一阶线性微分方程第四节

(1)

一阶线性微分方程第四节

一、一阶线性微分方程

二、伯努利方程

(2)

一、一阶线性微分方程

一阶线性微分方程标准形式 :

( ) ( ) d

d P x y Q x x

y  

若 Q(x)  0,

0 )

d (

d  P x y  x

y

若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程

分离变量

P x x y

y ( )d d  

两边积分得

ln y  



P(x)dx  ln C

故通解为

y  C e^^ ^P⁽^x⁾^d^x

称为齐次方程 ;

(3)

对应齐次方程通解

y  C e^^^P⁽^x⁾^d^x

齐次方程通解非齐次方程特解



 P x x

Ce ⁽ ⁾^d

2. 解非齐次方程

( ) ( ) d

d P x y Q x x

y  

用常数变易法 :

y(x)  u(x)e^^ ^P⁽^x⁾^d ^x,

^则



e ^P ^x ^x

u ⁽ ⁾^d  P(x) u e^^ ^P⁽^x⁾^d ^x  Q(x)

故原方程的通解

x e

x Q

e^^^P⁽^x⁾^d ^x



( ) ^^P⁽^x⁾^d ^xd





 

 ^e^^



^Q ^x ^e^ ^x ^C

y ^P⁽^x⁾^d ^x ( ) ^P⁽^x⁾^d ^x d



即

y

即

作变换



 P(x)u e ^P⁽^x⁾^d ^x

 Q x e ^P ^x ^x x

u ( )d

) d (

d

C x

e x Q

u 



⁽ ⁾ ^ ^P⁽^x⁾^d ^x ^d 

两端积分得

(4)

例 1. 解方程

( 1) . 1

2 d

d   ⁵₂

  x

x y x

y

解 : 先解

0 , 1

2 d

d 

  x

y x

y

即

1 d 2 d

  x

x y

y

积分得

ln y  2ln x 1  ln C ,

_即

y  C(x 1)²

用常数变易法求特解 . 令

y  u (x) (x 1)²,

则

) 1 (

2 )

1

(  ²   



  u x u x

y

代入非齐次方程得

u  (x 1) ¹²

解得

u  (x 1)³²  C 3

2

故原方程通解为

  





 x x C

y ² ( 1)³² 3

) 2 1 (

(5)

例 2. 求方程 xy

^/

 y  x

²

 3 x  2 的通解 .

(6)

) ( )

d (

d P x y Q x x

y  

例 3. 求方

程

_x _x _y

y

 1 d

d

的通解 .

(7)

内容小结

1. 一阶线性方程

( ) ( ) d

d P x y Q x x

y  

方法 1 先解齐次方程 , 再用常数变易法 . 方法 2 用通解公

式

^y ^ ^e^^ ^P⁽^x⁾^d^x

 

^Q⁽^x⁾^e^ ^P⁽^x⁾^d^x ^d^x ^ ^C



1 n, y

u  ^

令

^{化为线性方程求解 .} 2. 伯努利方程

P x y Q x yⁿ

x

y ( ) ( )

d

d   ( n  0,1)

(8)

思考与练习

判别下列方程类型 :

x y y

x x y

x y

d d d

) d 1

(  

) ln d (ln

) d 2

( y y x

x

x y  

0 d

2 d

) (

) 3

( y  x³ x  x y  0 d

) (

d 2

) 4

( y x  y³  x y 

提示 :

x y x

y

y d

1d 

 _可分离

变量方程

x y x

y x

y ln

d d ^齐次方程

2 2

1 d

d x²

x y x

y    ^线性方程

2 2

1 d

d y²

y x y

x    ^线性方程

一阶线性微分方程 第四节