矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有限元素模式研究(III)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有 限元素模式研究(3/3)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC93-2212-E-011-002-

執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學機械工程系

計畫主持人： 林榮慶

報告類型： 完整報告

報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 94 年 8 月 3 日

中文摘要

本研究主要是針對金屬成形加工發展一矩陣表示線性最小平方差之逆解 分析模式，並配合金屬成形實驗，取得在金屬成形過程中加工負荷的歷程以及 特定位置溫度場的分佈，作為逆解材料與模具接觸邊界摩擦係數分佈及歷程以 及材料熱傳導係數的依據，進而了解在塑性成形加工製程中模具與工件間之摩 擦現象以及在塑性加工時材料之熱傳導係數，以及模具壓力、工件應力、應變 和溫度場之分佈。

本研究計畫之第一年是在假設材料為線性的情形下，針對鍛粗成形加工發 展一以矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形彈塑性大變形有限元素模 式，逆解出鍛粗加工工件與模具接觸面間摩擦係數變化的歷程。其詳細成果如 附錄一。

本研究計畫之第二年是針對擠製成形加工發展一逆解有限元素模式，基於 擠製加工實驗擠製負荷逆解工件與模具斷面縮減部分接觸邊界摩擦係數，並配 合本研究所提出之正則化的方法，得到擠製加工模具斷面縮減部分與工件接觸 面間摩擦係數的變化的歷程。其詳細成果如附錄二。

本年度之研究計畫為第三年的計畫，其是針對鍛粗加工基於實驗鍛粗負荷 及量測溫度建立一矩陣表示線性最小平方差逆解熱彈塑有限元素整合熱傳有 限元素模式，利用此逆解模式可以同時逆解出鍛粗加工工件與模具接觸面間摩 擦係數變化的歷程以及工件材料熱傳導係數變化的歷程。本研究進一步將所建 立之逆解模式結合 Tikhonov 正則法以改善逆解所得之摩擦係數歷程及熱傳 導係數變化的歷程之穩定性。

利用本第三年之研究計畫所建立之線性最小平方差之整合逆解模式結合 Tikhonov 正則化法，可以以一次逆解過程及一次正則化的步驟同時得到鍛粗加 工工件與模具接觸面間摩擦係數變化的歷程以及工件材料熱傳導係數變化的 歷程，並同時改善其穩定性。因此，可以大量減少逆解過程所需之運算時間。

關鍵詞：鍛粗 線性最小平方差 摩擦係數 熱傳導係數

Abstract

The main purpose of this research is to establish a matrix-presentation linear least square errors method inverse model for metal forming. The history of the changes of the forming loading and the temperature of the workpiece during metal forming can be obtained by metal forming experiment. Based on these, the friction coefficient of the contact boundary between the workpiece and the die and the thermal conductivity of the workpiece can be derived by using the inverse model proposed in this research. Furthermore, the pressure of the die, stress distribution of the workoiece, strain distribution of the workoiece and temperature of the workpiece can be obtained.

The first year of this project is to establish a matrix-presentation linear least square inverse elastic-plastic large deformation finite element model for metal forming on the piecewise linear material assumption. By using this inverse model the history of friction coefficient of the contact boundary between the workpiece and die can be obtained. The detail results see appendix I.

The second year of this project is based on the experimental extrusion loading to establish an inverse finite element model for extrusion process. By using this inverse model associate with the regularization of Tikhonov method as proposed in this research, the history of the friction coefficient of the contact boundary between the workpiece and the section reduction part of the die during the extrusion process can be obtained. The detail results see appendix II.

The third year of this project is based on the experimental measurement upsetting loading and the experimental measurement temperatures to establish the matrix-presentation linear least square errors method inverse thermal-elastic-plastic finite element model combined with the heat conduction finite element model. By using the combined inverse model can obtained both the friction coefficient between the workpiece and the die and the thermal conductivity of the material of the workpiece during the upsetting process. Furthermore, in order to improve the stability of the histories of friction coefficient and the thermal conductivity during upsetting process obtained by this inverse model, this research combined the inverse model as proposed in this research with the regularization of the Tikhonov method.

By using the combined inverse model associate with the regularization of Tikhonov method, both the friction coefficient between the workpiece and the die and the thermal conductivity of the workpiece’s material can be obtained during one inverse procedure and one regularization procedure, and also can make the results more stable. Thus this combined inverse model can more reduce the calculation time.

Keywords: upsetting, linear-least-square-error method, friction coefficient, thermal

conductivity

目錄

中文摘要……….I Abstract………....I

前言……….1

研究目的……….1

文獻回顧……….1

研究方法……….2

結果與討論……….7

參考文獻……….8

計畫成果自評………...11

附錄一………...13

附錄二………...23

一、前言

鍛粗(Upsetting)加工是在常溫或高溫下施加壓力，以控制金屬之塑性變 形，使材料加工至所需之形狀尺寸及機械性質。而鍛粗工件與模具的接觸面的 摩擦係數及工件材料熱傳導係數均是影響鍛件品質的重要因素之一。而這些因 素也是一直被關心研究的課題。

對於塑性加工的研究，文獻中有許多，但大多假設鍛粗加工過程中模具與 材料間的摩擦係數以及工件熱傳導係數均為定值，而這種假設在實際工程應用 上可能產生一些誤差。模具與材料間的摩擦係數與加工的速度、加工溫度以及 其它加工條件有關。而工件材料的熱傳導係數也會隨鍛粗過程中溫度的改變而 變化。因此，本第三年之研究計畫主要目的是建立一整合逆解模式，藉以逆解 得到鍛粗加工工件與模具接觸面間摩擦係數變化的歷程以及工件材料熱傳導 係數變化的歷程。

二、研究目的

本第三年之研究計畫主要目的是針對鍛粗加工基於實驗鍛粗負荷及量測 溫度建立一矩陣表示線性最小平方差逆解熱彈塑有限元素整合熱傳有限元素 模式，利用此逆解模式可以同時逆解出鍛粗加工工件與模具接觸面間摩擦係數 變化的歷程以及工件材料熱傳導係數變化的歷程。本研究進一步將所建立之逆 解模式結合 Tikhonov 正則法以改善逆解所得之摩擦係數歷程及熱傳導係數 變化的歷程之穩定性。

三、文獻回顧

求取工具與工件接觸表面摩擦係數的方法，可分為實驗方法以及數值分析 方法。G. W. pearsall 及 W. A. Backofen [1] 針對鋼模具以及鋁材工件之鍛粗加 工，將兩個壓力感測銷 (pressure sensitivity pin) 埋入模具中藉以得到工件與模 具接觸面件之正向力、剪應力以及摩擦係數的分佈情形。1974 年，Depierre 和 Gurney [2] 以量測圓環內外徑的變化，配合上界限法來獲得摩擦係數在加工過 程的變化；Lin [3] 量測鍛粗成形的外形，以實驗為基準，將摩擦係數假設為 與下壓量成一二次函數以及對數函數的型式，推估鍛粗成形的摩擦係數; Lee, Weng and Chang [4] 應用逆解分析，決定一目標函數並利用黃金切割法使得目 標函數值極小，針對不同之鍛粗加工壓下速度下，考慮應變率的影響，預測鍛 造過程中工件模具接觸面間之摩擦係數值。 Lin 和 Chen [5] 以實驗量測鍛粗 負荷為基準，利用 Levenberg-Marquardt 法，逆解鉬金屬溫間鍛粗加工製程中 工件與模具接觸表面摩擦係數變化的歷程。

金屬塑性成形加工時，由於塑性變形及工件與模具和空氣之熱傳導使得金屬成 形中工件溫度場的分佈隨著加工的過程而變化。而工件之溫度場發生變化，將 在工件內部產生熱應力而影響工件內部之應力場，進而影響加工負荷及工件品 質。影響鍛件溫度場分佈的重要因素之一為工件材料之熱傳導係數。因此，工

件材料熱傳導係數隨著金屬成形加工而變化的情形，為金屬成形加工研究的主 題之一。 Terrola [6] 運用 Davidon-Fletcher-Powell 法決定隨溫度的改變而變化 之熱傳導係數； Yang [7]運用直接解法在決定一維熱傳導問題之熱傳導係數；

Kim 等人 [8] 利用直接積分法決定二維熱傳導問題之熱傳導係數，而不需在 工件內部量測，但不考慮熱傳導係數會隨溫度的改變而變化。Tadeusz 和 Malinowski [9]使用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno variable metric method 運 用在逆解熱傳導係數以及最佳化問題上面。

四、研究方法

以下為本第三年之研究計畫『矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱 彈塑大變形有限元素模式研究(3/3)』之研究方法。本第三年之研究計畫熱彈塑 性大變形─大應變的勁度統御方程式為：

[ ] [ ]

( ^K

^ep

^{+ K}

^G

) { } ^{d & =}

_∫v

[ ] ^B

^T

[ ] ^D

^ep

{ } { } ^{ε &}

^t

^{dv + F &}

(1) 其中，

[ ] ^K

^ep 為彈塑性元素之勁度矩陣，

[ ] K

G 為幾何勁度矩陣，

{ } ^{F &}

^{為節點力之}

變化率，

{ } ^{ε &}

^t

^{= α { ∆ T ∆ T ∆ T}

^{0 0 0}

^}

^，

^α

^{為熱膨脹係數，}

^{∆ T}

^{為溫度增量。}

(1)式中等號左邊第一項可以利用數值積分方法得到：

[ ] ^B [ ] ^D { } ^dv [ ] ^H { }

^t

[ ] ^H

 ^T

{ } ^T [ ] ^H { } ^T

v

t T ep

∆

=

′ ∆

′ =

∫

^{ε &} = ^{ε & α}

^{1 1 1 0 0 0 (2)}

將(2)式代入(1)式，則(1)式可改寫成：

[ ] ^{[ ]}

( ^K

^ep

^{+ K}

^G

) { } ^{d & =} { } ^{F & +} [ ] ^{H { } ∆ T}

(3) 本研究之熱傳有限元素模式為

[ ] ^{K ~}

³

{ } ^{T ~ & + [ ] K ~ { } { } T ~ = P ~} (4)

其中，

[ ] _∑ [ ]

=

=

^E

e

K

e

K

1 ) ( 3 3

~

，

{ } _∑ [ ]

=

=

^E

e

K

e

K

1 )

~

(

，

{ } _∑ { }

=

=

^E

e

P

e

P

1 )

~

(

，

{ } ^T

^~

⁼

^

^T

¹

^T

²

^{Λ T}

^mT，

{ } ^{T ~ & =  T &}

¹

^{T &}

²

^{Λ T &}

^m

^

^，

^{[ ] K}

^{1(e) 為元素熱傳導矩陣，}

^{[ ] K}

^{2(e) 為元素熱交換矩陣，}

[ ] ^K

^{3(e) 為元素熱容矩陣，}

{ } ^P

^1(e) 為元素內部產生之熱量負荷矩陣，

{ } ^P

^{2(e) 為表面熱}

流量負荷矩陣，

{ }

3^{( )}

P

e 為表面熱交換負荷矩陣。

暫態熱傳問題是與時間有關之熱傳問題，本研究使用向前差分法，得到本 研究之暫態熱傳導有限元素模式

[ ] ^{~ { ( ) }} { } ^{~ ( )} [ ] ^{~ { ( ) } 1} [ ] ^{~ { ( ) }}

1

3 1

3 n n n

K T t

n

t t T K t

P t

T

t K = − + ∆

∆

⁺

(5)

為了進一步簡化

(5)

式，故本研究假設，

[ ] ¹ [ ] ^{K ~}

³

K t

= ∆

，

{ } ⁽

ⁿ

⁾ { } ^{~ (}

ⁿ

⁾ [ ] ^{~ { (}

ⁿ

^{) } 1} [ ] ^{K ~}

³

^{{ T ( t}

ⁿ

^{) }}

t t T K t

P t

P = − + ∆

則

(5)

式可表示成，

[ ] K ^{ T ⁽ t

n₊1

^{) }} = { } P ⁽ t

n

⁾ (6)

將

(6)

式中工件料熱傳導係數明確表示出來，並假設工件材料為均質性材料，即

k k k

k

_x

=

_y

=

_z

=

，並假設

[ ] [ ]

1 1

) (

1

k K

K

E

e

e

=

∑

=

及

[ ] [ ]

2 1

) (

2

K

K

E

e

e

=

∑

=

，因此，

[ ] { ( )

n1

} { } ^{~ (}

n

^{) 1} [ ] K ^~

3

^{ T ⁽ t

n

^{) }} [ ] K

2

{ T ⁽ t

n

⁾ } k [ ] K

1

{ T ⁽ t

n

⁾ }

t t P t

T

K − −

+ ∆

+

= (7)

為 了 簡 化

(7)

式 ， 本 研 究 假 設

{ } ^{ˆ (}

ⁿ

⁾ { } ^{~ (}

ⁿ

^{) 1} [ ] ^{K ~}

³

^{{ T ( t}

ⁿ

^{) }} [ ] ^K

²

^{{ T ( t}

ⁿ

^{) }}

t t P t

P −

+ ∆

=

， 及

{ } ^P ( ) ^t

ⁿ

⁼ [ ] ^K

¹

^{{ T ( ) t}

ⁿ

^}

^，因此，

{ ^{T ( t}

ⁿ⁺¹

⁾ } ⁼ [ ] ^K

⁻¹

{ } ^{P ˆ ( t}

ⁿ

^{) − k} [ ] ^K

⁻¹

{ } ^{P ( t}

ⁿ

⁾ (8)

進一步假設

[ ] ^K

⁻¹

{ } ^{P ˆ ( t}

ⁿ

^{) = { } A}

^，

[ ] ^K

⁻¹

{ } ^{P ( t}

ⁿ

^{) = { } C}

^，則

⁽⁸⁾

^{式可簡化成下式，}

{ T ( t

i₊1

) }

m_×1

= { } A

T _m×1

− k { } C

_m×1

(9)

其中， m 為有限元素分割節點數。

由前述熱彈塑統御方程式中，假設

( [ ] ^K

ep

+ [ ] ^K

G

) = [ ] ^A

，並將已知位移增量 及已知力量增量明確表示並重新排列後，得到：

[ ] ^{{ } T}

H H F

F d

d d A A

A





 



+









=















2 1 2

1 3

2 1 3 2

1

&

&

&

&

&

(10)

將

(10)

式已知之邊界條件代入，並進一步化簡得到，

[ ] { }

{ } [ ] { } _{[ ]} { }

1

2 2 1 2 1

2 2 1 1 2

2 1 ) 2 2 1 ( 1 1

) 2 1 ( ) 2 ( 1 2

0 0

×

× ×

×

×

× ×

×

× −

−

−

−

−

×





 

 + 

 −



 



 

 



 



 



=

m

m m m n q

q m

n m n t m n

q p m q p m

m

H T

d F A

F d

A & &

&

&

(11)

其中，

q

為已知位移之數目，

p

為已知位移為零之數目， n 為內部節點以及自

由表面節點數，將

(11)

式中之

1 ) 2 2 1 ( 1

×



−

 

 



n t m n

F F

&

&

移項至等號左邊，並重新排列組合

，並假設

[ ] ^{[ ]} _{[ ]}

) ( 2 ) ( ) (

1

0

_{m m n}

n m n m n

A I

−

×

−

×

−





 



= −

，

[ ] _{[ ]} ^{[ ]}

) ( ) 2 ( ) ( 1

0

n m n m m n m

t

I

A

−

− ×

×

−





 





= −

，假設，

[ A

₁ⁿ

A

₁

] = ^{[ ]} A

_{1 2}^m_×

(

₃^m₋^p₋^q₋ⁿ

)

，

[ ] A

1t 2m_×(m₋n)

= [ ] A

2 2m_×(m₋n)，

[ ] [ ]

m m

m m m n

H H

×

× ×

 =



 





2 2 2

1

0

，

[ ]

2 2 ×

{ }

2 ×1

= ^{{ }}

2 ×1

− A

_{m q}

d &

_q

b

_m ，

{ }

m p q n

n

X

d F

−

−

=

−









1 3 1

&

1

&

，

{ } F &

₁t

= { } X

₂ m₋n，

{ } T

1 r×1為量測點

溫度向量，

r

為溫度量測點數並將量測點溫，得到：

[ ] { } [ ]

2

{ }

2

[ ]

2

{ }

2 1

1 1

1

b H T A X

T H X

A = + −







−



(12)

由

(12)

式之熱傳有限元素方程式

{ T ( t

i₊1

) }

m_×1

= { } A

T _m×1

− k { } C

_m×1中，將溫度量測節 點 之 溫 度 增 量 從 溫 度 向 量

{ } ^T

中 分 離 並 重 新 組 合 後 得 到 ，

2 1 1 1 1

2 1

2 1

× ×

×

  

 

− 

 



 

= 

 



 



m m T T

m

C

k C A

A T

T

，將

{ } T 從方程式中移出，得到，

2

{ } T

²

= { } A

_T2

− k ^{{ }} C

²

(13)

將

(13)

式代入

(12)

式，得到

[ ] { } [ ]

²

{ } ^{[ ]}

²

^{{ }}

²

^{[ ]}

²

^{{ }}

²

1 1 1

1

b H A

₂

k H C A X

T H X

A = +

_T

− −







−



(14)

假 設

[ A

1

⁻ H

1

] ^{= A ′}

， (

A ′

^T

A ′

)⁻¹

A ′

^T

b +

(

A ′

^T

A ′

)⁻¹

A ′

^T

H

₂

A

_T2

= B

，

C

C H A A

A ′ ′ )

⁻¹

′

_{2 2}

=

(

^{T T} ，

( A ′

^T

A ′ )

⁻¹

A ′

^T

A

₂

= D

，得到，

2 1

1

= B − C − D X









k

T

X (15)

將模具與工件接觸面間之節點正向力向量

{ } X

1 n×1從

{ } X

1 分離出來，得到：

1 ) 2( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 (

1

×

− −

× +

−

× +

−

× +

−

× +

−

−

−

 =

 

 



n n m m r n m r

n m r

n m r

n m

T k

X B C D X (16)

利用線性最小平方差法將實驗量測工件與模具接觸節點正向力增量及實驗量

測溫度增量與模擬值之間的誤差最小，並令 _mea

mea mea

T

X = X′







 ，得到：

) (

)

( X ′ − B + C + X

₂

X ′ − B + C + DX

₂

= k D k

E

_{r mea} ^T _mea

(17)

(17)

式中，

X 為工件與模具接觸節點之切線負荷增量，其為摩擦係數

₂

µ

之函 數。而

E 為

_r

X 與

₂

k

之函數，因此分別將

E 對

_r

X 與

₂

k

作一次微分並令其值等於 零，首先，將

E 對

_r

X 作一次微分並令其值為零，得到：

₂

mea T T T

T

DX D B k D C D X

D

₂

= − − ′ (18)

其次，將

E 對

_r

k

作一次微分並令其值為零，得到：

mea T T T

T

DX C B k C C C X

C

₂

= − − ′ (19)

將

(18)

和

(19)

式 聯 立 並 表 示 成 矩 陣 形 式 經 過 移 項 並 由 庫 倫 摩 擦 定 律 知 ：

X

mea

X

₂

= µ

，同時假設

= E

 





 



 



 



 



 





C C

C D DX

C DX D

T T

mea T

mea T

，

= G









B C

B D

T T

， 

= L



 





T T

C

D

，

得到，







−





=





 _{− −}

mea T mea T

T T

T X k

(

E E

) ¹

E G

(

E E

) ¹

E L

µ (20)

為了進一步簡化

(20)

式，假設







=



−

k T

T

M M

_µ

G

E E E

) ¹

( ，(

E

^T

E

)⁻¹

E

^T

L = [ ^N

µ

^N

^k

]

，

則

(20)

式可改寫成：

[ ]







−









=











mea mea k

k

T

N X M N

M

k

^µ

µ

µ

(21)

(21)

式即為本研究所推導之逆解模式。由於本研究假設工件與模具接觸面間在 黏滯效應發生之前之摩擦模式是庫倫摩擦，而在黏滯效應發生之後則採用定剪 降伏摩擦模式。因此，在黏滯效應未發生之節點可以利用

(21)

式解得庫倫摩擦 係數變化的歷程，待所有接觸面節點均發生黏滯效應時，則停止庫倫摩擦係數 之逆解步驟。

本研究假設鎮定泛函為

{ }

{ } ( )

( ) _ ^{ }





 



−

= −



 





 



−

= −

 



 

 Ω Ω

−

−

−

−

2 2 2 2 2

2

) (

) (

) (

) (

1 1

1 1

i i

i i

i i

i i

i i

k k k

k k

k δ δ

δ δ δ

δ δ δ δ

δ

µ

µ µ µ µ µ

(22)

因 此 ， 只 須 於 條 件

{ }

{ }   

 

= 



 





 



+

− +

−

mea k k k

mea

T N M k

X N M

δ

µ δ

µ

δ

µ µ

δ 下 求









Ω Ω

) (

) (

i i

k

k

δ δ µ

µ

之 極 小 值









i i

k

_δ

µ

δ

即可。應用

Lagrange

乘子法知，正則解









i i

k

_δ

µ

δ

必使得泛函數

{ }

²

{ }

²

) ( )

( )

, ,

(

mea k k mea

k k k

mea mea

T N M k X

N M T k

X M k

i i

i i

i i

+

− + +

− +

Ω + Ω

 =

 

 



 



 



 



 



δ µ

µ δ

δ δ

µ µ µ

δ δ

µ

α µ α α

µ α

(23)

為極小，其中

α

_µ、

α

_k稱為正則參數。

(23)

式中，摩擦係數與熱傳導係數對於

其量測值之靈敏度不同，將求得之正則參數









α

k

α

_µ

代入

(23)

式，求出使

(23)

式極

小之摩擦係數及熱傳導係數



 





 

 ) (

) (

j j

k α

k

α µ

µ

，會使得摩擦係數變化的歷程與熱傳導係

數變化的歷程變動情形不同。為了在逆解的過程中得到相同穩定度之摩擦係數 與熱傳導係數值，本研究將鎮定泛函針對摩擦係數與熱傳導係數值採用不同之 收斂條件，即

Ω ( µ

_δ

) ≤ γ

_µ

i ， _k

k

δi

≤ γ

Ω ( )

，其中

γ

µ

≠ γ

_k。為了要滿足不同之收斂 條件，因此在求正則參數時，需要不同的疊代次數。

求正則參數的步驟

1. 利用本研究所推導之逆解模式

(21)

式求得有限元素分析第一個步驟 之摩擦係數

−1

δi

µ

及熱傳導係數值

−1

k

_δi 。

2. 任取

α = α

µ

= α

_k代入

(23)

式，求出使

(23)

式極小之摩擦係數及熱傳導

係數



 





 

 ) (

) (

j j

k α

k

α µ

µ

。

3. 計 算 ( ( ))

µj

µ

µ α

Ω

及 ( ( ))

kj

k

µ α

Ω

， 如 果

Ω

_µ(

µ

(

α

_µ ))

≤ γ

_µ

j 及

k k

k

µ α

_j

≤ γ

Ω

( ( )) 均不滿足，則取遞增數列

α

j 1₊

= α

j

+ ∆ α

，則

j = j + 1

繼續步驟

1~2

。

4. 如果滿足

Ω

_µ(

µ

(

α

_µ ))

≤ γ

_µ

j ，而 _{k k k}

j

γ

α

µ ≤

Ω

( ( )) 不滿足，則

α

µ

= α

_j，

α α α

α

k

=

j₊1

=

j

+ ∆

，繼續步驟

1~2

。

5. 如果滿足 _{k k k}

j

γ

α

µ ≤

Ω

( ( )) ，而

Ω

_µ(

µ

(

α

_µ ))

≤ γ

_µ

j 不滿足，則

α

_k

= α

_j，

α

α α

α

µ

=

j 1₊

=

j

+ ∆

，繼續步驟

1~2

。

6. 如果

Ω

_µ(

µ

(

α

_µ ))

≤ γ

_µ

j 及 _{k k k}

j

γ

α

µ ≤

Ω

( ( )) 均滿足，則









α

k

α

_µ

即為正則參

數。

7. 將 





α

k

α

_µ

代入

(23)

式，求出使

(23)

式極小之摩擦係數及熱傳導係數



 





 

 ) (

) (

j j

k α

k

α µ

µ

，即為本步驟之摩擦係數與熱傳導係數



 





 



) (

) (

j j

k i i

k α α

µ

µ

。

鍛粗加工時工件與模具接觸面間之摩擦模式，在黏滯效應發生之前，本研 究假設為庫倫摩擦模式。而在工件與模具接觸面節點發生黏滯效應時，該節點 改採用定剪降伏強度摩擦模式。當摩擦應力大於材料之剪降伏強度時，即，

z

K

r

= µσ >

τ

，表示材料表面已經發生降伏，亦即該接觸節點已產生黏滯現象。

此時庫倫摩擦模式將不再適用，並將該節點處之摩擦模式由庫倫摩擦模式變更 為定剪降伏強度摩擦模式。當黏滯效應發生之接觸節點，本研究採用定剪降伏 強度摩擦模式。因此，本研究以

µ ≥ K σ

_z 作為工件與模具之接觸節點是否發生 黏滯效應之依據。

本研究之鍛粗加工實驗是在

100

噸的萬能試驗機進行。圖一為鍛粗加工實

驗示意圖。鍛粗負荷是由萬能試驗機取得，而量測點溫度則藉由熱電偶經數據 擷取器得到。圖二為實驗鍛粗負荷的歷程圖。圖三為鍛粗加工實驗所得之溫度 量測點溫度變化的歷程。溫度量測點於圖一中標示。

五、結果與討論

圖四為利用本第三年之研究所提出之整合逆解模式配合

Tikhonov

正則法 所得之鍛粗加工工件與模具接觸面間摩擦係數變化之歷程。由圖中顯示，鍛粗 加工時工件與模具接觸面間摩擦係數變動的歷程之震盪情形較圖一顯示之結 果大幅減小。由圖中利用三次方程式綴合所得之曲線知，在壓下率

10%

之前，

摩擦係數值幾乎維持在

0.13

左右。當壓下率大於

10%

之後，工件與模具接觸 表面由原來之點接觸逐漸變為面接觸，因此摩擦係數值急遽的增加。一直到壓 下率約為

25%

左右，接觸表面由內部開始向邊緣逐漸產生黏滯效應，當接觸表 面所有節點全部產生黏滯效應時，此時庫倫摩擦係數約為

0.7

。

圖五為工件與模具接觸節點在鍛粗加工過程中摩擦係數

µ

變化歷程與

k σ

z 變化歷程之比較圖。由圖五顯示，在壓下率

26.5%

左右接觸面靠近中央節

點

(node 8)

開始發生黏滯效應，在壓下率約為

27.2%

左右，邊緣節點亦發生黏滯

現象。因此，工件與模具接觸面間其黏滯現象是由中央開始，接著工件之邊緣 也發生，而由中央及邊緣逐漸往中間節點

(node 3)

發生。在壓下率達到

27.8%

時接觸面所有節點均發生黏滯效應。圖六為隨著壓下率的增加，接觸面發生黏 滯效應節點數變化的情形。圖七為由本研究所提之整合逆解模式所得之鍛粗加 工負荷與實驗鍛粗負荷的比較圖，由圖中可知其結果相當吻合。

圖八為利用本第三年之研究所推導之整合逆解模式並經正則化程序所得 之鍛粗加工過程工件材料熱傳導係數隨壓下率的增加而變化的歷程。由圖中可 知示，工件材料之熱傳導係數隨著壓下量的增加產生些許的增加，其變化約由

0.231

至

0.237 (W/mm-K)

，其增加量約為

0.006

。塑性加工時工件主要的熱源來

自材料的塑性變形熱，本研究計算工件平均溫度的方法是利用每個元素之體積 權重來計算。圖九為鍛粗加工時工件平均溫度隨壓下率的增加而改變之關係 圖。圖十為不同熱傳導係數的假設下工件內部節點編號

99

溫度變化歷程的比 較。圖中顯示，由本研究逆解方法所得之溫度變化的歷程與實驗量測溫度值相 當吻合。

圖十一為不同壓下率的情形下，鍛粗加工工件與模具接觸面上正向應力分 佈的情形。由圖中可以明顯看出，當壓下率小於

25%

時，工件與模具接觸表面 之正向應力幾乎是均勻的。當壓下率增加時，由於工件於靠近中央處產生黏滯 現象，因此於接觸面之中央處其正向應力隨著壓下率的增加而急遽的增加而形 成一個應力峯。其次，邊緣節點緊接著中央之節點後亦開始發生黏滯現象，因 此其正向應力也增加而形成一個次應力峯。中間之節點最後產生黏滯現象，因 此相對於中央及邊緣節點形成一個應力谷。圖十二為不同壓下率的情形下，鍛 粗加工工件與模具接觸面上剪應力分佈的情形。

圖十三及圖十四為由本第三年之研究逆解所得之工件與模具接觸面間摩

擦係數變化的歷程及工件材料熱傳導係數變化的歷程，模擬鍛粗加工時壓下率

35%

時之應變場及應力場分佈的情形。

圖十五為由本第三年之研究逆解所得之工件與模具接觸面間摩擦係數變

化的歷程及工件材料熱傳導係數變化的歷程，模擬鍛粗加工時壓下率為

35%

時 之溫度場分佈的情形。由於熱傳邊界於中心處為絕熱熱傳，因此最高溫發生於 中心處，其最高溫約為

22.5

℃。

六、參考文獻

1. G. W. pearsall and W. A. Backofen, “Frictional Boundary Conditions in Plastic Compression,” Journal of Engineering for Industry, Transactions of ASME, pp.

68~76, February (1963).

2. V. Depiere and F. Gurney, “A Method for Determination of Constant and

Varying Friction Factors During Ring Compression Tests,” Trans. ASME. J.

Lubr. Technology, Vol. 96, pp. 482~488 (1974).

3. S. Y. Lin, “An Investigation of Die-Workpiece Interface Friction During the Upsetting Process,” Journal of Materials Processing Technology, Vol. 54, pp.

239~248 (1995).

4. Chorng-Der Lee, Cheng-I Weng and Jee-Gong Chang, “A Prediction of the Friction Factor for the Forging Process,” Metallurgical and Materials Transactions, Vol. 32B, pp. 137~143 (Feb. 2001).

5. Zone-Ching Lin and Chun-Kung Chen, “Inverse Calculation of the Friction Coefficient During the Warm Upsetting of Molybdenum,” International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 47, pp. 1059~1078 (2005).

6. P. Terrola, “A Method to Determine the Thermal Conductivity from Measured Temperature Profiles,” Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 32, pp. 1425~1430 (1989).

7. Ching-yu Yang, “A Linear Inverse Model for the Temperature Dependent Thermal Conductivity Determineation in One-dimensional Problems,” Applied Mathematical Modeling, Vol.22, pp. 1~9 (1998).

8. Sin Kim, Min Chan Kim and Kyung Youn Kim, “Non-Iterative Estimation of Temperature-dependent Thermal Conductivity Without Internal Measurements,”

International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 46, pp. 1801-1810 (2003).

9. Tadeusz Telejko and Zbigniew Malinowski, “Application of an Inverse Solution to the Thermal Conductivity Identification Using the Finite Element Method,”

Journal of Materials Processing Technology, Vol. 146, pp. 145-155 (2004).

圖一鍛粗加工實驗示意圖

0 0.1 0.2 0.3 0.4

reduction rate

0 100 200 300 400 500

loading (kN)

圖二鍛粗加工實驗鍛粗負荷曲線

0 0.1 0.2 0.3 0.4

reduction rate

16 17 18 19 20 21 22

node 99 node 89 node 79 node 69 node 59

node 49 node 39 node 29

Temperature(℃)

圖三鍛粗加工實驗所得之溫度量測點溫度變 化的歷程

0 0.1 0.2 0.3

reduction rate

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

frictioncoefficient

by combination inverse model associate Tikhonov method

by combination inverse method associate Tikhonov method after curve fitting

圖四整合逆解模式所得之工件與模具接觸面

間摩擦係數變化之歷程

0 0.1 0.2 0.3 0.7

0.8 0.9

0.8 0.9

0.7 Friction coefficient

at node 1 at node 2 at node 3 at node 4 at node 5 at node 6 at node 7 at node 8 z Kσ

z Kσ

z Kσ z Kσ

z Kσ

z Kσ z Kσ

z Kσ

reduction rate

Upper die

Work-piece

R Z

1 3 5 8

91 9

99 2 4 6 7

0.6

0.6 0.278

0.266

圖五工件與模具接觸節點摩擦係數 µ ^歷程與 K σ

z

^{歷程之比較圖}

0.264 0.268 0.272 0.276 0.28 0.284

reduction rate

0 2 4 6 8

No.ofstickingnode

Node 8 Node 7

Node 1 Node 6

Node 2 Node 5

Node 4 Node 3 Upper

die

Work-piece R Z

1 3 5 8

91 9

99 2 4 6 7

圖六接觸面發生黏滯效應節點數隨著壓下率 變化的情形

0 0.1 0.2 0.3 0.4

reduction rate

0 100 200 300 400 500

loading(kN)

by combination inverse model associate with Tikhonov method

experimental result

圖七整合逆解模式所得之鍛粗加工負荷與實 驗鍛粗負荷之比較

0 0.1 0.2 0.3 0.4

reduction rate

0.22 0.23 0.24 0.25

thermalconductivity (W/mm-K)

by combination inverse model method associate Tikhonov method

by combination inverse model method associate Tikhonov method after curve fitting

圖八整合逆解模式所得之工件材料熱傳導係 數變化的歷程

0 0.1 0.2 0.3 0.4

reduction rate

17 18 19 20 21

averagetemperature(℃)

圖九工件平均溫度隨壓下率的增加而改變之 情形

0 0.1 0.2 0.3 0.4

reduction rate

16 18 20 22 24

temperature

measurement result inverse result

(℃)

圖十整合逆解模式所得節點 99 之溫度 變化歷程與實驗量測值結果之比 較圖

0 10 20 30 40

R (mm)

0 20 40 60

normalstress(MPa) reduction rate 35%

reduction rate 30%

reduction rate 25%

reduction rate 20%

圖十一不同壓下率時，工件與模具接觸面上 正向應力分佈的情形

0 10 20 30 40

R (mm)

0 5 10 15 20 25

shearstress(MPa)

reduction rate 35%

reduction rate 30%

reduction rate 25%

reduction rate 20%

圖十二不同壓下率時，工件與模具接觸面上 剪應力分佈的情形

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00

R (mm)

0.00 5.00 10.00 15.00

Z(mm)

圖十三整合逆解模式所得之工件等效應變分

佈圖(壓下率 35%)

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00

Z (mm)

0.00 5.00 10.00 15.00

Z(mm)

Unit: MPa

圖十四整合逆解模式所得之工件等效應 力分佈圖(壓下率 35%)

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00

R (mm)

0.00 5.00 10.00 15.00

Z(mm)

Unit: (℃)

圖十五整合逆解模式所得之工件溫度分佈圖

(壓下率 35%)

七、計畫成果自評

本研究計畫之第一年及第二年均完全達成計畫預期目標。本第三年之研究

計畫『矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成形熱彈塑大變形有限元素模式研

究

(3/3)

』的主要目的是針對鍛粗加工基於實驗鍛粗負荷及量測溫度建立一矩陣

表示線性最小平方差逆解熱彈塑有限元素整合熱傳有限元素模式，利用此逆解 模式可以同時逆解出鍛粗加工工件與模具接觸面間摩擦係數變化的歷程以及 工件材料熱傳導係數變化的歷程。本第三年之研究進一步將所建立之逆解模式

結合

Tikhonov

正則法以改善逆解所得之摩擦係數歷程及熱傳導係數變化的歷

程之穩定性。進而了解在鍛粗加工中工件應力場、應變場以及溫度場之分佈。

利 用 本 第 三 年 之 研究所 建 立 之 線 性 最 小平方 差 之 整 合 逆 解 模式結 合

Tikhonov

正則化法，可以以一次逆解過程及一次正則化的步驟同時得到鍛粗加

工工件與模具接觸面間摩擦係數變化的歷程以及工件材料熱傳導係數變化的 歷程，並同時改善其穩定性。因此，可以大量減少逆解過程所需之運算時間。

本第三年計畫所完成的工作項目概述如下：

1.

設計及規劃鍛粗加工實驗及工件溫度擷取軟硬體設定。

2.

完成

AA1050

鋁材之鍛粗加工實驗，並順利取得

AA1050

實驗鍛粗加工

負荷歷程及溫度量測點溫度變化之歷程。

3.

建立以實驗鍛粗負荷及工件量測溫度為基準之『以矩陣表示線性最小平 方差之整合逆解有限元素模式』並配合正則化方法之逆解步驟，藉以逆 解鍛粗加工工件與模具接觸面間摩擦係數變化的歷程以及工件熱傳導 係數變化的歷程。

4.

建立鍛粗加工工件與模具接觸面間之摩擦模式。鍛粗加工時工件與模具 接觸面間之摩擦模式，在黏滯效應發生之前，本研究假設為庫倫摩擦模 式。當黏滯效應發生時，接觸面間沒有滑動現象產生，庫倫摩擦係數變 為沒有意義。因此，本研究在工件與模具接觸面節點發生黏滯效應時，

該節點改採用定剪降伏強度摩擦模式。本研究採用定剪降伏強度摩擦模 式。本研究以

z

K

µ ≥ σ

作為工件與模具間之接觸節點是否發生黏滯效應之 依據，並藉以判定工件與模具間之接觸節點為庫倫摩擦模式或定剪降伏

強度摩擦模式。

5.

撰寫『以矩陣表示線性最小平方差之整合逆解有限元素模式』並配合正 則化方法之逆解程式。

6.

逆解得到鍛粗加工時，模具與工件接觸面間之摩擦係數變化的歷程以及 工件熱傳導係數變化的歷程，並分析模具與工件接觸面間正向力與剪應 力分佈的情形。進而了解在鍛粗加工中工件應力場、應變場以及溫度場 之分佈。

整體而言，本第三年之研究除了達成『矩陣表示線性最小平方差之逆解金屬成 形熱彈塑大變形有限元素模式研究

(3/3)

』計畫之預期目標之外，並且整合逆解 工件與模具接觸面摩擦係數以及工件熱傳導係數變化的歷程之逆解步驟。使得 以一次逆解及正則化的過程同時逆解得到工件與模具接觸面摩擦係數以及工 件熱傳導係數變化的歷程。因此，可以大量減少逆解過程所需之運算時間。此 外，建立工件與模具接觸面產生黏滯現象之判斷準則，並藉以了解接觸面發生 黏滯現象的過程。因此，三年來本研究所建立的模式在工程逆向問題的學術原 創性及產業應用性上具有相當的價值。