高中基礎數學統整講義

第十回 三角函數(2)

解三角形

高中基礎數學統整講義

一、正弦定理

1. 正弦定理正弦定理正弦定理正弦定理：：：：【【【【適用時機適用時機適用時機適用時機：：ASA、：： 、、、AAS 或或或 SSA 條件或 條件條件條件】】】】

在 ABC∆ 中，若 a、b、c 分別表 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長，則 R C c B b A

a 2

sin sin

sin

=

=

= ，其

中 R 為 ABC∆ 外接圓的半徑。

【例題 1】在 ABC∆ 中，∠A=60°，∠B=45°，b=2，試求 ABC∆ 之邊長與面積。

[a= 6，c= 3 +1， (3 3) 2

1 +

=

∆ ]

解：

【類題 1】如圖，正三角形 ABC 的邊長為 1，並且∠1＝∠2＝∠3＝15°。已知 sin 15°＝ 6 － 2 4 ， 則正三角形 DEF 的邊長為__________。[ 6

2 － 2

2 ](化為最簡根式) 【103.學測】

解：

【例題 2】在 ABC∆ 中，a= 6 + 2，b=2，∠A=105°，試求 ABC∆ 之角與邊長。

[∠B=30°,∠C=45°,c=2 2] 解：

【類題 2】在 ABC∆ 中，AC=15，AB=15 3，∠B=30°，試求(∠A，a)。[(90°,30)或(30°,15)]

解：

二、餘弦定理

1. 餘弦定理餘弦定理餘弦定理餘弦定理(1)：【：：：【【【適用時機適用時機：適用時機適用時機：：：SAS 條件條件條件條件】】】】

在 ABC∆ 中，若 a、b、c 分別表 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長，則 (1)a² =b² +c² −2bccosA (SAS)

(2)b² =a² +c² −2accosB (SAS) (3)c² =a² +b² −2abcosC (SAS) 2. 餘弦定理餘弦定理餘弦定理餘弦定理(2)：【：：：【【【適用時機適用時機：適用時機適用時機：：：SSS 條件條件條件】條件】】 】

若 ABC∆ 中的三邊 a、b、c 為已知(SSS)，則可由餘弦定理求三內角：

(1) bc

a c A b

cos 2

2 2

2 + −

= (SSS)

(2) ac

b c B a

cos 2

2 2

2 + −

= (SSS)

(3) ab

c b C a

cos 2

2 2

2 + −

= (SSS) 3. 由餘弦判斷角之特性由餘弦判斷角之特性由餘弦判斷角之特性由餘弦判斷角之特性：：：：

若θ 為三角形之一內角，則可由_cosθ _{判斷該角之特性：}

(1)若cosθ >0_，則0°<θ <90°_，即θ _{為一銳角銳角銳角。 銳角} (2)若cosθ =0_，則θ = 90°_，即θ _{為一直角直角直角直角。}

(3)若cosθ <0_，則90°<θ <180°_，即θ _{為一鈍角鈍角鈍角鈍角。}

【例題 3】 ABC∆ 如下圖，試解此三角形(求所有邊與角的大小)。

解：

30° A

B

C

2 1 + 3

【類題 3】 ABC∆ 中，若a=2 3，b= 6，∠C=105°，試解此三角形。

[c=3+ 3,∠A=45°,∠B=30°] 解：

【例題 4】 ABC∆ 中，AB=15，BC=20，AC =10，AD 平分 A∠ 交BC於 D，求 AD、BD 與DC。 解：

【類題 4】三角形三邊長分別為x² +x+1,x²−1,2x+1，試求其最大角。[120 ] ° 解：

θ θ A

B D C

15 10

20

三、平行四邊形定理

1. 平行四邊形定理平行四邊形定理平行四邊形定理：平行四邊形定理：：：【【【【適用時機適用時機：適用時機適用時機：：平行四邊形：平行四邊形平行四邊形】平行四邊形】】 】

平行四邊形各邊的平方和，等於對角線的平方和，即2(AB² +BC²)= AC² +BD²。

2. 三角形中線三角形中線三角形中線(Apollonius)定理三角形中線 定理定理定理：：：：【【【【適用時機適用時機：適用時機適用時機：：三角形已知一：三角形已知一三角形已知一中線三角形已知一中線中線中線】】】】 在 ABC∆ 中，若 AM 為BC邊上的中線，則 ^{2 2 2 2}

2 2AM 1BC AC

B

A + = +

【例題 5】設 ABC∆ 中，a=4,b=3,c=2，求BC邊上中線之長。[

2 10 ]

解：

【類題 5】接上例，試求 AB 邊上中線之長。[

2 46 ]

解：

C D

B A

M

C B A

M

四、面積公式

1. 面積公式面積公式面積公式面積公式：：：：

在 ABC∆ 中，若 a、b、c 分別表 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長，r 表示 ABC∆ 內切圓半徑，R 表 ABC∆ 外接圓半徑， ∆ 表示 ABC∆ 的面積，則

(1) ab C bc A casinB 2

sin 1 2 sin 1 2

1 = =

=

∆ 【【【適用時機【適用時機適用時機：適用時機：：SAS】： 】】】

(2)r ∆s

= ，其中 ( )

2

1 a b c

s= + + 表 ABC∆ 半周長半周長 【半周長半周長 【適用時機【【適用時機適用時機：適用時機：：SSS】： 】】】

(3) ∆

= 4

R abc 【適用時機：SSS】

2. 海龍海龍海龍(Heron)公式海龍 公式公式公式：：：：【適用時機【【【適用時機適用時機：適用時機：：SSS】： 】】】 ABC

∆ 中，若三 邊長分 別 為 a、b、c，則 ABC∆ 之面 積∆= s(s−a)(s−b)(s−c) _，其中

) 2(

1 a b c

s= + + 表半周長半周長半周長半周長。

【例題 6】設 ABC∆ 中三邊長為 3、5、7，試求 ABC∆ 內切圓半徑。[

2 3]

解：

【類題 6】設有甲、乙、丙三戶人家，兩兩分別相距 70、80、90 公尺，今欲在三戶之間鑿一水 井，使至每一戶之距離皆相等，試求此距離。[21 5公尺]

解：

【例題 7】設 ABC∆ 中，∠A=60°,b=3,c=4，求 A∠ 平分線之長。[

7 3 12 ]

解：

【類題 7】接上例，但 b=4,c=5，試求 A∠ 平分線之長。[

9 3 20 ]

解：

【類題 8】設△ABC 的三高分別為 AD ＝6、 BE ＝4、 CF ＝3。

(1)試證：△ABC 是一鈍角三角形。

(2)試求△ABC 的面積。[16 15

5 ] 【97.指考甲】

解：

【類題 9】設 ABC∆ 三中線長分別為 9, 12, 15，試求其面積。[72]

解：

【類題 10】如右圖所示，△ABC 中，D 為邊 BC 上一點，且 AB ＝ AC ＝5， AD ＝4， BD ＝2，

DC ＝a，則 a＝ 。[9/2] 【92.指考乙】

解：

【類題 11】如右圖所示，在△ABC 中，∠BAC 的平分線 AD 交對邊 BC 於 D；已知 BD ＝3， DC

＝6，且 AB ＝ AD ，則 cos∠BAD 之值為 。[3/4](化成最簡分數) 【94.學測】

解：

A

B C

E 15

9 F

D 12 G

【類題 12】如右圖所示，ABCD 為圓內接四邊形：若∠DBC＝30°，∠ABD＝45°， CD ＝6，

則線段 AD ＝ 。[ 72 ] 【95.學測】

解：

【類題 13】在三角形 ABC 中，若 D 點在 BC 邊上，且 AB ＝7， AC ＝13， BD ＝7， CD ＝8，

則 AD ＝ 。[7] 【95.學測】

解：

【類題 14】嘌呤是構成人體基因的重要物質，它的化學結構式主要是由一個正五邊形與一個正 六邊形構成(令它們的邊長均為 1)的平面圖形，如右圖所示：試問以下哪些選項是正確的？

(1)∠BAC＝54° (2) O 是△ABC 的外接圓圓心 (3) AB ＝ 3 (4) BC ＝2 sin 66°

[(2)(3)(4)] 【95.指考乙】

解：

【類題 15】在△ABC 中，M 為 BC 邊上之中點，若 AB ＝3， AC ＝5，且∠BAC＝120°，則 tan∠BAM＝ 。[5 3 ](化成最簡根式) 【96.學測】

解：

【類題 16】設 f (x)＝x³－6x²－x＋30，且 a，b 是方程式 f (x)＝0 的兩正根。

(1)求解三次方程式 f (x)＝0。[－2，3，5]

(2)若△ABC 中， AC ＝a， BC ＝b，∠ACB＝120°，且 D、E 是 AB 上兩點滿足 BD ＝ BC ,

AE ＝ AC ,試求△CDE 的面積。[15 3

28 ] 【96.指考甲】

解：

【類題 17】設三角形 ABC 的 AB ＝8、 AC ＝4 5 及 cos∠BAC＝ 1

5 ，則 sin∠ACB＝ 。 [4/5](化成最簡分數) 【97.指考乙】

解：

【類題 18】假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中 之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45°，

則丙、丁兩鎮間的距離約為[(1)]

(1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里 【98.學測】

解：

【類題 19】在△ABC 中， AB ＝10， AC ＝9，cos∠BAC＝3

8 。設點 P、Q 分別在邊 AB、 AC 上，

使得△APQ 之面積為△ABC 面積之一半。則 PQ 之最小可能值為何？[15/2](化成最簡分數) 【98.學測】

解：

【類題 20】四邊形 ABCD 中，AB=1,BC =5,CD=5,DA=7，且∠DAB= ∠BCD=90
，則對角

線AC長為何？[4 2 ] 【100.學 測】

解：

【類題 21】在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P、Q、R，使得 APQR 形成一平行 四邊形，如右圖所示：若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3 ，則線段 PR 的長度為 。[7]

【101.學測】

解：

【類題 22】設 A、B、C、D 為空間中四個相異點，且直線 CD 垂直平面 ABC。已知 AB ＝ BC ＝

CD ＝10，sin∠ABC＝ 4

5 ，且∠ABC 為銳角，則 AD ＝__________。[6 5 ](化成最簡根式) 【102.指考甲】

解：

【類題 24】在_△ABC 中，已知∠A＝20°、 AB ＝5、 BC ＝4。請選出正確的選項：[(2)(5)]

(1) 可 以 確 定 ∠B 的 餘 弦 值 (2) 可 以 確 定 ∠C 的 正 弦 值

(3) 可 以 確 定△ABC 的 面 積 (4) 可 以 確 定△ABC 的 內 切 圓 半 徑

(5) 可 以 確 定△ABC 的 外 接 圓 半 徑 【105.學測】

解：

【類題 23】在 ( 凸 ) 四邊形 ABCD 中，已知 AB ＝3， BC ＝4， CD ＝3， DA ＝x，且對角線 AC

＝4。請選出正確的選項：[(4)(5)]

(1) cos∠ABC ≥ 3

7 (2) cos∠BAD＞cos∠ABC (3) x 可能為 1 (4) x＜ 13 2 (5) 若 A、B、C、D 四點共圓，則 x＝ 7

4 【103.指考甲】

解：

2 4

90°

2

2 _105°

6+ 2

E D

A C

B

【類題 25】最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形ABCDE，其示意圖如下。關 於這五邊形，請選出正確的選項。[(1)(4)]

(1) AD =2 2 (2) ∠DAB=45° (3) BD =2 6 (4) ∠ABD=45° (5) ∆BCD的面積為 2 2 【106.學測】

解：

【類題 26】如 右 圖 所 示（ 只 是 示 意 圖 ）， 將 梯 子 AB靠 在 與 地 面 垂 直 的 牆 AC_{上 ， 測 得 與} 水 平 地 面 的 夾 角 ^∠ABC為^60°。 將 在 地 面 上 的 底 ^B沿 著 地 面 向 外 拉51_{公 分 到 點} F（ 即

51

FB = 公 分 ）， 此 時 梯 子 EF與 地 面 的 夾 角 ^∠EFC之 正 弦 值 為 ^{sin∠EFC =0.6}， 則 梯 子 長 AB =？ (公 分 )。[170] 【107.學測】

解：

【類題 27】設 A , B , C , D 為圓上的相異四點。已知圓的半徑為7 2 　　

　　， AB ＝5，兩線段AC與 BD 互相垂直，如下示意圖(非依實際比例)。求CD長度。(化最簡根式)[2 6 ] 【107.指考甲】

解：

【類題 28】如 下 示 意 圖，在 ∆ABC中，AD交 BC於 D點，BE交 AD於 E點，且 ∠ACB=30°， EDB 60

∠ = °，∠AEB=120°。 若 CD =15， ED =7， 則 AB =？ [13] 【108.學測】

解：

A

B

D

C

E 120∘ 60∘

30∘ 7

15

【類題 29】平面上有一箏形ABCD，其中AB=BC= 2_，AD=CD=2_，∠BAD=135°_。則

AC = 。（化為最簡根式）[ 2 10

5 ] 【109.學測】

解：