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單元一 圓的意義與位置關係
課文
A： 圓與點、線、圓的位置關係這章節要提到一些與圓相關的概念，並在例題中說明解幾何問題常用 的三個策略，標：將數據標到圖形上；看：在整個圖形中，觀察出重要的 局部圖形；用：根據找出的圖形，正確使用上相關幾何性質，例如在直角 三角形中，使用畢氏定理。讓我們先複習一下圓的定義。
※圓的定義
在二下的時候就提過圓的定義：「在平面上，與一個固定點距離相等 的所有點，所形成的圖形就是圓」，而這個固定點就稱為圓心，這一段固 定距離就稱為半徑。我們畫圓的工具─圓規也是利用這個定義來畫圓的。
在命名圓的時候通常會利用圓心來命名，例如某一圓的圓心是O 點，
那麼我們就稱它為圓O。
※圓與點的位置關係
一個圓將所在的平面分成圓內、圓上、圓外。如下圖，A 點在圓內、
B 點在圓上、C 點在圓外。
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想想看，如何判斷點與圓的位置關係呢？可以由圓的兩個要素(圓心、
半徑)來協助判斷，因為圓上的點到圓心的距離都剛好等於半徑，所以如果 離圓心的距離比半徑大就會跑到圓外了，而離圓心的距離比半徑還要小就 在圓內。還不是很懂的話可以掃掃看右邊的QR-Code！
例題一：已知圓O 的半徑為 5，若平面上 A、B、C 三點，與圓心 O 的 距離分別為4、5、6，則 A、B、C 三點與圓 O 之位置關係為何？
解一：可以試著將題目的圖畫出來。下面有一個半徑為5 的圓 O，請根 據題目中的條件將A、B、C 三點畫出來：
正確畫出來後就可以判斷它的位置了！
r r
r
4
除此之外，也可以直接利用到圓心的距離與半徑做比較，然後判斷它 的位置！
解二：
A 與圓心 O 的距離為 4⇒
OA
=4<半徑 5⇒A 點在圓內。B 與圓心 O 的距離為 5⇒
OB
=5=半徑 5⇒B 點在圓上。C 與圓心 O 的距離為 6⇒
OC
=6>半徑 5⇒C 點在圓外。看完點與圓的位置關係後，接下來再看直線與圓的位置關係。
※圓與線的位置關係
下面有一個圓，請試著畫畫看不同的直線，並想想看直線與圓可能會 有幾個交點？
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事實上，一條直線與一個圓的交點個數有三種可能，分別是0 個交點、
1 個交點、2 個交點：
直線與圓 0 個交點，就是直線 與圓不相交，如右圖，會發現直線 L 上的點都在圓 𝑂𝑂 外面。
直線與圓只有 1 個交點，就是 直線與圓剛好相切，如右圖，直線 M 上與圓 𝑂𝑂 只交於一點 P，而直線 M 稱為圓 𝑂𝑂 的「切線」，P 點稱為切點。
直線與圓有 2 個交點，如右 圖，直線 N 與圓 𝑂𝑂 交於 A、B 兩點，
而 N 稱為圓 𝑂𝑂 的「割線」。
※圓與線的位置關係判別
L
M P
N A
B
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前面提到可以利用點到圓心的距離來判斷點與圓的位置關係，而是否 可以利用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關係呢？試試看利用 下表中的敘述畫出符合敘述的直線：
敘述 畫圖
情形1.
圓 𝑂𝑂 是半徑為 3 的圓，請畫出與 圓心距離為 3 的直線 L 。
情形2.
圓 𝑂𝑂 是半徑為 3的圓，請畫出 與圓心距離為 6 的直線 M 。
情形3.
圓 𝑂𝑂 是半徑為 3 的圓，請畫出與 圓心距離為 1 的直線 N 。
畫出來後會發現：
O
O
O
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1.圓心到直線的距離剛好等於半徑的話，直線與圓就只會交於一點，那條 直線即是切線，相交的那點即是切點。
2.如果圓心到直線的距離比半徑還大的話，直線與圓就不會有交點。
3.如果圓心到直線的距離比半徑還小的話，則直線與圓會有兩個交點。
還不是很懂的話可以掃掃看右邊的QR-Code！
例題二：平面中有一圓O 與三條相異直線 L1、L2、L3，已知圓O 的半徑 為6，依據圓心 O 到各相異直線的距離，回答下列問題：
(1)若圓心 O 到直線 L1的距離為8，則直線 L1與圓O 有幾個交點？
(2)若圓心 O 到直線 L2的距離為 4，則直線 L2與圓O 有幾個交點？
此時稱直線L2為圓O 的 。
(3)若圓心 O 到直線 L3的距離為 6，則直線 L3與圓O 有幾個交點？
此時稱直線L3為圓O 的 。
解一：試著將題目的圖形畫出來：
正確畫出來後就可以判斷它的位置了！
除此之外，也可以直接利用圓心到直線的距離與半徑做比較，然後判
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斷它的位置！
解二：
(1)圓心 O 到直線 L1的距離為8>半徑 6
⇒L1與圓O 沒有交點。
(2)圓心 O 到直線 L2的距離為4<半徑 6
⇒L2與圓O 有 2 個交點，L2也稱為圓O 的割線。
(3)圓心 O 到直線 L3的距離為 6=半徑 6
⇒L3與圓O 只有 1 個交點，L3也稱為圓O 的切線。
下一個要討論兩圓的位置關係！
※圓與圓的位置關係
下面有一個圓O1，請再畫出另外一個與圓 O1不同大小的圓，並想想 看這兩個圓可能會有幾種位置關係？
事實上，兩個不同大小的圓之間位置關係可能會有5 種：
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1.小圓在大圓內部分離：
我們稱這兩個圓「內離」。
4.小圓在大圓外面相切一點：
我們稱這兩個圓「外切」。
2.小圓在大圓內部相切一點：
我們稱這兩個圓「內切」。
5.小圓在大圓外面分離：
我們稱這兩個圓「外離」。
3.兩個圓相交兩點：
那如何判斷兩圓的位置關係呢？承續與前面所討論的，我們可以利用 兩個圓心的距離以及半徑的大小來判斷！
※圓與圓的位置關係判別
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下面當中有一些不同的情形，請根據這些敘述畫出圖形來：
1.圓 O1與圓O2半徑分別為5 和 2，O O =10： 1 2
圓 O1與圓O2的關係是 。 2.圓 O1與圓O2半徑分別為5 和 2，O O =7： 1 2
圓 O1與圓O2的關係是 。 3.圓 O1與圓O2半徑分別為5 和 2，O O =4： 1 2
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圓 O1與圓O2的關係是 。 4.圓 O1與圓O2半徑分別為5 和 2，O O =3： 1 2
圓 O1與圓O2的關係是 。
5.圓 O1與圓O2半徑分別為5 和 2，O O =1： 1 2
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圓 O1與圓O2的關係是 。
從上面畫圖的過程當中我們可以發現，兩圓之間的位置關係與O O 、1 2 圓O1半徑、圓O2半徑有關，其中兩個圓心的距離O O 我們稱為連心線段1 2 長。
1.如果連心線段長比兩圓的半徑和還大(O O >r1 2 1+r2)時，
那麼這兩個圓就會外離。
2.如果連心線段長與兩圓的半徑和一樣(O O =r1 2 1+r2)時，
𝑟
1𝑟
213
那麼這兩個圓就會外切。
3.如果連心線段長比兩圓的半徑和還小、且比兩圓的半徑差還大 (r1−r2<O O <r1 2 1+r2)時，那麼這兩個圓就會相交於兩點。
4.如果連心線段長與兩圓的半徑差一樣(O O =r1 2 1−r2)時，
那麼這兩個圓就會內切。
5.如果連心線段長比兩圓的半徑差還小(O O <r1 2 1−r2)時，
那麼這兩個圓就會內離。
特別的是，如果兩個圓的圓心重合時，我們就稱這兩個圓為同心圓！
還不是很懂的話可以掃掃看右邊的QR-Code！
𝑟
1𝑟
2𝑟
1𝑟
2𝑟
1𝑟
2𝑟
1𝑟
214
例題三：圓O1與圓O2半徑分別為 2 和 5，請依照下面表格所給定的連心 線段O O 長度，完成表格： 1 2
O O 長度 1 2 7 8 4 3 1
兩圓的位置關係
兩圓的交點個數
解：圓O1與圓O2半徑分別為 2 和 5，兩圓的半徑差為 5−2=3、兩圓的 半徑和為2+5=7。
(1) 7=7 (連心線段長 = 兩圓的半徑和)
⇒兩個圓的關係是外切，這兩個圓的交點數為 1 個。
(2) 8>7 (連心線段長 > 兩圓的半徑和)
⇒兩個圓的關係是外離，這兩個圓的交點數為 0 個。
(3) 3<4<7(兩圓的半徑差<連心線段長<兩圓的半徑和)
⇒兩個圓的關係是相交於兩點，這兩個圓的交點數為 2 個。
(4) 3=3 (連心線段長 = 兩圓的半徑差)
⇒兩個圓的關係是內切，這兩個圓的交點數為 1 個。
(5) 1<3 (連心線段長 <兩圓的半徑差)
⇒兩個圓的關係是內離，這兩個圓的交點數為 0 個。
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例題四：如下圖，圓O1、O2、O3三圓半徑分別為4、2、7，其中圓 O1
與圓O2外切、圓O2與圓O3內切、圓O3與圓O1內切，求△O1O2O3的周 長？
解：分別對照下面3 個圖，可以看出:
圓 O1與圓O2外切，所以O O =4+2=6；(左圖) 1 2
圓 O2與圓O3內切，所以O O =7−2=5；(中間那個圖) 2 3 圓 O3與圓O1內切，所以O O =7−4=3。(右圖) 3 1
故△O1O2O3周長 =6+5+3=14。
4
2 2
7
4 7
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例題五：已知圓O1半徑大於圓O2，當兩圓外切時，O O 長為 11，當兩1 2 圓內切時，O O 長為 5，求兩圓半徑分別為何？ 1 2
解：令圓O1半徑為r1、圓O1半徑為r2： 兩圓外切時O O 長為 11，列式成 r1 2 1+ r2=11 兩圓內切時O O 長為 5，列式成 r1 2 1− r2=5
1 2
1 2
11...(1) 5...(2) r r
r r
+ =
− =
(1)+(2)⇒2 r1=16⇒ r1=8 代回(1)：8+ r2=11⇒r2=11−8=3
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重點提問
1.根據上面的課文，點與圓的位置關係有哪幾種？如何判斷？
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
2.根據上面的課文，直線與圓的位置關係有哪幾種？如何判斷？
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
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3.根據上面的課文，兩個大小不同的圓位置關係有 5 種關係，請在下面的 表格中畫出這5 種關係，並說明如何判斷。
(1)內離
(2)內切
(3)交於兩點
(4)外切
(5)外離
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4.兩個大小相同的圓位置關係會有幾種關係呢？分別是哪幾種？
5. 如圖，如果兩個半徑分別為 r1、 r2的圓相交兩點A、B，
則r1− r2< O O < r1 2 1+ r2。為什麼？(可以利用三角形三邊關係解釋)
․隨堂練習：
1.已知圓 O 的半徑為 12，若平面上 A、B、C 三點，與圓心 O 的距離分別 為5、12、13，則 A、B、C 三點與圓 O 之位置關係為何？
2.如圖，圓 O 的半徑為 5 公分，觀察 A、B、C、D、E、O 各點。
哪些點與圓心距離小於5 公分？
哪些點與圓心距離等於5 公分？
哪些點與圓心距離大於5 公分？
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3.如圖，小蘋在紙上畫了 2 個圓，並利用圓心與圓的一些交點作出 4 條線 段。若此2 圓的半徑分別為 3、5，則這 4 條線段的總長度為多少？
4.平面中有一圓 O 與三條相異直線 L1、L2、L3，已知圓O 的半徑為 15，依 據圓心O 到各相異直線的距離，回答下列問題：
(1)若圓心O 到直線 L1的距離為17，則直線L1與圓O的交點數有 個。
(2)若圓心O 到直線 L2的距離為15，則直線L2與圓O的交點數有 個，
又稱直線L2為 。
(3)若圓心O 到直線 L3的距離為10，則直線L3與圓O的交點數有 個，
又稱直線L3為 。
5.若圓 O1、圓O2的半徑分別為 7、25。請填填看：
(1)當兩圓內切時，O O = 。 1 2 (2)當兩圓外切時，O O = 。 1 2
(3)當兩圓相交於兩點時， <O O < 。 1 2
(4)當兩圓內離時，連心線段長的範圍為 。 (5)當兩圓外離時，連心線段長的範圍為 。
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6. 圓 O1與圓O2半徑分別為6 和 11，請依照下表格所給定的連心線段O O1 2 長度，完成表格：
O O1 2
長度 3 5 7 17 21 位置關係
兩圓的交點個數
7. 如下圖，圓 O1、O2、O3三圓半徑分別為 3、4、7，其中圓 O1與圓O2
外切、圓O2與圓O3內切、圓O3與圓O1內切，求△O1 O2 O3 的周長？
8. 已知圓 O1半徑大於圓 O2，當兩圓外切時，O O 長為 10，當兩圓內切1 2 時，O O 長為 6，求兩圓半徑分別為何？ 1 2
