln(1 ) , x  x





因此由和函数的连续性得 :

 ) (x S

而

lim0  



 



 

 x

x

x

, ) 1

1 ln(

x  x

 ,

1 x  0

,

1

)

1 0

(  x 

_及

内容小结

1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级

数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性

2) . 对非标准型幂级数 ( 缺项或通项为复合式 ) 求收敛半径时直接用比值法或根值法 ,

2. 幂级数的性质

1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与

0 (

0



 n n

n anx a

也可通过换元化为标准型再求 .

乘法运算 .

2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续 ;

3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分 .

思考与练习

1.

已知

n



0 点 x  x0

处条件收敛 , 问该级数收 敛

半径是多少 ?

答 : 根据 Abel 定理可知 , 级数在

_{收敛 ,}

x0

x 

时发散 .故收敛半径为

2.

在幂级数

n n

n









0 2

) 1 (

2

中 ,

 

n n

a a ₁

 





 ^

n n

) 1 ( 2

) 1 ( 2

2

1 ^{1 3}₂

,

^为奇数

n

为偶数

6

,

1

能否确定它的收敛半径不存在 ? 答 : 不能

. 因为

n n

nlim u (x)



 lim _n 2 ( 1)_n 2x

n  

  2

 x

当

_{时级数收敛 ,}

_{时级数发散 ,}

说明 : 可以证明

比值判别法成立 根值判别法成立

Ex:

_求极限

_其中

解 : 令

a n a a

S  1  2₂ 



 ⁿ

k ak

k

1

作幂级数



 n

xn

n

易知其收敛半径为 1, _设其和为

则 





1

) (

n

xn

n x

S





 

1

1 n

xn

n

x 

 



1 n

xn

x

 

 

 x

x x

1 (1 x)² x

 

n Sn



 lim  S( ¹_a ) ₂ ) 1 ( 

 a a