3.4 3.4 空间直线空间直线

3.4

3.4 空间直线 空间直线

一、点向式方程 一、点向式方程 二、参数式方程 二、参数式方程 三、一般式方程 三、一般式方程

四、直线与直线的位置关系 四、直线与直线的位置关系 五、直线与平面的位置关系 五、直线与平面的位置关系

x y z

o

方向向量的定义：

s ^L

), ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M

M



, L M 



), , ,

(x y z M

s M

M 

0

//

), ,

,

(m n p

s  M₀M  (x  x₀, y  y₀, z  z₀)

一、点向式方程

3.4

如果一非零向量 平行于 一条已知直线 L ，向量 称 为直线 L 的方向向量．

s

s

p z z

n y y

m x

x 

 

 

直线的点向式方程 直线的一组方向数

方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦 .

例 1 求过空间两点 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) 的直 线方程 .

解 s = AB = (x2 - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁), . :

1 2

1 1

2

1 1

2

1

z z

z z

y y

y y

x x

x l x



 



 





例 2 1.

0 2 2

:  3     y z

l x

说明：

), 1 , 0 , 2 ( )

1

( s 

, 0 2

) 2

( y   即， l 在平面 y =2 上 .

例 3 一直线过点 A(2,-3,4)，且和 y 轴垂直相 交，求其方程.

解 _{因为直线和}

y

所以交点为 B

( 0 ,

3 , 0 ),

s   BA

所求直线方程

.

4 4 0

3 2

2 

 

  y z

x

= （ 2 ， 0 ， 4 ）

二、参数式方程

p t z z

n y y

m x

x 

 

 



设直线 l 的方程

则

 

 















pt z

z

nt y

y

mt x

x

0 0 0

上式称为直线 l 的参数方程， t 称为参数，不

例 4 设 l 过 M(3, 4, -

4), s l s

是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是

为 2

, , . 3 4 3

  

求 l 的方程 .

解 1 2 1

(cos , cos , cos ) ( , , ).

2 2 2

es      

取 s  (1, 2, 1).

0

0 0

: 2 .

x x t

l y y t

z z t

 



 

  



例5求过点M

( 2 , 1 , 3 )

1 2

1 3

1

 

 

 y z

x

相交的直线方程.

解 先作一过点 M 且与已知直线垂直的平面 

0

) 3 (

) 1 (

2 )

2 (

3

x y z  t

 

 



1 2

1 3

1

1 3





















t z

t y

t x

代入平面方程得 ,

7

 3

t

)

7 , 3 7 , 13 7

( 2  N

取所求直线的方向向量为 MN

MN ³⁾

7 , 3 7 1

,13 7 2

(2    

 ),

7 , 24 7 ,6 7

(12 



所求直线方程为 .

4 3 1

1 2

2 

 

 

 y z

x

x

y z

o

1

2

空间直线可看成两平面的交线．

0

:

1

   

 A x B y C z D

0

:

2

   

 A x B y C z D

 



















0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

A

空间直线的一般式方程

L

三、一般式方程

例 6 用点向式方程及参数方程表示直线

0 . 4

3 2

0 1

 



















z y

x

z y

x

解一 在直线上任取一点 M₀

( x

, y

, z

)

取

x

 1 ,

0 6

3

0 2

0 0

0 0

 













 

z y

z y

解得

y

 0 , z

  2

M₀ 点的坐标

( 1 , 0 ,

2 ),

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取

s   n 

 n 

点向式方程

,

3 2 1

0 4

1



 



 

 y z

x

参数方程

.

3 2

4 1



 

















t z

t y

t

x

解二 由解法一已得直线上点 M₀ 的坐标 (1,0,-2) ,

取 x₁ =0, 则



















0 4

3

0 1

1 1

1 1

z y

z y

4, , 5

4 1

1

1  z  

解得 y )

4 , 5 4 ,1 0

1的坐标( 

得点M

4), ,3 4 ,1 1

1 (

0M  

M

取直线的方向向量为 =(4,-1,-3),^s

得直线方程为 ,

3 2 1

0 4

1



 



 

 y z

x

解三 由直线方程





















) 2 ( 0

4 3

2

) 1 ( 0

1 z y

x

z y

x

(1)+(2): 3x + 4z + 5 =0 (1)2-(2): 3y - z - 2 = 0

4 ,

5 3 

  x z

z = 3y - 2 1,

1 2 3

4

5

3x   y   z

 即 . （3）

3 1

4

32

53 y z

x  

 

方程 (3) 的方向向量 (-4,1,3) 与 (4,-1,-3) 平行，

且点 ) 0 3, , 2 3

( 在解法一、二所确定的直线上，故方5 程

(3) 与解法一、二所得的方程表示的为同一直线 .

解四 ( 用高斯消元法——行初等变换 ) 1 0

2 3 4 0

x y z

x y z

   

    



1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 4 0 3 1 2

A      

         

1 4 0 1 0 3 1 2

 

     1 4

2 3

x y

z y

  

   

参数式：

1 4

. 2 3

x t

y t

z t

  

 

   



点向式： 1 2

x  y z  .

 

例 7 确定直线 l 外一点 M₀(x₀, y₀, z₀) 到 l 的距 离 .设 M₁(x₁, y₁, z₁) 是直线 l 上任意一确定的点，

M 是 l 上另一点，且 M₁M = s = (m, n, p),

则直线 l 的方程为 ^{1 1 1} , p

z z

n y y

m x

x     

如图所示平行四边形面积

S = ||M₁M₀  M₁M || = ||s  M₁M₀|| = d ||s ||

||.

|| s M₁M₀ d    

d M₁ M

M₀

l



例 8 求点 M₀(1,2,1) 到直线

















0 2

: 0

z y

x

y l x

的距离 .

解 取 z =0, 得 x =1, y =1, M₁(1,-1,0) l.

1 1

1

0 1

1





k j

i s

 



  i  j  2k,

M₁M₀ = (0,3,1).

|| .

||

||

|| _{1 0} s

M M

d  s      35.

直线

L

: ,

1 1 1

1 1

1

p z z

n y y

m x

x     

直线

L

: ,

2 2 2

2 2

2

p z z

n y y

m x

x     

1 2 1 2 1 2

1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

| |

cos , m m n n p p

L L m n p m n p

 

 

     由此公式可计算两条直线的夹角 .

1. 两直线的夹角

四 . 直线与直线的位置关系

两直线 L₁ 与 L₂ 的方向向量 与 的夹角（通常指 锐角）称为 L₁ 与 L₂ 的夹角，记为 < L₁, L₂ >.

s1 s₂

2.

：

2

)

1

( L  L  m

m

 n

n

 p

p

 0 ,

2

)

2

( L // L ^,

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  



直线

L

:

直线

L

:

), 0 , 4 , 1

1  (  s

), 1 , 0 , 0

2  ( s

,

2

0

1

 s  s  

  s  

s 

,

例如，

2 .

1 L

L  即

例 9 求 过 点

(

3 , 2 , 5 )

x  z 4  3

1

5

2

解 设所求直线的方向向量为 ^{s  (m, n, p),} 根据题意知

s   n

, s   n

,

取

s   n 

 n 

1 . 5 3

2 4

3 

 

  y z

所求直线的方程

x

例 10 判直线 ¹

2

: 4

:

l x y z

l x y z

  

   的位置关系？

解 ①

②

1 (1, 1, 1), 2 ( 1, 1, 1)

s  s  

 

1 // ,2

s s

 

1 // ,2

l l

1(0,0,4) 1,

M l M₂(0,0,0) l₂,

1 2 1 2

0 0 4

[ , , ] 1 1 1 8 0 1 1 1

M M s s



   



  

1 2

l l

 与 异面

直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．



,

:

p z z

n y y

m x

L x 

 

 

, 0

:

 Ax By Cz D

), ,

,

(m n p s 

), ,

,

(A B C n 



 _



 s ,n 2

 _



 s ,n 2

五、直线与平面的位置关系



 

0 .

2



1 、直线与平面的夹角

2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



直线与平面的夹角公式 2. 直线与平面的位置关系：



 L

)

1

( .

p C n

B m

A  



 L

) 2

( //

^{0 .}

 

cos 

 2





  cos 

sin 2



例 11 设 直 线 L

:

2 1 1

2

1  

 

 y z

x

 :

2

3

2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



9 6

| 2 2

) 1 ( ) 1 ( 2

1

|















  .

6 3

 7

6 3 arcsin 7



  _{为所求夹角．}

解 ^{s  (1, 2,2), n  (1,4, 1),} 例 12 判 l : 1 2

1 2 2

x   y   z

 与 π: x + 4y – z –1 = 0 的位置关系 . 若相交，则求出交点与夹角 .

9 0, s n    

所以 l 与 π 相交 . 1

: 2 2 . 2

x t

l y t

z t

  

   

 



代入 π, 得 8 t   9 所以 l 与 π 交

点

1 2 16 ( , , )

9  9 9

| | arcsin

|| |||| ||

n s n s

 ^

 

 

  |1 8 2 | 1

arcsin arcsin

18 9 2 4



    

例 13 直线 l 过点 M(2,5,-2) 且与直线



















0 4

3

0 4

: 2

1 x y z

z y

l x

垂直相交，求 l 的方程 .

解 只需求出交点 N 的坐标即可 过 M 作平面.  _{与 l1 垂直}

，  _{与 l1 的交点即 N.}

l₁ 的方向向量

1 4

3

2 1

1  1 

k j

i s

 



  9i  5j  7k.

 ^{N }

M l

l₁

过 M(2,5,-2) 且与 l 垂直的平面

: -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.

9x - 5y - 7z - 7 = 0.

将直线 l₁ 与的方程联立：





























0 7

7 9

0 4

3

0 4

2

z y

x

z y

x

z y

x

解得： x =1, y = -1, z =1.

这就是 l₁ 与 的交点 N 的坐标 (1,-1,1).

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 A

 

 

   

直线 l 的方向向量

s = MN = (-1,-6,3).

l 的方程

3 . 2 6

5 1

2  



 



 y z

x

3. 平面束

设直线 l 的方程是

 



















0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

A

(2) 除方程 (2) 所表示的平面外，经过直线 l 的所有 平面都可由下式表示：

) 3 ( 0 )

( _{2 2 2 2}

1 1

1

1x  B y  C z  D  A x  B y  C z  D 

A 

经过直线 l 的平面全体称为过 l 的平面束 . 方程 (3) 称为过直线 l 的平面束方程 .

例 14 求直线

3 2 1

5 4

: 4  



 

 y z

l x 在平面

 ： 2x + 2y + z -11=0 上的投影直线 .

过直线 l 作一平面解 1 _’与 垂直，则

_’与 的交线 l’ 就是 l 在 上的投影 .

将 l 的方程改写为一般式

















0 17

3

0 24

4 z y

y x

过 l 的平面束方程为

x + 4y - 24 +  (3y + z -17) = 0 即

x + (4 + 3  ) y +  z - (24 + 17) = 0 其法向量为

n’ =(1, 4 + 3  , ),

由_’ 可得

0 10

7 1

) 3 4

( 2 1

2

'        

 n   

n 

7 ，

10

 

_{’ 的方程为}

， 0 7 )

24 170 7 (

) 10 7

4 30

(     

 y z

x

即 7x - 2 y - 10z + 2 = 0

直线 l 在 上的投影为

7  2 10  2  0

:' x y z

l

解 2 作过 l 且与 垂直的 ’ ^. 则 l 上的点 M(4, 5, 2)

 ’ 上 .在

取 ' 4 1 3 ( 7,2,10) 2 2 1

i j k

n   s n   

  

  

' : 7(x 4) 2(y 5) 10(z 2) 0



       

即 7x  2y 10z  2 0 所以 l 在 _{上的投影直线}

为 

















0 11

2 2

0 2

10 2

:' 7

z y

x

z y

l x