一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
第四节空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线 ,其一般方程为方程组
0 )
, , (
0 )
, , (
z y x G
z y x
F S
2L
F(x, y, z) 00 )
, ,
(x y z
G 1
S
例如 , 方程组
6 3
2
2
1
2
z x
y x
表示圆柱面与平面的交线 C.
x z
y o 1
2 C
又如 , 方程组
表示上半球面与圆柱面的交线 C.
2
0
2
2 2
2
x a y
x
y x
a z
y x
z
o a
z
x y
o
二、空间曲线的参数方程
将曲线 C 上的动点坐标 x, y, z 表示成参数 t 的函数 : 称它为空间曲线的
参数方程 .
)
(t x x
例如 , 圆柱螺旋线
t , b v 令
b
z
a y
a x
sin cos
, 2 时
当 h 2 b t
a
x cos t a
y sin
t v z
的参数方程为
上升高度 , 称为螺 距 .
) (t y y
) (t z z
M
例 1. 将下列曲线化为参数方程表 示 :
6 3
2 ) 1 1
(
2 2z x
y x
) 0
2
(
2 22 2 2x a y
x
y x
a z
解 : (1) 根据第一方程引入参数 ,
t
x cos t y sin
) cos 2
6
3
(
1
t
z
(2) 将第二方程变形为
( x
2a)
2 y
2
a42,
故所求为 得所求为t x
a2
a2cos
t y
a2sin
t a
z
21
21cos
) 2 0
( t
) 2 0
( t
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面
则 C 在 xoy 面上的投影曲线 C´
为
消去 x 得 C 在 yoz 面上的投影曲线方 程
消去 y 得 C 在 zox 面上的投影曲线方 程
0 )
, , (
0 )
, , (
z y x G
z y x F , 0 )
,
( x y H
0
0 )
, (
z y x H
0 0 )
, (
x z y R
0 0 )
, (
y z x T
z
y
x
C
C
z
y
x
C o 1
例如 ,
在 xoy 面上的投影曲线方程为
0
0 2
2
22
z
y y
x
1 )
1 (
) 1 (
:
2 2 22 21
2z
y x
z y
C x
z
x o y C
1
又如 ,
所围的立体在 xoy 面上的投影区域 为 :
上半球面
z 4 x
2 y
2 和锥面z 3 ( x
2 y
2)
0
2
1
2
z y
在 xoy 面上的投影曲线x
) (
3
: 4
22 22y x
z
y x
C z
二者交线. 0 ,
2
1
2
y z
所围圆域 :x
二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
内容小结
• 空间曲线 三元方程组 或参数方程
• 求投影曲 线
( 如 , 圆柱螺 线 )
思考与练习
P51 题 1 ， 2 ， 7 （展示空间图 形）
P51 题 1
(2)
o
z
y
x
1 o
2
1 x
2
(1)y
2
4 x
2y
z
0
x y
x z
o y
2
答案 :
(3)
z
x
y oo
a
o a
2 2
2
z a
x
2 2
2
y a
x
P51 题 2 (1)
o
z
y 1
5
x y
3
x y
1 5
x y
3
x
y
y z
x 2
3
思考 :
对平面 y b
交线情况如何 ?
,
3 时 当 b
交线情况如何 ?
,
3 时 当 b
P
51 题 2(2)9 1 4
2 2
y x
3
y
P51 题 7
0
2 2
z
ax y
x
0
) 0 ,
0
2
(
2 2
y
z x
a z
x y
x z
o a
y x
z
o a
2
2
y
x
z
1
2 2
z y
x
y x
z
2
1
2
y x y x
0
2
1
2
z
y x
y x
Ex:
求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程 . 1
y z x
解：
旋转曲面方程为交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
y
2z
0 x
, 它与所给平面的
