本章歷屆基測題數統計67854321

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本章歷屆基測題數統計

6 7 8

5 4 3 2 1

93 94 95 96 97 98 91

90 92 年度（年）

8

4 3

8

4 3 3

★內角與外角

★三角形的全等

2 1 2 3 2 0 1 3 1 0 1 0 1 2 2 1 0 4 1 1

★三角形的邊角關係 1 3 1 0 4 0 2 1 1 2 兩次題數合計

（題）

4 5

1

99

能力指標分年細目

3-1 內角與外角 8-s-09

能以最少性質辨認三角形。

8-s-12

能理解三角形的基本性質。

8-s-17

能理解四邊形的基本性質。

8-s-27

能利用三角形內角和為 180 度的性質，解決多邊形內角和與外角和定理的問題。

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■伸縮活動扣條教學組

■圓規

教具指示器

本章的重點包括：一、三角形內角、外角的意義與內、外角和的應用；二、三角形的外角和 360°；三、多邊形的內角與外角和；四、全等三角形的意義；五、全等三角形的判別；六、全等三角形的應用；七、三角形三邊的關係；八、大邊對大角的性質。

本章的命題重點在於：三角形的全等以及內角、外角的意義與求和。

基測停看聽

的性質。

8-s-14

能以尺規作圖理解兩個三角形全等的意義。

8-s-15

能理解三角形全等的性質。

3-3 三角形的邊角關係

8-s-09

能以最少性質辨認三角形。

8-s-12

能理解三角形的基本性質。

8-s-16

能理解三角形的邊角關係。

(3)

教學活動內容

3-1 內角與外角

理解三角形的內角與外角的定義，並知道其互補的關係。

理解三角形外角和的定義，並檢驗出三角形外角和等於 360 度。

理解三角形的內角和定理：三角形內角和為 180 度。

從三角形內角和為 180 度推得外角等於兩個內對角的和。

理解四邊形的內角和等於 360 度，與四邊形的外角和等於 360 度，並利用三角形的內角和定理推得。

理解多邊形的內角與外角的性質，並利用三角形的內角和定理，也就是分割三角形的組合，來推得：

1 n 邊形的內角和為（n－2）×180°。 2 n 邊形的外角和為 360°。

3正 n 邊形的每一內角與外角。

活動6 活動5 活動 4 活動 3 活動2 活動 1

3-2 三角形的全等

理解全等三角形的意義與符號的記法。

已知三角形的三邊，利用尺規畫出此三角形，並驗證「若有兩個三角形的三邊 對應相等，則此兩個三角形必全等」，即 SSS 全等性質。

已知三角形的兩邊及其夾角，利用尺規畫出此三角形，並驗證「若有兩個三角 形的兩邊及其夾角對應相等，則此兩個三角形必全等」，即 SAS 全等性質。

已知三角形的兩角及其夾邊，利用尺規畫出此三角形，並驗證「若有兩個三角 形的兩角及其夾邊對應相等，則此兩個三角形必全等」，即 ASA 全等性質。

從三角形的內角和定理推得「若有兩個三角形的兩角及其中一角的對邊對應相 等，則此兩個三角形必全等」，即 AAS 全等性質。

推得「若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則此兩個三角形必全等」，即 RHS 全等性質。

應用全等三角形的性質解題。

活動7 活動6 活動 5 活動 4 活動 3 活動 2 活動 1

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教材設計理念

首先利用繞公園旋轉一圈剛好是一周角 360 度，導出三角形的內角和為 180 度，再利用內角和與外角和導出多邊形的內角和。這一節的重點是：

1了解內角和與外角和的由來，並經由了解過程中，知道多邊形的內角和與外角和公式。

2利用內角和與外角和的公式求解角度的相關問題。

3了解正多邊形的每一個內角與外角的由來與公式。

利用尺規作圖了解三角形全等的意義，並利用三角形全等的意義作簡單的計算與推理。在做簡單的推理時，因為是初學幾何證明，不必強調證明的格式—已知、求證與證明，只要懂得其原理即可。直到九上再正式進入幾何證明的世界。當然，此時不宜出現須使用輔助線的幾何證明題。

三角形的邊角關係是不容易理解與學習的單元，故這一節重點是：

1了解三角形兩邊之和大於第三邊，也知道在何種條件下會形成一個三角形。

2了解一個三角形中當有兩邊不等時，大邊對大角，大角對大邊。

3利用三角形的不等關係做簡單的計算。

4利用三角形的不等關係做簡單的推理。此時推理訓練的題目不宜複雜，以免學生不易思考。

評量注意事項

3-1 內角與外角

關於幾何圖形的求角度問題，宜將已知角度標示在圖形上。

3-1 內角與外角

1利用三角形的全等做簡單推理時，不宜要求學生將全部的證明過程撰寫出來。

2不宜出現需要增加輔助線或二次全等的題目。

3-2 三角形的全等 3-2 三角形的全等

(6)

利用三角形的邊角關係做簡單推理時，題目盡量簡單，不宜太複雜。因為幾何不等關係不容易思考。

參考資料

一.

三角形的內角和

利用小學學過平行的概念，可以證明三角形的內角和為 180°，過程如下：

過 A 點作一直線 L 平行‾^BC。

因為‾^BC^∥L，

所以∠1＝∠B，∠2＝∠C。

∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋∠1＋∠2＝180°

二. 多邊形的對角線

利用尋找關係與等差級數的和可以導出多邊形有幾條對角線，方法如下：

1五邊形：從五邊形的 A 點開始，可以連接 4 條線段

（含邊）；從 B 點只能做 3 條線段（不含^AB‾^{）；從 C} 點只能做 2 條線段（不含 ‾^AC、‾^{BC ），……}

故其對角線數目為（1＋2＋3＋4）－5＝5

2n邊形：從 n 邊形的第一個頂點出發可以連接 n－1 條 線段（含邊），從第二個頂點出發只能做 n－2 條線 段，從第三個頂點出發只能做 n－3 條線段，… … 故其對角線數目為

〔1＋2＋3＋4＋… …＋（n－1）〕－n ＝ －n

此公式待高中時，再利用數學歸納法證明。

（n－1）×n 2

A

B E

C D

L

B C

1 2

＝ n²－n－2n 2

＝ n（n－3）

2

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四. 樞紐定理

三角形的邊角關係「大角對大邊」與「大邊對大角」必須在同一個三角形討論，至於不同三角形就必須依樞紐定理來判斷。

已知：如下圖，△ABC 與△DEF 中，‾^AB＝^{DE ，}‾ ‾^{AC ＝}^{DF ，∠A＞∠D。}‾

求證：‾^{BC ＞} ‾^{EF 。} 證明：

1將△DEF 移至△ABC 疊合，使得 D 點與 A 點重疊、

E點與 B 點重疊。

2作∠FAC 的角平分線交 ^BC‾ ^{於 G，連接} ‾^BF^、^FG‾^。

3在△AFG 與△ACG 中，

AG 平分∠FAC，所以∠FAG＝∠CAG，‾ 又 ^{AC ＝}‾ ‾^{AF ，}

AG ＝‾ ^{AG ，}‾

所以△AFG △ACG。（SAS 全等）

故 ‾^{FG ＝}CG 。（對應邊相等）‾

4在△BFG 中，

‾

BG＋ ‾^{FG ＞} ‾^BF。

因為‾^FG＝‾^CG， ‾^BF＝‾^EF，

所以‾^BG＋‾^CG^＞ ‾^EF，即 ‾^BC^＞‾^EF。

樞紐定理的逆定理亦成立，利用反證法即可。

＝∼

A

D

G C F

A（D）

B（E）

B C E F

三. 多邊形的全等

欲證明兩多邊形全等，必須符合下列情形：

1邊數相等。

2對應邊長皆相等。

3對應角皆相等。

這些條件缺一不可，如正方形與菱形雖然邊長相等，但不一定全等；正方形與矩形雖然角度都是直角，但也不一定全等。

(8)

(9)

■十分鐘輕鬆考基礎篇第 20 回

■MPB 三角形 P1∼9 配套指示器

■4小時

理解三角形的內角與外角的定義，並知道其互補的關係。

■國中所提及多邊形的內角，都是指小於 180 度的凸多邊形。

■小學時，曾利用測量及剪裁拼補的方式發現三角形三個角的度數和為 180 度。

教學眉批 活動1

教學時數

(10)

■類題熟練本 P31

■歷屆基測試題 P31 配套指示器 和等於 360 度。

■利用指揮棒或其他道具讓學生了解在行進時，所要轉的角度是外角。

教學眉批

■如右圖，佳佳繞三角形的公園散步，由 P 點出發，

經 A、B 兩點後到達 Q 點，她一共轉了度。

補充問題 補充問題

280

100°

A 30° B

P Q

C

■91 基測 I 第 20 題

！

基測試題

(11)

■歷屆基測試題 P31 配套指示器

■利用圖形縮小或 GSP 軟體將三角形慢慢縮小，讓學生了解外角和為一周角 360 度。

■∠A、∠B、∠C 皆 分別有 2 個外角，

在取其中一組外角時，宜採取順時鐘的一組或逆時鐘的一組。

教學眉批

1（ C ）下列何者為一個三角形的一組外角度數？

A65°、55°、60° B100°、100°、100°

C100°、110°、150° D70°、80°、120°

2△ABC中，∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、∠C 的外角，若∠1＝（4x＋10）°，

∠2＝（5x＋30）°，∠3＝140°，求 x。

20

■90 基測 II 第 14 題

！

基測試題

(12)

■歷屆基測試題 P34 配套指示器 度。

■從一頂點做直線平行底邊，利用平行線的內錯角相等，

可以證明三角形的內角和為 180 度。

■三角形內角和為 180 度的應用，可先教導代數的計算題，再進行幾何的問題。

教學眉批

1 △ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、∠C 的外角，若∠1＝120°，

∠2 的度數是∠3 度數的 2 倍，求∠2、∠3。

∠2＝160°，∠3＝80°

2 △ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、∠C 的外角，若∠1＝x°，∠2＝y°，

∠3＝z°，且 x：y：z＝4：5：6，求∠1、∠2、∠3。

∠1＝96°，∠2＝120°，∠3＝144°

180 °

■94 基測 II 第 32 題

！

基測試題

(13)

■類題熟練本 P27、28 配套指示器

1 △ABC 中，∠A＝80°，2∠B＋∠C＝140°，求∠B、∠C。

∠B＝40°，∠C＝60°

2 △ABC 中，若∠A 是∠C 的 2 倍，∠B 是∠C 的 3 倍，求∠A、∠B、∠C。

∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°

■此題是利用三角形的內角和為 180°

的觀念解 x，而解 得的 x 要記得代回 原式驗算。

教學眉批

(14)

■類題熟練本 P28 配套指示器

■如右圖，△ABC 中，∠ABC＝50°，∠A＝70°， 若∠C 的角平分線交∠B 外角的角平分線於 P 點，求∠P。

∠P＝35°

P A

B C

式：

∠BPC＝90°＋ ∠A 而其餘類似的題型補充如下：

1△ABC 中，

∠ACB的角平分 線與 ∠ ABD 的 角平分線交於P 點，則

∠BPC＝ ∠A

2△ABC 中，∠B 與∠C 的外角角 平分線交於 P 點，則

∠BPC

＝90°－ ∠ A1 2

1 2

P A

B C

A

B C

P D

○

×× ○

××

○○

(15)

從三角形內角和為 180 度推得外角等於兩個內對角的和。

■宜多教導三角形內角和為 180 度的幾何問題。因為學生較不熟悉幾何與代數的結合處理。

■利用各種不同的三角形，讓學生認識外角與內對角的位置。

■如右圖， AD⊥BC ，∠3＝∠4＝∠5＝40°，求：

1∠2 2∠1

1130°；2 170°

A

B D C E

5

2 1

34

(16)

■歷屆基測試題 P32、33、35

配套指示器 1如右圖，C 在直線 BD 上，AC＝BC，若∠1＝120°，

∠2＝40°，求∠B。

40°

2如右圖，D、E 在 BC 上，AD、AE 三等分∠BAC，

若∠BAC＝90°，∠C＝42°，求∠1、∠2。

∠1＝102°，∠2＝72°

A

A B

D E C

B C D

2 1

1 2

■ 93 基測 II 第 12 題

■97 基測 I 第 14 題

■例題 5 在教學時，

可在圖形上強調欲求外角的三角形，

例如，列式∠ADB

＝∠1＋∠C 時，

可如下標示：

列式∠BED＝∠2

＋∠ABE 時，可如 下標示：

教學眉批

A

B C

D E 1 2

A

B C

D E 1 2

(17)

理解四邊形的內角和等於 360 度，與四邊形的外角和等於 360 度，

並利用三角形的內角和定理推得。

理解多邊形的內角與外角的性質，並利用三角形的內角和定理，也就是分割三角形的組合，來推得：

1 n 邊形的內角和 為（n－2）×180°。 2 n 邊形的外角和為

360°。

3正 n 邊形的每一 內角與外角。

■教師可視學生程度增加其他方法，例如，自其中一頂點做對角線，可以將四邊形分成兩個三角形，求出四邊形的內角和為兩個三角形度數的和。

■用（4 個三角形內角和）－（1個周角）來推導公式，

學生比較容易記住公式。

活動5

■如右圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝度。

215

A B

C

D

1 2

3

4 130°

150° 140°

155°

■97 基測 I 第 3 題

！

基測試題

(18)

■類題熟練本 P29 配套指示器 部一點，求出 n 邊 形的內角和為（n 個三角形內角和）

－（1個周角）＝

（n－2）×180°。用這個方法來推導公式，學生比較容易記住公式。

■教師可視學生程度增加其他方法，例如，自其中一頂點做對角線，可以將 n 邊形分成 n－ 2 個三角形，求出 n 邊形的內角和。

■也可以利用邊上的一點來推導：

如下圖，六邊形的內角和為：

（5個三角形內角和）

－（1個平角）

＝（5－1）×180°

＝（6－2）×180°

再推導出 n 邊形的 內角和為：

（n－1 個三角形內角 和）－（1個平角）

＝〔（n－1）－1〕×180°

＝（n－2）×180°

A P B

C D

E F

■自十二邊形的一個頂點作對角線：

1可將十二邊形切割成個三角形。

2十二邊形的內角和為度。

10 1800

(19)

■類題熟練本 P29、30

■對於多邊形內角和公式的應用，宜先教導以實際數字做計算的例題，再教導利用代數求值的例題。

■切莫只教公式與代入，而不讓學生了解其過程。

教學眉批

1 求九邊形的內角和。

1260°

2 若一個 n 邊形的內角和為 1800°，求 n。

12

■90 基測 II 第 24 題

！

基測試題

(20)

■四邊形 ABCD 中，設∠A＝x°，∠B＝y°，∠C＝z°，∠D＝w°， 若 3x＝4y＝6z＝12w，求∠A、∠B、∠C、∠D。

∠A＝144°，∠B＝108°，∠C＝72°，∠D＝36°

關問題常會搭配比例或代數的形式出題，教師在講解前，宜先向學生複習相關知識。

■盒子裡有四塊蛋糕，現在有四位同學，每人都分到一塊，但盒子裡還有一塊蛋糕，為什麼？

有一位同學連盒子都拿走，所以盒子裡還有一塊蛋糕。

趣味數學

(21)

■類題熟練本 P30、31 配套指示器

■如右圖，四邊形 ABCD 中，∠CBA＝110°，

∠C＝80°，∠D＝50°。自 A 作一直線垂直 AD，

自 B 作一直線垂直 BC，兩直線交於 E 點，

求 ∠AEB。

130°

C

B E

D A

■利用四邊形的內角和為 360 度來處理幾何圖形的角度問題。

■幾何圖形問題因為結合幾何與代數，

宜留意學生的解題能力。

教學眉批

(22)

■歷屆基測試題 P33 配套指示器 所轉的角度為外角，說明外角和為 360 度，再利用多邊形的內角和導出外角和為 360 度。

■宜從邊數較少的多邊形來討論多邊形的外角和，學生比較容易得到結論。

1 十二邊形的一組外角和是幾度？

360°

2 十四邊形的一組外角和是幾度？

360°

■93 基測 II 第 10 題

！

基測試題

(23)

配套指示器

■藉由不同的例題，

讓學生了解多邊形外角和的由來，且熟悉外角和的計算。

教學眉批

■如右圖，五邊形 ABCDE 中，∠1、∠2、∠3、∠4 分 別為∠B、∠C、∠D、∠E 的外角，設∠A＝100°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4。

280°

補充問題

補充問題 A

B

E C D

1

2 3

4

(24)

■歷屆基測試題 P32、34

配套指示器 讓學生了解正多邊形每一個外角與內角的由來，並熟悉內角與外角的計算。

■正多邊形的每一個外角比內角好記，

故應引導學生熟記每一個外角為

，再由外角與內角相加等於180°，

得到每一個內角為 180°－，

再依學生程度補充每一個內角為

。 360

n

360 n

。

（n－2）×180 n

。

1 正十五邊形的每一個外角是幾度？

24°

2 正十二邊形的每一個內角是幾度？

150°

3 若一正 n 邊形的每一內角是 144 度，求 n。

10

■92 基測 I 第 18 題

■94 基測 II 第 15 題

！

基測試題

(25)

■無敵大補帖基礎篇 P17∼19

配套指示器

■如右圖，∠A＝80°，∠B＝20°，∠C＝40°，則 ∠1＝ 度。

140 A

B

C D

1

(26)

■考前衝刺 P12、13

■考前 100 分 P12、13

■歷屆基測試題 3-1 配套指示器 1 若一等腰三角形的頂角為 100°，則其底角的外角為度。

2 正十邊形的一個內角與一個外角的比為。 3 若一正 n 邊形的一個外角為 36°，則：

1 n＝

2 內角和為度。 補充問題

補充問題

140 4：1

10

1440

■97 基測 II 第 24 題

■98 基測 II 第 21 題

(27)

■十分鐘輕鬆考進階篇第 10 回

■無敵大補帖進階篇 P15、16

配套指示器

■如右圖，五邊形ABCDE 為正五邊形，△AEF 為正三角形，

求∠FAC。

12°

C

B D

A E

F

■n角星形的角度和 為：（n－4）×180°

教學眉批

本章歷屆基測題數統計67854321