《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）

【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的 位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 　　2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆 的切线，会过圆上一点画圆的切线； 　　3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 　　4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积 、 圆锥的侧面积及全面积； 　　5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的 表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 　　　　　　　 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角

1

．圆的定义

　　(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可 ； 　②圆是一条封闭曲线.

2

．圆的性质

　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形 ， 对称中心是圆心.

　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等， 那么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在 这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分 的弦不能是直径）

3

．两圆的性质

　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.

4

．与圆有关的角

　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系

1

．判定一个点 P 是否在⊙O 上

　　设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有

　　 点 P 在⊙O 外；　 点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.

要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系； 知道数量关系也可以确定位置关系.

2

．判定几个点

A

1

、、

A

2



A

n

在同一个圆上的方法

　　当 时， 在⊙O 上.

3

．直线和圆的位置关系

　　设⊙O 半径为 R，点 O 到直线 的距离为 . 　　(1)直线 和⊙O 没有公共点 直线和圆相离 . 　　(2)直线 和⊙O 有唯一公共点 直线 和⊙O 相切 . 　　(3)直线 和⊙O 有两个公共点 直线 和⊙O 相交 .

4

．切线的判定、性质

　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角.

5

．圆和圆的位置关系

　　设 的半径为 ，圆心距 . 　　(1) 和 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离 　　 　 . 　　(2) 和 没有公共点，且 的每一个点都在 内部 内含 　　(3) 和 有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 外切 . 　　(4) 和 有唯一公共点，除这个点外， 的每个点都在 内部 内切 . 　　(5) 和 有两个公共点 相交 . 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1

．三角形的内心、外心、重心、垂心

　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它 到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三 角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个 顶点的距离相等，通常用 O 表示. 　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用 G 表示. 　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即 (S为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质

外心(三角形外 接圆的圆心) 三角形三边中垂线的 交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心 不一定在三角形内部 内心(三角形内 切圆的圆心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC 分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.

2

．圆内接四边形和外切四边形

　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 要点四、圆中有关计算

1

．圆中有关计算

　　圆的面积公式： ，周长 . 　　圆心角为 、半径为 R 的弧长 . 　　圆心角为 ，半径为 R，弧长为 的扇形的面积 . 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全 面积为 . 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 . 要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ， 即 ； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个 量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有 点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系： . 【典型例题】

类型一、圆的基础知识

1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则 △ABC 外接圆半径的长度为 ． 【答案】

13

； 【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为

2 4

1

2

x



 



那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，

设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA2_=PB2

即(1+1)2_+(a-3)2₌₍₁₊₂₎2_+(a+2)2

化简得 4+a2_-6a+9=9+a2_+4a+4

解得 a=0 即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 2 2

(1 1)

(0 3)

13

r



PA











【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B、C 的坐标知：圆心 P（设△ABC 的外心为 P） 必在直线 x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P（1，0）； 连接 PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．

类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理

2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝ 60°，

求 CD 的长．

【答案与解析】

作 OF⊥CD 于 F，连接 OD．∵ AE＝1，EB＝5，∴ AB＝6． ∵

3

2

AB

OA





，∴ OE＝OA-AE＝3-1＝2．

∴

1

1

2

EF



OE



，∴

_OF

_

_OE

2

_

_EF

2

_

₃

_． 在 Rt△DFO 中，OF＝

3

，OD＝OA＝3，

∴

_DF

_

_OD

2

_

_OF

2

_

₃

2

_

_{( 3)}

2

_

₆

_(cm)． ∵ OF⊥CD，∴ DF＝CF，∴ CD＝2DF＝

2 6

cm． 【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半 弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅 助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD，构造 Rt△OFD，求 CD 的长． 举一反三： 【变式】如图，AB、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M、N，如果 MN＝3，那 么 BC＝ ．

【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M、N 分别为 AB、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的 中位线，BC=2MN=6.

　

3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内 ⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．

【答案】65°.

【解析】连结 OD，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. y x O A B D C （第 3 题）

【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.

举一反三：

【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（　　） A．60° B．120° C．60°或 120° D．30°或 150° 【答案】C. 【解析】作 OD⊥AB，如图， ∵点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP≤2， ∴OD=1， ∴∠OAB=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠AEB= ∠AOB=60°， ∵∠E+∠F=180°， ∴∠F=120°， 即弦 AB 所对的圆周角的度数为 60°或 120°．故选 C．

类型三、

与圆有关的位置关系 4．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别交 于点 E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论. 【答案与解析】 直线 CE 与⊙O 相切 理由：连接 OE ∵OE=OA ∴∠OEA=∠OAE ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB ∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC

又∠DCE=∠ACB ∴∠DEC+∠DAC=90° ∵OE=OA ∴∠OEA=∠DAC ∴∠DEC+∠OEA=90° ∴∠OEC=90° ∴OE⊥EC ∴直线 CE 与⊙O 相切. 【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线． 举一反三： 【变式】如图，P 为正比例函数 图象上的一个动点， 的半径为 3，设点 P 的坐标为(x、y). 　　(1)求 与直线 相切时点 P 的坐标. 　　(2)请直接写出 与直线 相交、相离时 x 的取值范围. 【答案】(1)过 作直线 的垂线，垂足为 . 　　　　　 当点 在直线 右侧时， ，得 ， 　　　　　 (5，7.5). 　　　　　 当点 在直线 左侧时， ，得 ， 　　　　　 ( ， ). 　　　　　 当 与直线 相切时， 点 的坐标为(5，7.5)或( ， ). 　　　　 (2)当 时， 与直线 相交. 　　　　　 当 或 时， 与直线 相离.

类型四、

圆中有关的计算

5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作⊙O 的切线 DF，交 AC 于点 F．

（1）求证：DF⊥AC；

【答案与解析】 （1）证明：连接 OD， ∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC， ∵DF是⊙O 的切线， ∴DF⊥OD， ∴DF⊥AC． （2）解：连接 OE， ∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE， ∴∠AOE=90°， ∵⊙O的半径为 4， ∴S_{扇形 AOE}=4π，S△AOE=8 ， ∴S阴影=4π 8﹣ ． 【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适 当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

类型五、

圆与其他知识的综合运用 6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分， 其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，

_AB

所在圆的圆心为 O．车棚顶部用一种帆布覆盖， 求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．

【答案与解析】

连接 OB，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，交

_AB

于点 F，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是

_AB

的中点， ∴

1

2 3

2

AE



AB



，EF＝2． 设半径为 R 米，则 OE＝(R-2)m． 在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得

_R

2

_

₍

_R

_

₂₎

2

_

_{(2 3)}

2_． 解得 R＝4． ∴ OE＝2，

1

2

OE



AO

，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°． ∴

_AB

的长为

120 4

8

180

3



_





(m)． ∴ 帆布的面积为

8

60 160

3









(m 2_)． 【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉， 这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以

_AB

为底 面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出

_AB

所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求

AB

的长． 举一反三： 【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的 半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. 　　　　　　 　　①请你补全这个输水管道的圆形截面图； 　　②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为 4cm，求这个 圆形截面 的半径. 【答案】①作法略.如图所示. 　　 　②如图所示，过 O 作 OC⊥AB 于 D，交 于 C， 　　　　　 ∵ OC⊥AB，

　　　　 ∴ . 　　　　　 由题意可知，CD=4cm. 　　　　　 设半径为 x cm，则 . 　　　　　 在 Rt△BOD 中，由勾股定理得： 　　　　　 ∴ . 　　　　　 ∴ . 　　　　　 即这个圆形截面的半径为 10cm.