《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的 位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 　　2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆 的切线，会过圆上一点画圆的切线； 　　3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 　　4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积 、 圆锥的侧面积及全面积； 　　5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的 表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 　　　　　　　 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角

1

．圆的定义

　　(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可 ； 　②圆是一条封闭曲线.

2

．圆的性质

　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形 ， 对称中心是圆心.

　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等， 那么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在 这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分 的弦不能是直径）

3

．两圆的性质

　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.

4

．与圆有关的角

　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系

1

．判定一个点 P 是否在⊙O 上

　　设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有

　　 点 P 在⊙O 外；　 点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系； 知道数量关系也可以确定位置关系.

2

．判定几个点

A

1

、、

A

2



A

n

在同一个圆上的方法

　　当 时， 在⊙O 上.

3

．直线和圆的位置关系

　　设⊙O 半径为 R，点 O 到直线 的距离为 . 　　(1)直线 和⊙O 没有公共点 直线和圆相离 .

4

．切线的判定、性质

　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角.

5

．圆和圆的位置关系

　　设 的半径为 ，圆心距 . 　　(1) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离 　　 　 . 　　(2) 和 没有公共点，且 的每一个点都在 内部 内含 　　(3) 和 有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 外切 . 　　(4) 和 有唯一公共点，除这个点外， 的每个点都在 内部 内切 . 　　(5) 和 有两个公共点 相交 . 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1

．三角形的内心、外心、重心、垂心

　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它 到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三 角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个 顶点的距离相等，通常用 O 表示. 　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用 G 表示. 　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即 (S为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质

外心(三角形外 接圆的圆心) 三角形三边中垂线的 交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心 不一定在三角形内部 内心(三角形内 切圆的圆心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC 分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.

2

．圆内接四边形和外切四边形

　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 要点四、圆中有关计算

1

．圆中有关计算

　　圆的面积公式： ，周长 . 　　圆心角为 、半径为 R 的弧长 . 　　圆心角为 ，半径为 R，弧长为 的扇形的面积 . 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全 面积为 . 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 . 要点诠释： 　 　 (1) 对 于 扇 形 面 积 公 式 ， 关 键 要 理 解 圆 心 角 是 1° 的 扇 形 面 积 是 圆 面 积 的 ， 即 ； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个 量就可以求出第三个量.

　　(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有 点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系： . 【典型例题】 类型一、圆的基础知识 1. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆， ∠AOB=45°,点

P

在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行（或重合） 的直线与⊙O 有公共点, 设 OP=x，则

x

的取值范围是（ ）. A． － 1≤

x

≤1 B．



2

≤

x

≤

2

C ． 0≤

x

≤

₂

D．

x

＞

2

【答案】B； 【解析】如图，平移过 P 点的直线到 P′，使其与⊙O 相切，设切点为 Q，连接 OQ， 由切线的性质，得∠OQP′=90°， ∵OA∥P′Q， ∴∠OP′Q=∠AOB=45°， ∴△OQP′为等腰直角三角形， 在 Rt△OQP′中，OQ=1， OP′=

₂

， ∴当过点 P 且与 OA 平行的直线与⊙O 有公共点时，0≤OP≤ ，

当点 P 在 x 轴负半轴即点 P 向左侧移动时，结果为

- 2

≤OP≤0． 故答案为：

- 2

≤OP≤

2

． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此 时 OP 的值． 举一反三： 【变式】如图，已知⊙O 是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB=45°，点 P 在数轴上运动， 若过点 P 且与 OB 平行的直线于⊙O 有公共点，设 P（x，0），则 x 的取值范围是（　　）. A．-1≤x＜0 或 0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-

₂

≤x＜0 或 0＜x≤

₂

D．x＞1 【答案】∵⊙O 是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB=45°， ∴过点 P′且与 OB 平行的直线与⊙O 相切时，假设切点为 D， ∴OD=DP′=1， OP′=

₂

， ∴0＜OP≤

2

， 同理可得，当 OP 与 x 轴负半轴相交时， -

₂

≤OP＜0，

∴-

₂

≤OP＜0，或 0＜OP≤

2

． 故选 C．

类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理

2．如图所示，已知在⊙ O 中，AB 是⊙O 的直径，弦 CG⊥AB 于 D，F 是⊙O 上的点，且





CF CB



，BF 交 CG 于点 E，求证：CE＝BE． 【答案与解析】 证法一：如图(1)，连接 BC， ∵ AB是⊙O 的直径，弦 CG⊥AB，∴

_{CB GB}



_



． ∵

_CF



_

_BC



，∴

_{CF GB}



_



．∴ ∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE． 证法二：如图(2)，作 ON⊥BF，垂足为 N，连接 OE． ∵ AB是⊙O 的直径，且 AB⊥CG，∴

_{CB BG}



_



． ∵

_{CB CF}



_



，∴

_CF



_

_{BC BG}



_



．∴ BF＝CG，ON＝OD． ∵ ∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD， ∴ △ONE≌△ODE，∴ NE＝DE． ∵

1

2

BN



BF

，

1

2

CD



CG

， ∴ BN＝CD，∴ BN-EN＝CD-ED，∴ BE＝CE． 证法三：如图(3)，连接 OC 交 BF 于点 N． ∵

_CF



_



_BC

，∴ OC⊥BF． ∵ AB是⊙O 的直径，CG⊥AB， ∵

_{BG BC}



_



，

_CF



_

_{BG BC}



_



．∴

_{BF CG}



_



，

ON OD



． ∵ OC＝OB，∴ OC-ON＝OB-OD，即 CN＝BD．

又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED， ∴ △CNE≌△BDE，∴ CE＝BE． 【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解 、 一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学 习知识，使用知识的好方法． 举一反三：

【变式】如图所示，在⊙O 内有折线 OABC,其中 OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则 BC 的长为（ ） A．19 B．16 C．18 D．20

【答案】如图，延长 AO 交 BC 于点 D,过 O 作 OE⊥BC 于 E.

则三角形 ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4 在 Rt△ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则 DE=

1

2

OD=2，BE=BD-DE=10 OE垂直平分 BC，BC=2BE=20. 故选 D 类型三、与圆有关的位置关系 3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的 20 支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成 三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为 0.75cm，长约为 8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖 ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）； （ 2 ） 制 作 这 样 一 个 烟 盒 至 少 需 要 多 少 面 积 的 纸 张 （ 不 计 重 叠 粘 合 的 部 分 ， 计 算 结 果 精确到0.1cm， 3取1 73. ）.

【答案与解析】 （1）如图（2），作 O1E⊥O2O3

2

3 3 3

3 3 3

 

8

4

4

AB



cm



 

 

∴四边形 ABCD 的面积是： （2）制作一个烟盒至少需要纸张： . 【点评】四边形 ABCD 中，AD 长为 7 支香烟的直径之和，易求；求 AB 长，只要计算出如图（2）中 的 O1E长即可. 类型四、圆中有关的计算

4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径， = ，连接 ED、BD，延长 AE 交 BD 的延长线于 点 M，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 C． （1）若 OA=CD=2 ，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM． 【答案与解析】 解：如图，连接 OD， CD ∵ 是⊙O 切线， OD CD ∴ ⊥ ， OA=CD=2 ∵ ，OA=OD， OD=CD=2 ∴ ，

OCD ∴△ 为等腰直角三角形， DOC= C=45° ∴∠ ∠ ， S ∴ 阴影=S△OCD﹣S扇 OBD= ﹣ =4 π﹣ ； （2）证明：如图，连接 AD， AB ∵ 是⊙O 直径， ADB= ADM=90° ∴∠ ∠ ， 又∵ = ， ED=BD ∴ ，∠MAD= BAD∠ ， 在△AMD 和△ABD 中， ， AMD ABD ∴△ ≌△ ， DM=BD ∴ ， DE=DM ∴ ． 【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇 形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法． 举一反三：

【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO AB⊥ ，垂足为点 O，连接 AF并延长交⊙O 于点 D，连接 OD 交 BC 于点 E，∠B=30°，FO=2 ． （1）求 AC 的长度； （2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号） 【答案】解：（1）∵OF AB⊥ ， BOF=90° ∴∠ ， B=30° ∵∠ ，FO=2 ， OB=6 ∴ ，AB=2OB=12， 又∵AB 为⊙O 的直径， ACB=90° ∴∠ ， AC= ∴ AB=6； （2）∵由（1）可知，AB=12， AO=6 ∴ ，即 AC=AO， 在 Rt ACF△ 和 Rt AOF△ 中，

FAO= FAC=30° ∴∠ ∠ ， DOB=60° ∴∠ ， 过点 D 作 DG AB⊥ 于点 G， OD=6 ∵ ，∴DG=3 ， S

∴ △ACF+S△OFD=S△AOD= ×6×3 =9 ， 即阴影部分的面积是 9 ． 类型五、圆与其他知识的综合运用 5． . 【答案与解析】 延长 DB 至点 E，使 BE＝DC，连结 AE ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC ∴∠ADB＝∠ACB＝60° ∵四边形 ABDC 是圆内接四边形 ∴∠ABE＝∠ACD 在△AEB 和△ADC 中， ∴△AEB≌△ADC ∴AE＝AD ∵∠ADB＝60° ∴△AED是等边三角形 ∴AD＝DE＝DB＋BE ∵BE＝DC ∴DB＋DC＝DA.

【点评】由已知条件，等边△ABC 可得 60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方 法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段 DC. 本例也可以用其他方法证明.如： （1）延长 DC 至 F，使 CF＝BD，连结 AF，再证△ACF≌△ABD，得出 AD＝DF，从而 DB＋CD ＝DA. （2）在 DA 上截取 DG＝DC，连结 CG，再证△BDC≌△AGC，得出 BD＝AG，从而 DB＋CD＝ DA. 6．如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B′，则图中阴影部分 的面积是（ ）. A. 3 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B； 【解析】阴影部分的面积 =以 AB′为直径的半圆的面积+扇形 ABB′的面积-以 AB 为直径的半圆的面积 =扇形 ABB′的面积． 则阴影部分的面积是： =6π 故选 B． 【点评】根据阴影部分的面积=以 AB′为直径的半圆的面积+扇形 ABB′的面积-以 AB 为直径的半圆的 面积=扇形 ABB′的面积．即可求解．

【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜 边长为 12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为 ( ). 　　　　　　　 　　A. 　　　B.72 　　　C.36 　　　D.72 【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等. 　　　　但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知， 　　　　阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得， 　　　　所以由已知得直角边为 ，小半圆半径为 (cm)， 因此阴影部分面积为 . 故选 C.