4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性

4.2

4.2

一、向量组的线性组合 一、向量组的线性组合

二、向量组的线性相关性 二、向量组的线性相关性

向量组：同维数的向量所组成的集合 .

向量组与矩阵：

例如 矩阵A aij 有n个m维列向量

n

)m

( 

























a a

a a

a a

a a

a a

a a

A

mn mj

m m

n j

n j

























2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

.

, ,

,

称为矩阵 的列向量组

向量组 a1 a2  an A

a1 a2 a j an

维行向量 个

又有 矩阵

类似地, A  (aij )_mn m n



























a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

A

mn m

m

in i

i

n n

























2 1

2 1

2 22

21

1 12

11 ^T1

^T2

^Ti

^Tm

向量组 , , … ， 　称为矩阵 A 的行向量组．^T1 ^T2 ^Tm

反之，由有限个向量所组成的向量组可以

构成一个矩阵 .

一、向量组的线性组合

定义 1 若存在数 k₁, k₂, …, k_m 使得

2 ,

2 1

1 k km m

k   

   

则称向量 为向量组 _{1 ，} _{2 ，…，} _{m 的线性组} 合，或称 可由 _{1 ，} _{2 ，…，} _{m 线性表出} .

L(₁,₂, …, _m) : ₁, ₂, …, _{m 线性组合的全体 .}

例 1 零向量是任一向量组的线性组合 . .

0 0

0

0  ₁  ₂  _m

例 2 向量组 ₁, ₂, …, _{m 中任一向量都可由这个}

向量组线性表出 .

. 0

0 1

0

0 _{1 i 1 i i 1 m}

i     

   _   _ 

), ,

2 L(i j R   

), ,

,

3 L(i j k R    

k x j

x i

x x

x

x   

3 2

1 3

2

1, , )

(   

因因 例 3

. 1 0 0 ,

, 0 1 0 ,

0 0 1

), ,

, ,

(

2 1

2 1





































































 







n n

n L

R













即，任一 n 维向量均可由₁,₂,,ⁿ 线性表出 . .

) ,

, ,

(x₁ x₂  x_n  x₁₁  x₂₂  x_n_n

设 ₁, ₂, …, _m Rⁿ, 则 L(₁,₂, …, _m) 为 Rⁿ 的一 个子空间——由 ₁, ₂, …, _{m 生成的子空间 .}

T

定理 1 设 A =(₁, ₂, …, _n), 则下列命题等价

：1^o bL(₁, ₂, …, _n);

2^o AX = b 有解 ; ).

( )

(

3⁰ R A  R A 证

有数 x₁, x₂, …, x_n 使

得 ^x1^{1  x2}^{2 }_^{ xn}^{n  b,} ,

) ,

, ,

( ²

1

2

1 b

x x x

n

n 





















  



 ² .

1

























xn

x x X

b

AX 因因 

bL(₁, ₂, …, _n) 1^o 2^o ：

设 R(A) = r, 2^o 3^o ：

), ,

(

0

1 1 1

1 11

d B O

d d c

c

d c

c c

A

r r rn

rs

n s































 





















行初等变换

AX = b 与 BX = d 同解 . 所以 AX = b 有解

 d_r+1 = 0

 R(B, d) = R(B) = r  ^{R(A)  R(A).}

例 1 将 = (1,0,-4)^T 用 ₁ =(0,1,1)^T, ₂ =(1,0,1)^T,

₃ =(1,1,0)^T 线性表出 . 解























4 0

1 1

0 1

0 1

1 1

1 0

) , ,

,

(₁^T ₂^T ₃^T 

A 











 



0 1

0 1

1 1

1 0

4 0

1 1















 



2 1 5

0 0

1 1

1 0

4 0

1 1























25 23 25

1 0

0

0 1

0

0 0

1

2 . 5 2

3 2

5

3 2

1  



     因 因 因

定义 2 ( ): Ⅰ ₁, ₂, …,  _r , ( ): Ⅱ ₁,  ₂, …, _s ,

若组 ( ) Ⅰ 中每一个向量都可由 ( )Ⅱ 中的向量线性 表出，则称组 ( )Ⅰ 可由 ( )Ⅱ 线性表出 . 若组 ( )Ⅰ 与 组 ( )Ⅱ 可以互相线性表出，则称组 ( )Ⅰ 与组 ( )Ⅱ 等价 .

等价关系有性质：

(1) 反身性：每一向量组都与自身等价；

(2) 对称性： ( )Ⅰ 与 ( )Ⅱ 等价，则 ( )Ⅱ 与 ( )Ⅰ 等价

；

(3) 传递性： ( )Ⅰ 与 ( )Ⅱ 等价， ( )Ⅱ 与 ( )Ⅲ 等价 , 则 ( )Ⅰ 与 ( )Ⅲ 等价 .

二 . 向量组的线性相关性

定义 若存在不全为零的数 x₁, x₂, …, x_m 使得

x₁₁+ x₂₂+ …+ x_m_m = 0 (*)

则称 ₁, ₂, …, _{m 线性相关；否则，称} ₁, ₂, …,

_{m 线性无关} . 特殊情形：

(1) 一个向量_：

 线性相关   = 0 ( 线性无关   _{ 0 )}

； (2) 两个向量 ₁, _{2 ：}

 ₁, ₂ 线性相关 ( 无关 )  它们的对应分量 ( 不 ) 成 比例 .

,

2 0

2 1

1  x   x_{n n} 

x   _ 

因因

例 1 n 维单位向量组₁,₂,,ⁿ 线性无关 .

. 0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 1























































































   



 x xⁿ

x 证

. 0 0 0

2 1











































  

xn

x x

.

2 0

1  x   x_n 

x 

因因因

例 2 含有零向量的向量组线性相关 . 证 1 0 + 0₁+ …+ 0_m = 0

定理 2 设有 m 维向量组 ₁, ₂, …, _n, A =(₁, ₂, …,

_n), 则下列命题等价：

1^o ₁, ₂, …, _{n 线性相关 ;} 2^o AX = 0 有非零解 ;

. )

(

3⁰ R A  n

有不全为零的数 x₁, x₂, …, x_n

使 ^x1^{1  x2}^{2 }_^{ xn}^{n  0,}

, 0 )

, ,

,

( ²

1

2

1 





















n n

x x x

  



 ₀ ² _.

1

























x x x X

AX 因 因 因 因 

1^o 2^o ： ₁, ₂, …, _{n 线性相关} 证

设 R(A) = r, 2^o 3^o ：

AX = 0 与 BX = 0 同解 .

故， AX = 0 有非零解  r < n.

.

1 1

11

B O

c c

c c

c A

rn rs

n s



























 

 









行初等变换

BX = 0 有非零解 r < n

推论 1 设有 n 维向量组 ₁, ₂, …, _n , A =(₁, ₂, …,

_n), 则下列命题等价：

1^o ₁, ₂, …, _{n 线性相关 ;} 2^o AX = 0 有非零解 ;

3^o det A = 0.

向量个数 = 向量维数：

几何意义 :

在 R², R³ 中，  ₁, _{2 线性相关 }  ₁//₂ ( 或共 线 ).在 R³ 中， ₁, _{2 ，} _{3 线性相关 }  ₁, _{2 ，} ₃ 共面 .

推论 2 向量个数 > 向量维数 的向量组必线性相 关 .

证 设 A =(₁, ₂, …, _n) _m×n, n> m, 则 R( A) ≤ m < n,

所以  ₁^, ₂, …, _{n 线性相关 .}

在 Rⁿ 中，任 n + 1 个向量必线性相关 .

例 3 判断向量组 ₁ =(0,1,1), ₂ =(1,0,1), ₃ =(1,1,0) 的线性相关性：

解 1

, 0 2

0 1

1

1 0

1

1 1

0



 所以 ,₁, _{2 ，} _{3 线性无} 关 .

解 2





















0 1

1

1 0

1

1 1

0 )

, ,

( ₁^T ₂^T ₃^T

A   



















1 0

0

1 1

0

0 1

1

R( A) = 3, 所以， ₁, _{2 ，} _{3 线性无} 关 .

例 4 设 ₁, _{2 ，} _{3 线性无关，证}  ₁ = ₁+_{2 ，} ₂ =

₂ +₃ , ₃ = ₃+ _{1 线性无关 .}

证 设 x₁ ₁ + x₂₂ +x₃₃ = 0,

即 ^x₁ ⁽₁+₂ ) + x₂ (₂ +₃ ) + x₃ (₃+ ₁) =0.

即 ^(x₁^+x₃ ⁾ ₁ + (x₁ +x₂ ) ₂ + (x₂+ x₃) ₃ =0.

因为 ₁, _{2 ，} _{3 线性无关，所以只有}



















(*) 0

0 0

3 2

2 1

3 1

x x

x x

x x

, 0 2

1 1

0

0 1

1

1 0

1





所以 (*) 只有零解 . 故，  ,  ,  _{线性无关 .}

线性相关性的基本定理

定理 3 若 ₁, ₂, …, _{m 线性相关，则} ₁, ₂,

…, _m , _{m +1} , …, _{n 线性相关 .}

证 由 ₁, ₂ , …, _m 线性相关，知有不全为零 的数 x₁, x₂, …, x_m 使

x₁₁+ x₂₂+ …+ x_m_m = 0.

x₁₁+ x₂₂+ …+ x_m_m + 0_m+1+ …+ 0_n = 0.

x₁, x₂, …, x_m, 0, …, 0 不全为零，故 ₁ , ₂ ,…, _{n 线} 性相关 .

““ 部分相关，则整体相关部分相关，则整体相关 ^.”.”

““ 整体无关，则部分无关整体无关，则部分无关 ^.”.”

定理 4 ₁, ₂ , …, _m (m≥2) 线性相关的充要条件 是其中至少有一个向量可由其余 m - 1 个向量线性表 出 . 证 充分性 不妨设 _{1 可由}  ₂ , …, _{m 线性表出}

即有数， x₂, …, x_m 使得 1  x22  xmm^,

, 0 )

1

( ₁  x₂₂ _ x_m_m 

因 -1, x₂, …, x_m 不全为零，故 ₁ , ₂ ,…, _{m 线性相} 关 . 必要性 有不全为零的数 k₁, k₂, …, k_m 使

k₁₁+ k₂₂+ …+ k_m_m = 0.

, )

( )

(

1 2

1

1 2 m m

k k k

k  

    

因 k₁, k₂, …, k_m 不全为零，不妨设 k₁≠0 ，则

即“ ₁, ₂ , …, _m 线性无关  其中任一向量都 不能由其余向量线性表出 .”

定理 5 若 ₁, ₂ , …, _{m 线性无关，}  ₁, ₂ , …,

_m ， 线性相关，则 可由 ₁, ₂ , …, _{m 线性表出，}

且表式惟一 .

有不全为零的数 k₁, k₂, …, k_m ,k 使

k₁₁+ k₂₂+ …+ k_m_m + k  = 0.

若 k = 0 ，则

k₁₁+ k₂₂+ …+ k_m_m =

0.而 k₁, k₂, …, k_m 不全为零 , 与 ₁, ₂ , …, _{m 线性无关矛} 盾 . ( ¹) ₁ ( ²) ₂ ( ^m ) _m,

k k k

k k

k   

       所以 k ≠ 0 ，

证

下证 由 ₁, ₂ , …, _{m 线性表出的表式惟一：}

2 ,

2 1

1 k km m

k   

    设

2 ,

2 1

1 l lm m

l   

   

所以 ⁽k1  l1⁾1  ⁽k2  l2⁾2 _ ⁽k_m  l_m⁾_m  ^0, 因  ₁^, ₂ , …, _{m 线性无关，所以}

,

2 0

2 1

1  l  k  l   k_m  l_m 

k 

1 .

1 l km lm

k  因 因 

因  故表式惟一 .