3-1 平面向量的幾何表示法

(1)

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch3 平面向量

3-1 平面向量的幾何表示 法

(2)

純量與向量

課本頁次： 142

純量：

向量：須同時由大小與方向來描述的量 .

都可以用一個數再附上適當的單位來描述 . 有大小而沒有方向的量 .

例如：長度、質量、體積等 , 這種量

例如：汽車正以時速 50 公里的速度向東北方移動 .

(3)

B 終點

A 始點

甲、向量的幾何表示法

其中 A 點為始點 , B 點為終點 , A 點到 B 點的有向線段 , _AB



_.

線段 AB 的長度稱為向量 簡稱為向量 _AB



AB



^的長度 ^{, 以}^|^AB

^

| 表示 , 代表向量的大小 .

相等向量：  方向相同 ,  大小相等 ,的向量 . 記作

課本頁次： 142

(4)

例如：

是兩個相等的向量 , CD



^與_EF



零向量：始點與終點重合的向量 , 記作



₀

( 大小為 0, 方向為任意方向 )

CD EF

 

 記作

例如： _{AA BB}

 

_,

課本頁次： 142

(5)

向量是由其大小與方向決定 , 而不在意它的位置 . 常以單一文字如

 

_{a b}_, 來表示向量 ,

而不指明向量的始點與終點 . 　

課本頁次： 143

(6)

例 1

A B

O C

D

E F



a



b

如圖，已知 ^O 為正六邊形 ABCDEF 的中心，

，選出正確的選項：

,

OA

   

 a OB  b 令

(1) (2) (3) (4) (×)

(×) (○) (○)

a  b

 

BC

 

 a DO

 

 a FA

 

 b (○) (5) _DC

 

_ _b

課本頁次： 143

(7)

隨 1「馬走日」是象棋中馬的走法 , 下圖是象棋的部分

棋盤 , 馬可以從 A 跳到 B, 也可以跳到 C 或 D 等 . 用向量 , ,

AB AC AD

  

表示馬走一步的情形 .

(1) 問：向量 _{AB AC AD}

  

_, _, 是否相等？不相等

課本頁次： 143

(8)

隨 1「馬走日」是象棋中馬的走法 , 下圖是象棋的部分

棋盤 , 馬可以從 A 跳到 B, 也可以跳到 C 或 D 等 . 用向量 , ,

AB AC AD

  

表示馬走一步的情形 .

(2) 馬在 E 處 , 用有向線段表示出馬走一步的所有情形 .

課本頁次： 143

(9)

乙、向量的加法與減法

（一）向量的加法

AC



_表示：_從_A _{移動到的位移}_C _.

a  b

 



a



^b

AC

  

 AB BC _{, 其中} _AB



_



_a _, _BC



_



_b

A B

a b C



 



課本頁次： 144

(10)

AC



a  b

 



a



^b

AC

  

 AB BC _{, 其中} _AB



_



_a _, _BC



_



_b

a b



 



A

B

C

課本頁次： 144

(11)

AC



a  b

 



a



b

AC

  

 AB BC _{, 其中} _AB



_



_a _, _BC



_



_b

a b



 



A

C

B

課本頁次： 144

(12)

AC



AC

  

 AB AD _{, 其中} _AB



_



_a _, _AD



_



_b

a b



 



a  b

 



a



b

A B

C

D

課本頁次： 144

(13)

隨堂下圖為二組兩兩平行的直線組合 ,

且每一小格都是菱形 . 試以 A 點為始點畫出 a  b

 

A



a



b



c

a  b

 

課本頁次： 145

(14)

隨堂下圖為二組兩兩平行的直線組合 ,

且每一小格都是菱形 . 試以 A 點為始點畫出 a  c

 

A



a



^b



c

a  c

 

課本頁次： 145

(15)

向量加法性質

(1) 交換律

a  b

 



a



b

A B

C

D

, a  b  AB BC  AC

    



b

課本頁次： 145

(16)

向量加法性質

(1) 交換律：

a  b

 



a



b

A B

C

D

, a  b  AB BC  AC

    

. b  a  AD DC  AC

    



a a  b  b  a

   

課本頁次： 145

(17)

向量加法性質

(2) 結合律：

(



a 



b ) 



c  (A



B B



C)  C



D



a a  b

  

^b



c (

  

a  b )  c

, CD AD

 AC











A B

C D

課本頁次： 145

(18)

向量加法性質

(2) 結合律：

(



a 



b ) 



c  (A



B B



C)  C



D

( ) ( )

a 



b 



c  AB



 BC



 CD



a



^b



c b  c

( )

 

a  b  c

  

, AC CD AD













A B

C D

. BD AD

 AB











(

     

a  b )  c  a  ( b  c )

課本頁次： 145

(19)

向量加法性質

(3)

    

_a _ ₀ _ ₀ _ _a _ _a _.

(4)

  

_a _{ }₍ _a ₎ _ ₀



a

A B

0 AB BA AA

   

  

^



a^AB

 

^{ } ^BA

( 方向相反 , 大小相等的向量 )

課本頁次： 146

(20)

C D

O E

F

A B

例 2 _{如圖，已知}_ABCDEF_為圓 _O _{的內接正六邊形，}

. OA OC OE

  

  求

解：

0 OA OC OE

   

  

∴

課本頁次： 146

(21)

C

A B

隨 2 _設 _{A B C}_{, ,} _{為平面上三點} _,求 _{AB BC CA}

  

_ _ _.

解：

0 AB BC CA

    

   AA 

∴

課本頁次： 146

(22)

（二）向量的減法

( )

a  b  a   b

   

(1)

CB CA

 



(2) ^ ^CB

 

^{ }⁽ ^CA⁾

CB AC



 

 AC CB



 



 AB



A B

C

課本頁次： 147

(23)

向量加法性質

A B

C

A B

C 向量的拆解

(1) _{AB AC CB}

  

_為任意三點 . 向量 _ ₍₂₎ 可作拆解如下： _{AB CB CA}

  

_ _ _.

設 _{A B C}_{, ,} _AB



課本頁次： 147

(24)

例 3 _已知_ABCD為四邊形 , 化簡下列各式：

. AB BC CD DA

   

   (1)

解： (1) AB BC CD DA

   

   .





0

課本頁次： 147

(25)

例 3 _已知_ABCD為四邊形 , 化簡下列各式：

. AB AD BC

  

  (2)

解： (2) AB



 AD



 BC



B DB C









.

 DC



課本頁次： 147

(26)

隨 3 _已知_ABCDE為五邊形 , 化簡下列各式：

. AC CE EB

  

  (1)

解： (1) AC



 CE



 EB



.

 AB



課本頁次： 148

(27)

隨 3 _已知_ABCDE為五邊形 , 化簡下列各式：

. AC AD CE

  

  (2)

解： (2) AC



 AD



 CE



.

 DE^DC



^C^E









課本頁次： 148

(28)

例 4

BD



(1)

解： (1) _BD



. b a



 



已知 _ABCD為四邊形 , 令

 

_a _ _AB_,

 

_b _ _AD_,

試將下列各向量以 ,

c  BC

   

_{a b}_, 和



_c 表示：



a



b AD AB



 



課本頁次： 148

(29)

例 4 _已知_ABCD_{為四邊形 , 令}

AC



(2)

解： (2) _AC



. a c



 



試將下列各向量以

, a  AB

   

_b _ _AD_,

, c  BC

   

_{a b}_, 和



_c 表示：



a



c AB BC



 



課本頁次： 148

(30)

例 4 _已知_ABCD_{為四邊形 , 令}

CD



(3)

解： (3) _CD



. c  a b

 

  



, a  AB

   

_b _ _AD_,

, c  BC

   

_{a b}_, 和



_c 表示：





a



b ^



^c

CB BA AD



  

 

課本頁次： 148

(31)

隨 4

BD



(1)

解： (1) _BD



. b a



 



已知 _ABCD為四邊形 , 令

 

_a _ _AB_,

 

_b _ _AD_,

試將下列各向量以 ,

c  AC

   

_{a b}_, 和



_c 表示：



a



b AD AB



 



課本頁次： 148

(32)

隨 4 _已知_ABCD_{為四邊形 , 令}

BC



(2)

解： (2) _BC



. c a



 



, a  AB

   

_b _ _AD_,

, c  AC

   

_{a b}_, 和



_c 表示：



a



c AC AB



 



課本頁次： 148

(33)

隨 4 _已知_ABCD_{為四邊形 , 令}

CD



(3)

解： (3) _CD



. b c



 



, a  AB

   

_b _ _AD_,

, c  AC

   

_{a b}_, 和



_c 表示：



b



c AD AC



 



課本頁次： 148

(34)

丙、向量的係數積

（一）向量的係數積

A B C

, ,

A B C 是共線的三點 ,

  

_a _ _{AB BC}_



a

AC

    

 AB BC  a  a _ _{2 a}



2 a



_{： 方向與}



_a ^方向相同 .

 大小為



_a^大小_{的 2 倍 .}

課本頁次： 149

(35)

(1) 若

 

_a _ ₀ , 則

 r > 0,

 r < 0,

 r = 0,

(2) 若

 

_a _ ₀ , 則

r a



方向與



_a 方向相同 , 其大小為 _r _{| |.}



a



a

| |.

r a



_方向與



_a ^方向相 r

反 , 其大小為 r a



為零向量 , 即 _{r a}

 

_ ₀

0 r a

 



課本頁次： 149

(36)

例如：

1

2



a

2 a



a

課本頁次： 149

(37)

例 5 下圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合 , 且每一小格都是菱形 . 試以 A 點為始點畫出

1 3

2

 

a  b

A



a



b

1

2



a

3 b



1 3

2

 

a  b

課本頁次： 150

(38)

隨 5 下圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合 , 且每一小格都是菱形 . 試以 A 點為始點畫出

2 2

a  3 b

 

A



a



b ²

 

^a ^ ²₃ ^b

2

3



b 2 a



課本頁次： 150

(39)

向量係數積的基本性質

(1) (r s a )

  

 r a s a . (2) (r s a



) ( ) rs a



.

(3) (r a

   

 b )  r a r b . ,

r s

 

a b,

設為實數 , 為任意向量 .

這些性質待下一節將向量用坐標表示後再證明，

在此暫時略過。

課本頁次： 150

(40)

D C F E

A

B

例 6 _已知_{D E F}_{, ,} _分別為_{△ ABC 三邊}

解：

,

BF

 

 a _BD

 

_ _b _,

試用



_a _與



_b _{表示下列各向量：}

(1) _AD



AD



 AB BD

 

 2 a b

 

 

 __{2 a}

 

_a



b 的中點 , 令

, ,

BC CA AB

課本頁次： 151

(41)

D C F E

A

B

例 6 _已知_{D E F}_{, ,} _分別為_{△ ABC 三邊}

解：

,

BF

 

 a _BD

 

_ _b _,

試用



_a _與



(2) _BE



BE



 BF BD

 

 a b



 



a  b

 



a



b 的中點 , 令

, ,

BC CA AB

課本頁次： 151

(42)

例 6 _已知_{D E F}_{, ,} _分別為_{△ ABC 三邊}

解：

,

BF

 

 a _BD

 

_ _b _,

試用



_a _與



(1) _AD



2

AD

 

 BE _ ₍_₂



_a _



_b _{) 2}_ ₍

 

_a _ _b ₎

 3 b



的中點 , 令

, ,

BC CA AB

(3) AD

 

^2^BE^{2 a}

^{ }

^ ^b ⁽²⁾ ^BE

^

^

^{ }

^a ^ ^b 2 a b 2 a 2 b

 

   

  

課本頁次： 151

(43)

C D

O E

F

A B

隨 6 _已知_ABCDEF _{是正六邊形，}

試用

解：

,

AB

 

 a _BC

 

_ _b _,



a _與



(1) _AE



AE



 AD DE

 

 (

2 b a )





 



2

a b

 

 

 (1)



a ^{2 b}

 

^b





a

課本頁次： 151

(44)

C D

O E

F

A B

隨 6 _已知_ABCDEF _{是正六邊形，}

試用

解：

,

AB

 

 a _BC

 

_ _b _,



a _與



(2) _EC



EC



_ _EF

 

_ _FC

2 a

 



b 



2 a b



 

 (2)



a ^{2 a}

 

^b





b

課本頁次： 151

(45)

（二）向量的平行向量平行的定義

兩非零向量



_a 與



_b 中有一個可以寫成另一個的係數積時 , 稱



_a 與



_b 平行 , 記作

 

_a _// _b

說明：

與任一向量



0

(1)



_a ^都平行 .

課本頁次： 152

規定

(46)

（二）向量的平行向量平行的定義

兩非零向量



_a 與



_b 中有一個可以寫成另一個的係數積時 , 稱



_a 與



_b 平行 , 記作

 

_a _// _b

說明：

(2) 若兩非零向量平行 ,

則兩向量必同方向或反方向 . / / b / / c

a



  

_a



_b



c

課本頁次： 152

(47)

C D E

A

B

例 7

證：

試證： _DE _{/ /}_BC 且 ¹ _. DE  2 BC

已知 ^{D E}^, 分別為△ ABC 兩邊 _{AB AC}_, 的中點 ,

DE



1 1

2 BA 2 AC



 



1 ( )

2 BA AC



 



1

2 BC





∴ _DE _{/ /}_BC 且 ¹

DE  2 BC DA AE



 



課本頁次： 152

(48)

隨 7

證：

試證：四邊形 PQRS 為平行四邊形 . 　

已知 ^{P Q R S}^{, , ,} 分別為四邊形 ABCD 的中點 ,

 _SR _{/ /}_PQ 且 _SR _ _PQ 1

SR

 

 2 AC 1

PQ

 

 2 AC 作 _AC

 



∴ 四邊形 PQRS 為平行四邊形

C Q D

A P B S

R

課本頁次： 153

(49)

（三）向量的線性組合

則平面上的每一個向量 _OP



_{都可以唯一表示成}

OA O

x y

OP











B 的形式 . OB



若 _OA



和為平面上兩個不平行的向量 ,

課本頁次： 154

(50)

向量的線性組合

證：(1) 存在性：

O A

B P

A B

 過 P 作直線 OB 的平行線交直線 OA 於 ^A

 過 P 作直線 OA 的平行線交直線 OB 於 ^B

OP OA OB

  

  



令 _OA



_ _ _x _OA



_, _OB



_ _ _y _OB



OA O

x y

OP











B



課本頁次： 153

(51)

向量的線性組合

證：(2) 唯一性：

設向量 _OP



^{有兩種表示法，}

1 1

OP x OA y OB

  

  _ _{x OA y OB}₂

 

_ ₂

1 2 2 1

(x  x OA)



 (y  y OB)



,



1 2

x  x

設 ^ _OA

 

_{/ /}_OB

∴ ^x₁ ^ ^x₂ 得



代入  y1  y2 ∴ 表示法唯一 . (×)

課本頁次： 153

2 1

1 2

( y y )

OA OB

x x

  







(52)

例 8

求 s,t 的值 .

(2 ) (3 2 ) 7

s



a 



b  t



a 



b 



a 且實數 s,t 滿足

和是兩個不平行的向量 ,



a



_b

已知

解： ( )₂_s _{ }₃_t ₇



a  ( )_s _ ₂_t



b 



0

2 3 7 0

2 0

s t s t

  

   

2, 1.

s  t

 

課本頁次： 154

(53)

隨 8

求 s,t 的值 .

(2 ) ( 2 ) 3

s



a 



b  t



a 

 

b  b 且實數 s,t 滿足

和是兩個不平行的向量 ,



a



_b

已知

解： ( )_{2s t}_



a  ( )_s _ ₂_t _ ₃



b 



0

2 0

2 3 0

s t s t

  

     1, 2.

s   t

 

課本頁次： 154

(54)

C E

D

A B

F

例 9平行四邊形 ABCD, ^AE

 

 ³^EC^, _F _為_BC _的中點 _. AE x AB y AD

  

 

(1) 設 ，求 x,y 的值 . 解： _AC



_ _AB



_ _AD



3

AE

 

 EC 3

4 AC





3 ( )

4 AB AD









³ ³

4 AB 4 AD



 

 ³ _, ³

4 4

x  y 

∴

課本頁次： 155

(55)

C E

D

A B

F

例 9平行四邊形 ABCD, ^AE

 

 ³^EC^, _F _為_BC _的中點 _. EF

  

 r AB s AD

(2) 設 ，求 r,s 的值 . 解：_E



_F _ _EA



_ _A



_B_ _BF



3 3

( )

4 4

EA



  AE



  AB



 AD



1

BF

 

 2 AD

3 3

( )

4

1 2

4 AB A AB A

E



F  







D 







D

1 1

4 AB 4 AD



 

 ¹ _, ¹

4 4

r  s  

∴

課本頁次： 155

(56)

隨 9平行四邊形 ABCD, ² _, AE

 

 3 AC AE x AB y AD

  

 

(1) 設 ，求 x,y 的值 .

C E

D

A B

解： _AC



_ _AB



_ _AD



2

AE

 

 3 AC

2 ( )

3 AB AD



 



2 2

3 AB 3 AD



 

 ² _, ²

3 3

x  y 

∴

課本頁次： 155

(57)

隨 9平行四邊形 ABCD, ² _, AE

 

 3 AC

C E

D

A B

解：

EA AB

EB











⁽²³ ²³ ⁾

EA



  AE



  AB



 AD



2 2

( )

3 AB 3 AD AB

 



 





1 2

3 AB 3 AD



 

 ¹ _, ²

3 3

r  s  

∴ EB

  

 r AB s AD

(2) 設 ，求 r,s 的值 .

課本頁次： 155

(58)

O

A B

（四）向量的分點公式

m P n

. OA

O OB

m n m

P n m

  n









^{AP PB m n}^: ^ ^:

若為P △ OAB 中_AB邊上一點 , 且 , 則

課本頁次： 156

(59)

（四）向量的分點公式

O

A m P n B 證： _OP



(1 m ) m

OA OB

m n m n

  









ⁿ _OA ^m _OB_.

m n  m n

 



 

OA m AB

  m n







( )

OA m OB OA

  m n 





 

OA AP



 



課本頁次： 156

(60)

例 10 _BP _ ₂_AP_,

OP

  

 x OA y OB

(1) 設 ﹐ 求 x,y 的值 . 解： ^BP ^ ²^AP

: 1 : 2 AP PB

 

2 1

3 3 .

OP OA OB



  

 

2 1

3 , 3 x  y 

∴

在△ OAB

P AB邊上 , 且

O

A 1 P 2 B

課本頁次： 156

之

(61)

例 10

的中點 . 為 _OB

C

CP

  

 r OA s OB

(2) 設 ﹐ 求 r,s 的值 . 在△ OAB

P

O

A 1 P 2 B 解：_CP



_ _CO



_ _OP



2 1

( )

3

2 3

1 OB OA OB

 





 



2 1

3 OA 6 OB



 



2 1

3 , 6 r  s  

∴

1

1 C

課本頁次： 156

2 , BP  AP 邊上 , 且

AB 之

(62)

隨 10 _{AP PB}_: _ _{3: 2,}

OP

  

 x OA y OB

(1) 設 ，求 x,y 的值 . 解： AP PB:  3: 2

 OP



2 3

5 , 5 x  y 

∴

如右圖 , 在△ OAB 中 ,

O

A B

3 P 2

2 3

5 OA 5 OB









課本頁次： 157

Q

(63)

隨 10 _{AP PB}_: _ _{3: 2,}

2 3

5 5

OP

  

 OA OB (1)

解：

O

A B

3 P 2

課本頁次： 157

△OAQ 面積為△ OAB 面積的兩 倍

Q OQ r OA s OB

  

  3k

(2) 設 ，求 r,s 的值 . 設△ OBP 面積為 2k 2k

 △OAP 面積為 3k

 △OAB 面積為 2k+3k=5k

 △OAQ 面積為 2×5k=10k

(64)

隨 10 _{AP PB}_: _ _{3: 2,}

2 3

5 5

OP

  

 OA OB (1)

解：

O

A P B

課本頁次： 157

Q OQ r OA s OB

  

  3k

(2) 設 ，求 r,s 的值 .

 △ OAP 面積為 3k

 △OAQ 面積為 10k

 _{OP OQ}_: _ _3:10

10k

10

OQ 3 OP



 



(65)

隨 10 _{AP PB}_: _ _{3: 2,}

2 3

5 5

OP

  

 OA OB (1)

解：

O

A P B

課本頁次： 157

Q OQ r OA s OB

  

  3k

(2) 設 ，求 r,s 的值 . 10 10k

3 OP OQ







10 ( )

3

2 3

5 OA 5 OB

 

 

4 2

3 OA OB



 

 4

, 2 r  3 s 

∴

(66)

例 11

OP

  

 x OA y OB

設 ，求 x,y 的值 . 解：

: 2 : 3 AB BP 

 OB



3 5

2 , 2 x   y 

∴

如下圖 ,O, A, B 三點不共線 , 點 P 在直線 AB 上 ,

O

A 2 B 3 P

3 2

5 OA 5 OP









5, 3,

AP  BP  且

5 3 2.

AB  AP BP   

2 3

5 OP 5 OA OB





 







3 5

2 O 2

OP A OB





 







課本頁次： 157

(67)

隨 11

OP

  

 x OA y OB

設 ，求 x,y 的值 . 解：

: 2 : 3 BA AP

 

 OA



5 3

2 , 2

x  y  

∴

如下圖 ,O, A, B 三點不共線 , 點 P 在直線 AB 上 ,

O

P 3 A 2 B

2 3

5 OP 5 OB









: 5 : 3, BP AP 

且

: 5 : 3 BP AP 

2 3

5 OP OA 5 OB













5 3

2 OA 2

OP OB













課本頁次： 157

(68)

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