传媒与信息工程学院 欧 新 宇
第07讲 向量空间
第4章 基底与坐标
⚫ 向量和向量组
⚫ 向量空间和子空间
⚫ 线性相关性
⚫ 空间的张成
⚫ 维数、基底与坐标
⚫ 构成基底的条件
⚫ 基底变换
⚫ 基底变换的实例
向量和向量组
n 维向量
【定义】：n 个有序的数a
1
,a2
,…,an
所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第 i 个数a
i
称为第i 个分量。⚫
n
维向量可以写成一行，称为n
维行向量；⚫
n
维向量也可以写成一列，称为n
维列向量。在计算机领域中，无论是行向量还是列向量，都按照矩阵 的运算规则进行运算，即：将向量转换成二阶矩阵来进行结算。
在默认情况下，如果没有指明是行向量还是列向量，都当 作列向量。
向量组的基本概念
n 维向量
在本课程中，我们统一使用黑体小写斜体字母 表示，这也是 标准表达方式。（在部分Slide或者代码中可能会使用 A，
B
，C类似
的大写英文斜体字母，这也不错，此时可以理解为这是一个张量，因为，所有的向量都可以理解为一阶张量。）
⚫ 其中 𝜶, 𝜷, 𝜸, 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒖, 𝒗, 𝒘表示列向量；
⚫ 用列向量的转置用来表示行向量，如：𝜶
𝑇
, 𝜷𝑇
, 𝒖𝑇
, 𝒗𝑇
。⚫ 假设： 𝒖 =
𝑎
1
𝑎2
𝑎…𝑛
，则有： 𝒖
𝑇
= (𝑎1
, 𝑎2
, … , 𝑎𝑛
) 其中𝒖是一个列向量， 𝒖 是一个行向量。向量组的基本概念
若干个同维数的列向量（或同维的行向量）所组成的集合 叫做向量组。
•
一个𝑚×𝑛矩阵A
=𝑎𝑖𝑗
有 𝑛 个 𝑚 维列向量： 𝒂j
=𝑎
1j
𝑎2j
𝑎…𝑚j
,
(𝑗=1,2,...,𝑛)。它们组成的向量组 𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎𝑛
称为矩阵A
的列向 量组。•
一个𝑚×𝑛矩阵A
有 𝑚 个 𝑛 维行向量：𝑎𝑖 T
= (𝑎𝑖1
,𝑎𝑖2
,...,𝑎𝑖𝑛
), (𝑖=1,2,...,𝑚)。它们所组成的向量组 𝑎1 T
, 𝑎2 T
,..., 𝑎m T
称为矩阵A
的行向量组。向量组
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
•
𝑚个𝑛维列向量所组成的向量组𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
，构成一个𝑛
×𝑚 的 矩阵：A
=(𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
) 。•
𝑚个𝑛维行向量所组成的向量组 𝒃1 T
, 𝒃2 T
,..., 𝒃m T
，构成一个𝑚
×𝑛的矩阵：B
=𝑏
1 T
𝑏2 T
… 𝑏
m T
。
向量组
课堂互动一 Link
向量空间
三维向量空间
在几何中，空间通常作为点的集合，即空间的元素是点，这 样的空间称为点空间。我们把3维向量的全体所组成的集合：
𝑅
3
={𝑟=(𝑥,𝑦,𝑧)𝑇
|𝑥,𝑦,𝑧∈𝑅} 叫做三维向量空间。在 点 空 间 取 定 坐 标 系 后 ， 空 间 中 的 点 P(x,y,z) 与 3 维 向 量 𝑟=(𝑥,𝑦,𝑧)
𝑇
之间就存在一一对应的关系。因此，向量空间可以类比 为取定了坐标系的点空间。向量的集合：𝜋={𝑟=(𝑥,𝑦,𝑧)
𝑇
|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑑} 也叫做向量空间 𝑅3
中的平面。向量空间
n 维向量空间
𝑛 维向量的全体所组成的集合：
𝑅
𝑛
={𝑥=(𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
)𝑇
|𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
∈𝑅} 叫做 𝑛 维向量空间。𝑛 维向量的集合 𝜋={𝑥=(𝑥
1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
)𝑇
|𝑎1
𝑥1
+𝑎2
𝑥2
+...+𝑎𝑛
𝑥𝑛
=𝑏} 叫 做 𝑛 维向量空间 𝑅𝑛
中的 𝑛−1 维超平面。𝑛 维向量有着广泛的实际意义。例如，为了确定飞机的飞行状 态，我们需要6个参数。表示飞机重心在空间的位置需要3个参数 x,y,z; 此外，还需要3个参数，机身的水平转角 𝜃(0≤𝜃<2𝜋)，机身 的仰角 𝜓(−𝜋2≤𝜓≤𝜋2)，以及机翼的转角 𝜙(−𝜋≤𝜙≤𝜋)。如此，6 个参数组成一个6维的向量，就可用来描述一架飞机的飞行状态。
向量空间
标准向量空间的定义
令𝑽为一定义了加法和标量乘法运算的几何空间。这意味着，对𝑽中的每一对 元素𝒙和𝒚，可唯一对应于𝑽中的一个元素𝒙+𝒚，且对每一个𝑽中的元素𝒙和每一 个标量𝑎，可唯一对应于𝑽中的元素𝑎𝒙。如果集合𝑽连同其上的加法和标量乘法 运算满足下面的公理，则称𝑽为向量空间（vector space）
• A1. 对𝑽中的任何𝒙和𝒚，𝒙 + 𝒚 = 𝒚 + 𝒙
• A2. 对𝑽中的任何𝒙,𝒚和𝒛， 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝒙 + (𝒚 + 𝒛)
• A3. 𝑽中存在一个元素0,满足对任意的𝒙 ∈ 𝑽,都有𝒙 + 𝟎 = 𝒙
• A4. 对每一𝒙 ∈ 𝑽,存在V中的元素𝒙和𝒚,满足𝒙 + −𝒙 = 𝟎
• A5. 对任意标量𝑎，及𝑽中的元素𝒙和𝒚，有𝑎 𝒙 + 𝒚 = 𝑎𝒙 + 𝑎𝒚
• A6. 对任意标量𝑎和𝑏，及𝒙 ∈ 𝑽，有 𝑎 + 𝑏 𝒙 = 𝑎𝒙 + 𝑏𝒙
• A7. 对任意标量𝑎和𝑏，及𝒙 ∈ 𝑽，有 𝑎𝑏 𝒙 = 𝑎(𝑏𝒙)
• A8. 对所有𝒙 ∈ 𝑽,有1 ∙ 𝒙 = 𝒙
向量空间
子空间
给定一个向量空间V，常常会用到在V上定义的运算意义下V的一个自己所 构成的向量空间。
【定义】若S为向量空间V的非空子集，且S满足如下条件：
1) 对任意标量𝑎，若向量𝒙 ∈ 𝐒，则𝑎𝒙 ∈ 𝐒
;
2) 若𝒙 ∈ 𝐒且𝒚 ∈ 𝐒，则𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑆.
则S称为V的子空间(subspace)。
⚫ 条件一说明，S在标量乘法意义下是封闭的，即S中的一个元素乘以一个标 量，结果仍为S中的一个元素；
⚫ 条件二说明，S在加法意义下是封闭的，即两个S中元素的和仍为S中的元素。
因此，基于空间S的全集所构建的数学系统将满足向量空间的所有公理和性 质。向量空间的任何子空间仍为向量空间。
子空间
课堂互动二 Link
线性相关性
【 定 义 】 给 定 向 量 组
A
: 𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
， 对 于 任 何 一 组 实 数 𝑘1
,𝑘2
,...,𝑘𝑚
，向量 𝑘1
𝑎1
+𝑘2
𝑎2
+...+𝑘𝑚
𝑎𝑚
称为关于向量组A
和系数 𝑘i
的线性组合，𝑘i
称为线性组的系数。⚫
给定向量组A
: 𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
和向量𝑏，如果存在一组数 𝜆1
,𝜆2
,...,𝜆𝑚
， 使 𝑏=𝜆1
𝑎1
+𝜆2
𝑎2
+...+𝜆𝑚
𝑎𝑚
，则向量 𝑏 是向量组A
的线性组合，这时称向量 𝑏 能由向量组
A
线性表示。⚫
扩展到方程组：向量 𝑏 能够由向量组 A 线性表示，也就意味着由它们构成的 方程组：𝑥
1
𝑎1 +𝑥 2
𝑎2 +...+𝑥 m
𝑎m
=𝑏 有解。线性组合
【 定 义 】 给 定 向 量
A
: 𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
， 如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 𝑘1
,𝑘2
,...,𝑘𝑚
，使得 𝑘1
𝑎1
+𝑘2
𝑎2
+...+𝑘𝑚
𝑎𝑚
=0，则称向量组A
是线性相 关的，否则称它线性无关。讨论向量组𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎m
线性相关，通常是指 𝑚≥2 的情况。⚫
当 𝑚=1 时，该定义也成立，这意味着向量组只包含一个向量⚫
当 𝑎=0 时，𝑘1
𝑎1
= 0，线性相关；⚫
当 𝑎≠0 时，𝑘1
𝑎1
≠ 0，线性无关。⚫
当 𝑚=2 时，二个向量线性相关的几何意义是两向量共线。⚫
当 𝑚=3 时，三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。线性相关性
扩展到方程组
⚫ 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就 是多余的，这时称方程组（各个方程）是线性相关的；
⚫ 当方程组中没有多余的方程，就称该方程组（各个方程）线性 无关（或线性独立）。
给定向量组
A
: 𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
构成矩阵A
: 𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
，如果向量组A
线性相关，则齐次线性方程组𝑥
1
𝑎1
+𝑥2
𝑎2
+...+𝑥m
𝑎m
=0，即𝐴𝑥=0 有非零解。
线性相关性
线性相关性
⚫ 向量组𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A
=𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎m
的秩：𝑅(𝐴) < 𝑚；⚫ 向量组线性无关的充分必要条件是： 𝑅(𝐴)=𝑚。
求矩阵的秩的方法，需要将矩阵进行初等变换。基于Python
，可以使用numpy库来实现，不需要手动求取，基本方法如下：
课堂互动三 Link
空间的张成
空间张成的定义
【定义】令𝒗
𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
为向量空间V中的向量(组)。𝑎1
𝒗𝟏
+ 𝑎2
𝒗𝟐
+ ⋯ + 𝑎𝑛
𝒗𝒏
（ 其 中 𝑎1
, 𝑎2
, … , 𝑎𝑛
为 标 量 ） 为 向 量 𝒗𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
的线 性 组 合。 向 量 𝒗𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
的所有线性组合构成的集合称为𝒗𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
的张成（span），记作：Span(𝒗
𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
)。【例1】3维空间𝑹
3
中向量𝒆1
和𝒆2
的张成为：所有形如 𝛼𝒆1
+ 𝛽𝒆2
=𝛼 𝛽 0
的向量的集合，此时Span(𝒆
1
, 𝒆2
)为𝑹
3
的一个子空间。这个子空间从几何上可表示为所 有x, y平面内3维空间的向量。不难得出结论，{𝒆
1
, 𝒆2
, 𝒆3
} 的张成为所有形如𝑎1
𝒆1
+ 𝑎1
𝒆2
+ 𝑎3
𝒆3
=𝑎
1
𝑎2
空间的张成
【定理】子空间的证明
【定理】若𝒗
𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
为向量空间V中的元素，则Span(𝒗𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
) 为V的一 个子空间。证 明 ： 要 证 明 Span( 𝒗
𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
) 为 向 量 空 间 V 的 子 空 间 ， 即 证 明 在 Span(𝒗𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
)中，标量积和向量和具有封闭性。(1) 令𝛽为一标量，并令𝒗 = 𝑎
1
𝒗𝟏
+ 𝑎2
𝒗𝟐
+ ⋯ + 𝑎𝑛
𝒗𝒏
为Span (𝒗𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
)中的 任 意 一 个 元 素 。 由 于 𝛽𝒗 = (𝛽𝑎1
)𝒗𝟏
+ (𝛽𝑎2
)𝒗𝟐
+ ⋯ + (𝛽𝑎𝑛
)𝒗𝒏
， 因 此 ， 𝛽𝒗 ∈ Span(𝒗𝟏
, 𝒗𝟐
, … , 𝒗𝒏
) 。标量积的封闭性得证。(2) 令𝒗 = 𝑎
1
𝒗𝟏
+ 𝑎2
𝒗𝟐
+ ⋯ + 𝑎𝑛
𝒗𝒏
，𝒘 = 𝑏1
𝒗𝟏
+ 𝑏2
𝒗𝟐
+ ⋯ + 𝑏𝑛
𝒗𝒏
，则：𝒗 + 𝒘 = (𝑎
1
+ 𝑏1
)𝒗𝟏
+ (𝑎2
+ 𝑏2
)𝒗𝟐
+ ⋯ + (𝑎𝑛
+ 𝑏𝑛
)𝒗𝒏
。向量和的封闭性得证。因此，Span (𝒗 𝟏 , 𝒗 𝟐 , … , 𝒗 𝒏 ) 是V的一个子空间。
空间的张成
向量空间中的向量
下面，我们讨论在三维空间中，不同数量的向量在向量空间中 的张成的形态问题。
假 设 存 在 3 个 非 零 三 维 向 量𝑢=[𝑥
𝑢,
𝑦𝑢,
𝑧𝑢
], 𝑣=[𝑥𝑣,
𝑦𝑣,
𝑧𝑣
], 𝑤=[𝑥𝑤,
𝑦𝑤,
𝑧𝑤
] 和一个三维空间𝑹3
。在默认情况下，𝑢,𝑣,𝑤 都表示空间𝑹
3
中的一个确定的点，或者 分 别 表 示 为 一 条 以 原 点 (0,0,0) 为 起 点 ，𝑢(𝑥𝑢,
𝑦𝑢,
𝑧𝑢
), 𝑣(𝑥𝑣,
𝑦𝑣,
𝑧𝑣
), 𝑤(𝑥𝑤,
𝑦𝑤,
𝑧𝑤
)为终点的有向线段。下面讨论这三个向量在空间𝑅
3
中的张成。空间的张成
一个向量的张成
第一种情况：只存在向量 𝑢 和标量 𝑎∈R，𝑎𝑢将确定空间中的一条 直线。
由于向量𝑢在x, y, z三个方向 上的坐标是固定的，因此可以 认为向量𝑢是空间中的一条固定
的有向线段，因此线性组合 𝑎𝑢
将覆盖向量𝑢所在的直线，换句 话说，𝑎𝑢将确定三维空间 𝑉3
中 一条过原点(0,0,0)的直线。空间的张成
二个向量的张成
第二种情况：存在向量 𝑢,𝑣 和标量 𝑎,𝑏∈R，𝑎𝑢+𝑏𝑣 将确定空间中 的一个平面或一条直线。
✓ 当 𝑢,𝑣 处于同一条直线上时， 𝑎𝑢+𝑏𝑣 的 所有线性组合将确定一条直线，这条直 线与 𝑢,𝑣 所在的直线重合。(等同第一种 情况)
✓ 当 𝑢,𝑣 不在同一条直线时，𝑎𝑢+𝑏𝑣 将表 示为两条过原点(0,0,0)的直线，并且相 交于原点。根据两条不共线的直线确定 一个平面的定理，不共线的向量 𝑢,𝑣 将 确定一个过原点的二维平面。
空间的张成
三个向量的张成
第三种情况：存在向量 𝑢,𝑣,𝑤 和标量 𝑎,𝑏,𝑐∈R，𝑎𝑢+𝑏𝑣+𝑐𝑤 将确 定空间中的一个平面或一条直线。
⚫ 当 𝑢,𝑣,𝑤 处于同一条直线上时，𝑎𝑢+𝑏𝑣+𝑐𝑤 的所有线性组合将确定一 条直线，这条直线与 𝑢,𝑣,𝑤 所在的直线重合。(等同第一种情况)
⚫ 当 𝑢,𝑣,𝑤 位于同一个平面时，或任意两个处于同一条直线上时，
𝑎𝑢+𝑏𝑣+𝑐𝑤 的所有线性组合将确定一个平面，这个平面与 𝑢,𝑣,𝑤 所在 的平面重合。(等同第二种情况)
⚫ 当 𝑢,𝑣,𝑤 不在同一个平面时，𝑎𝑢+𝑏𝑣+𝑐𝑤 将表征整个三维空间 𝑉
3
，也 就是说 𝑉3
中的任意一个点都可以通过 𝑎𝑢+𝑏𝑣+𝑐𝑤 的线性组合来表示。空间的张成
空间张成的例子
⚫ 第一种情况： 𝑢
1
= 11 , 𝑢
2
= 0 1向量 𝑢
1
和 𝑢2
是两个线性无关（不共线）的二维向量，它们构 成二维空间中的一组基底，因此它们张成的空间是整个二维空间。⚫ 第二种情况：𝑢
1
= 22 , 𝑢
2
= −1−1
向量 𝑢
1
和 𝑢2
存在着如下关系 𝑢1
=−2𝑢2
，即 𝑢1
,𝑢2
是线性相关 的共线向量，它们的张成空间是一条经过原点(0,0)的一条直线。张成的空间
空间张成的例子
⚫ 第三种情况：𝑢
1
= 1 1 1, 𝑢
2
=1
−1 1
向量𝑢
1
和𝑢2
是一组线性无关（不共线）的向量，但是根据向量 在空间中的特性，两个不相关的向量只能确定一个过原点的平面，因此它们张成的空间是一个经过原点(0,0,0)的平面。
张成的空间
空间张成的例子
⚫ 第四种情况：𝑢
1
= 1 1 1, 𝑢
2
=1
−1 1
, 𝑢
3
=3
−13
此处，存在三个不同的向量 𝑢
1
,𝑢2
,𝑢3
，但是我们发现它们之间 存在 𝑢3
=𝑢1
+2𝑢2
，也就是说向量𝑢3
可以用𝑢1
,𝑢2
来表征，它们之间存 在线性相关性。所以，可以说这三个向量中有一个向量是多余的。因此，对于只存在两个线性无关向量（剔出一个可被合成的向量后
）的向量空间，向量𝑢
1
,𝑢2
的张成空间是一个经过原点(0,0,0)的平面。相似地，对于向量𝑢
1
,𝑢3
，它们所张成的空间也是一个经过原点 (0,0,0) 的平面，此时𝑢2
=1/2(𝑢3
−𝑢1
) ，𝑢2
可以被向量𝑢1
,𝑢3
线性表示张成的空间
空间张成的例子
⚫ 第五种情况：𝑢
1
= 1 1 1, 𝑢
2
=1
−1 1
, 𝑢
3
=3
−1 3
向量𝑢
1
,𝑢2
,𝑢3
是三个典型的线性无关向量，它们可以组成三维 空间的一组基底，因此它们的张成空间是整个三维空间。由上面的例子，可以得到一些结论：向量的个数和维数都不是 张成空间维数及形态的决定因素，还需要与向量的线性无关性及秩 进行整体考虑。
