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單元 _34: 由二圖形所圍出區域的面積

( 課本 § ^5.5)

一_. 二函數圖形所圍出區域的面積

令函數 _f 與 _g 在 _{[a, b]} 上連續_, 且對所有的 x ∈ [a, b], f (x) ≥ g(x)

則在 _{[a, b]} 上由 _f 與 _g 所圍成的區域 R 的面積 ₌

Z _b

a [f (x) − g(x)]dx 亦即_,

R 的面積 ₌

Z _b a

[上函數 ₋ 下函數_{]dx (1)} 如圖示_.

為何如此_? 考慮特例_. 設在 _{[a, b]} 上_{, f} 與 _g 均大於或 等於 _0, 且圖形如下_, 則根據圖示_, 非負函數定積分的面 積觀點_, 以及積分的加減法則_,

R 的面積 ₌ 由 _f 所圍出的區域面積 ₋

由 _g 所圍出的區域面積

=

Z _b a

f (x)dx −

Z _b a

g(x)dx

=

Z _b

a [f (x) − g(x)]dx

如所求_. 其它情況_, 亦成立 ₍略_).

例 _1.

y = x² + 2 與

y = x

在 _{[0, 1]} 上所圍成的區域_. 試求 _R 的面積_.

<解_{> (i)} 繪圖求上_, 下函數_. 如圖示_, 得 上函數_{: y = x}² _{+ 2} 且

下函數_{: y = x}

(ii) 根據 ₍₁₎ 式_, 所圍出區域 R 的面積 ₌

Z ₁

0 [(x² + 2) − x]dx

= 1

3x³ + 2x − 1 2x²

1 0

=

1

3 + 2 − 1 2



− 0

= 11 6

例 _2.

y = 2 − x² 與

y = x 所圍出區域的面積_.

<解_> 與上例最大的不同乃是, 未明確地給出所圍出區域 的 _x 範圍_, 亦即_, 定積分的上下界 _a 與 _b, 故需先由二圖 形的交點求出積分的上下界_, 再確定上下函數_, 並根據所 圍出區域面積的積分公式求面積_, 如下述_.

(i) 求交點決定積分的上下界_. 令兩函數的 _y 值相等_, 亦 即

2 − x² = x 並解 _x. 移項整理_, 得

x² + x − 2 = 0 經由因式分解_, 得

(x + 2)(x − 1) = 0 故

x = −2, 1

(ii) 決定上下函數_{. (a)} 繪圖_: 根據上述求得兩交點的 _x 坐標_, 以及一為開口向下的拋物線_, 另一為直線_, 得圖形如 下_, 故

上函數: y = 2 − x² 且

下函數_{: y = x}

或 _(b) 比較法_: 選 _(i) 中求得的積分範圍 _{[−2, 1]} 內的 任一點_, 代入二函數求值_, 並比較它們的大小_, 大的為上函 數_, 小的為下函數_. 例如_, 選 _{x = 0} 代入_, 得

y = 2 − x²

x=0 = 2 以及

y = x

x=0 = 0 故

上函數: y = 2 − x² 且

下函數_{: y = x}

(iii) 根據 _(i) 與 _(ii), 以及所圍出區域的面積公式_,

R 的面積 ₌

Z ₁

−2[(2 − x²) − x]dx

最後_, 根據微積分基本定理_, 由上式得 R 的面積 _{= 2x −} ¹

3x³ − 1 2x²

1

−2

=



2 − 1

3 − 1 2



−



−4 + 8

3 − 2



= 8 − 1

2 − 3 = 9 2

例 _3.

f (x) = 3x³ − x² − 10x 與

g(x) = −x² + 2x 所圍出的區域_. 試求 _R 的面積_.

<解_> 同上例_{, (i)} 求交點決定積分的上下界_. 令 3x³ − x² − 10x = −x² + 2x 並解 _x. 經移項整理並因式分解_, 得

3x³ − 12x = 0 以及

3x(x² − 4) = 0

故

x = 0, −2, 2

(ii) 決定上下函數_{. (a)} 繪圖_: 根據 _(i) 中所求得的三 個交點_, 一為三次多項式所表現出的由負無窮大到正無窮 大的曲線_, 另一為開口向下的拋物線_, 得圖形如下_, 故在 [−2, 0] 上_,

上函數: f (x) = 3x³ − x² − 10x 且

下函數: g(x) = −x² + 2x 但在 _{[0, 2]} 上_,

上函數: g(x) = −x² + 2x 且

下函數: f (x) = 3x³ − x² − 10x

或 _(b) 代入比較法_: 在 _{[−2, 0]} 內_, 選 _{x = −1} 代入_, 得

f (−1) = −3 − 1 + 10 = 6 且

g(−1) = −1 − 2 = −3

故

上函數: f (x) = 3x³ − x² − 10x 以及

下函數: g(x) = −x² + 2x 另在 _{[0, 2]} 內_, 選 _{x = 1} 代入_, 得

f (1) = 3 − 1 − 10 = −8 且

g(1) = −1 + 2 = 1 故

上函數: g(x) = −x² + 2x 以及

下函數: f (x) = 3x³ − x² − 10x

注意_! 此例顯示出_, 在不同的區間上_, 可能有不同的上下 函數_, 所以正確地確認是必要的_.

(iii) 根據圖示_, 區域 _R 為 _R1 與 _R2 的聯集_, 故由 _(i) 與 _(ii) 的結論_, 以及所圍出區域的面積公式_, 得

R 的面積 _{= R1} 的面積 _{+ R2} 的面積

=

Z ₀

−2[f (x) − g(x)]dx +

Z ₂ 0

[g(x) − f (x)]dx

又上式中的兩個被積函數僅差一負號_, 故代入

f (x) − g(x) = (3x³ − x² − 10x) − (−x² + 2x)

= 3x³ − 12x 並根據微積分基本定理_, 得

R 的面積 ₌

Z ₀

−2(3x³ − 12x)dx +

Z ₂ 0

(12x − 3x³)dx

= 3

4x⁴ − 6x²

0

−2

!

+ 6x² − 3 4x⁴

2 0

!

= [0 − (12 − 24)] + [(24 − 12) − 0]

= 12 + 12 = 24

二_. 應用

需求函數 (demand function) p = D(x)

乃是由消費者的需求所反應出的產品售價_, 故為產品數量 x 的遞減函數_.

供給函數 (supply function) p = S(x)

乃是由生產者的提供 ₍或生產₎ 意願所反應出的產品售價_, 故為產品數量 _x 的遞增函數_.

供需平衡點 (point of equilibrium) (x₀, p₀)

為需求函數 _{p = D(x)} 與供給函數 _{p = S(x)} 的交點_, 亦即_{, p0} 為消費者與生產者分別願意購買與生產 _x0 件 產品時的產品售價_, 如圖示_.

因此_, 定義

消費者剩餘 ^def₌

Z _x0 0

[需求函數 _{− p0]dx} 以及

生產者剩餘 ^def₌

Z _x0

0 [p₀ − 供給函數_]dx

乃分別表示在供需平衡點 _{(x0, p0)} 時_, 消費者與生產者 各自的獲益_, 如圖示_.

例 _4.

p = −0.36x + 9 且供給函數為

p = 0.14x + 2

試求消費者剩餘以及生產者剩餘_.

<解_> 根據消費者剩餘與生產者剩餘的定義_, 需先求供需 平衡點_, 亦即_, 需求函數與供給函數的交點, 故令二函數的 售價相等_, 也就是說_,

−0.36x + 9 = 0.14x + 2 並解 _x. 經由移項整理, 得

0.5x = 7 故

x = 7

0.5 = 14 以及

p = (0.14)(14) + 2 = 1.96 + 2 = 3.96 因此_, 供需平衡點為 (14, 3.96).

接著_, 根據定義以及微積分基本定理_, 消費者剩餘 ₌

Z ₁₄ 0

[(−0.36x + 9) − 3.96]dx

=

Z ₁₄ 0

(−0.36x + 5.04)dx

= −0.18x² + 5.04x¹⁴

0

= −0.18(14)² + 5.04(14) = 35.28

且

生產者剩餘 ₌

Z ₁₄

0 [3.96 − (0.14x + 2)]dx

=

Z ₁₄

0 (1.96 − 0.14x)dx

= 1.96x − 0.07x²

14 0

= 1.96(14) − 0.07(14)² = 13.72