0, 我們有 f (n1) =−2n1− 1, f (n2

76 5. Function

有 n₁≥ 0,n2≥ 0 或 n1< 0, n₂< 0. 當 n₁≥ 0,n2≥ 0, 我們有 f (n1) = 2n₁, f (n₂) = 2n₂, 故由 f (n1) = f (n₂) 之假設得 n₁= n₂. 同理, 當 n1< 0, n₂< 0, 我們有 f (n₁) =−2n1− 1, f (n2) =

−2n2− 1, 故由 f (n1) = f (n2) 之假設得 n₁= n2. 因此得證 f 為 one-to-one.

和 onto 的情況一樣, 我們有一個不必由定義證明一個抽象函數為 one-to-one 的方法.

Theorem 5.3.9. 假設 f : X→ Y 為 function. 則 f 為 one-to-one 若且唯若存在 h : Y → X 為 function 滿足 h◦ f = idX.

Proof. (⇒) 當 f : X → Y 為 one-to-one 時, 我們要利用 f 找到一個函數 h : Y → X 滿足 h◦ f = idY. 首先由 f 為 one-to-one, 我們知道對任意 y∈ Y, #( f⁻¹({y})) ≤ 1. 因此對於任 意 y∈ Y, 若 f⁻¹({y}) = /0 我們定義 h(y) 為 X 中某一個固定元素. 而若 f⁻¹({y}) ̸= /0, 則 f⁻¹({y}) 僅有一個元素. 因此若 f⁻¹({y}) = {x} 我們便定義 h(y) = x. 依此我們便定義了一 個從 Y 到 X 的函數 h. 依此定義我們有 h◦ f : X → X 且對於任意 x ∈ X, 若 f (x) = y, 則因 x∈ f⁻¹({y}), 知 h(y) = x. 也就是說 h ◦ f (x) = h( f (x)) = h(y) = x. 得證 h ◦ f = idX.

(⇐) 現假設 h : Y → X 為 function 且滿足 h ◦ f = idX, 我們要證明 f : X → Y 為 one- to-one, 也就是說若 x1, x2∈ X 滿足 f (x1) = f (x2), 我們要證明 x₁= x2. 然而因 x1∈ X, 我 們有 x₁= id_X(x₁) = h◦ f (x1) = h( f (x₁)). 同理因 x₂∈ X, 我們有 x2= h( f (x₂)). 現由假設

f (x1) = f (x₂)∈ Y 以及 h : Y → X 為 function 知 h( f (x1)) = h( f (x₂)). 因此得證 x₁= h( f (x₁)) = h( f (x₂)) = x₂.

 Example 5.3.10. 考慮 X ={a,b}, Y = {1,2,3} 以及 f : X → Y, 定義為 f (a) = 3, f (b) = 1.

依此定義 f : X→ Y 為 one-to-one. 我們要找到 h : Y → X 使得 h ◦ f = idX. 由於要定義 從 Y 到 X 的函數, 所以每個 Y 中的元素都要定義其如何映射. 現由於 f⁻¹({2}) = /0, 我 們任取 X 中的一個元素, 比方說取 a, 因此定義 h(2) = a. 又由於 f⁻¹({1}) = {b} 所以我 們定義 h(1) = b. 而 f⁻¹({3}) = {a} 所以我們定義 h(3) = a 依此定義我們有 h : Y → X 為 一個 function 且滿足 h◦ f (a) = h( f (a)) = h(3) = a 以及 h ◦ f (b) = h( f (b)) = h(1) = b. 故得 h◦ f = idX.

Theorem 5.3.9 可以幫我們不必用 one-to-one 的定義處理有關 one-to-one 的證明. 例如 我們有以下的性質.

Proposition 5.3.11. 若 f1: X→ Y, f2: Y → Z 皆為 one-to-one function, 則 f2◦ f1: X→ Z 亦為 one-to-one.

Proof. (方法一) 我們可以用 one-to-one 的定義處理. 假設 x₁, x₂∈ X 符合 f2◦ f1(x₁) = f2◦ f1(x₂). 也就是說 f₂( f₁(x₁)) = f₂( f₁(x₂)), 然而 f₂: Y → Z 為 one-to-one, 因此知 f1(x₁) = f1(x2). 再由 f₁: X → Y 為 one-to-one, 得證 x1= x2

(方法二) 利用 Theorem 5.3.9, 要證明 f2◦ f1: X → Z 為 one-to-one, 我們僅要找到 h : Z→ X 使得 h ◦ ( f2◦ f1) = id_X 即可. 然而已知 f₁: X → Y, f2: Y → Z 皆為 one-to-one,

故由 Theorem 5.3.9 知存在 h₁: Y → X, h2: Z → Y 滿足 h1◦ f1= id_X 以及 h₂◦ f2= id_Y. 現令 h = h₁◦ h2 : Z→ X, 我們有 h ◦ ( f2◦ f1) = (h₁◦ h2)◦ ( f2◦ f1). 利用合成函數的結合 律 (Proposition 5.1.6) 以及 Lemma 5.1.5, 我們有 (h₁◦ h2)◦ ( f2◦ f1) = h1◦ (h2◦ f2)◦ f1= h₁◦ (idY◦ f1) = h₁◦ f1= id_X.得證 h◦ ( f2◦ f1) = id_X.  要注意 Proposition 5.3.11 的反向不一定成立, 也就是說 f₂◦ f1 為 one-to-one 並不表 示 f₁, f₂ 皆為 one-to-one. 例如在 Example 5.3.10 中 h :{1,2,3} → {a,b} 定義為 h(1) = b, h(2) = a, h(3) = a, 不是 one-to-one. 但 h◦ f = id_{a,b} 為 one-to-one. 不過我們有以下之結 果.

Corollary 5.3.12. 若 f1: X→ Y, f2: Y → Z 皆為 function 且 f2◦ f1: X→ Z 為 one-to-one, 則 f₁ 為 one-to-one.

Proof. 由 f2◦ f1: X → Z 為 one-to-one, 利用 Theorem 5.3.9 知存在 h : Z → X 滿足 h ◦ ( f2◦ f1) = idX. 因此利用合成函數結合律得 (h◦ f2)◦ f1= idX. 現令 h1 = h◦ f2, 我們有 h₁: Y → X 且滿足 h1◦ f1= (h◦ f2)◦ f1= id_X. 所以再次利用 Theorem 5.3.9 得證 f₁: X→ Y

為 one-to-one. 

Question 5.9. 試利用 one-to-one 的定義證明 Corollary 5.3.12.

要注意 Corollary 5.3.12 的反向也不一定成立, 也就是說單僅假設 f₁ 為 one-to-one 並不 能保證 f₂◦ f1 為 one-to-one.

Question 5.10. 考 慮 X ={a,b}, Y = {1,2,3}, 試找到例子 f1 : X → Y, f2 : Y → X 為 functions 其中 f₁ 為 one-to-one, 但是 f₂◦ f1 不是 one-to-one.

最後我們來探討 one-to-one and onto 的函數. 這樣的函數一般我們稱之為 bijective function 或 bijection. 假 設 f : X → Y 是 bijective, 由 f 為 onto 知存在 g : Y → X 滿 足 f◦ g = idY (Theorem 5.3.3). 又由 f 為 one-to-one 知存在 h : Y → X 使得 h ◦ f = idX

(Theorem 5.3.9). 因此由結合律以及 Lemma 5.1.5, 我們有

h = h◦ idY = h◦ ( f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = idX◦ g = g.

也就是說當 f : X → Y 為 bijective 時, 我們可以找到 g : Y → X, 同時滿足 f ◦ g = idY 且 g◦ f = idX. 事實上這樣的函數 g 是唯一的. 這是因為假設 g : Y → X 和 g^′: Y → X 皆滿足

f◦ g = f ◦ g^′= id_Y 以及 g◦ f = g^′◦ f = idX, 利用剛才相同的理由我們有 g^′= g^′◦ idY = g^′◦ ( f ◦ g) = (g^′◦ f ) ◦ g = idX◦ g = g.

就因為這樣的函數 g 是唯一的且又和 f 有關, 我們給它一個特殊的符號 f⁻¹, 且稱之為 f 的 inverse. 由於這個原因, 我們也稱 bijective function 為 invertible function.

Question 5.11. 假設 f : X → Y 為 injective. 試證明若 g : Y → X 滿足 f ◦ g = idY, 則 g = f⁻¹. 且證明此時若 h : Y → X 滿足 h ◦ f = idX, 則 h = f⁻¹.

78 5. Function

要注意, 千萬不要將 f⁻¹ 和 inverse image 搞混了. 一般的函數都可以定 inverse image, 也就是說不管 f : X→ Y 是不是 bijective, 對任意 Y 的 subset C, inverse image f⁻¹(C) 都是 有定義的. 但對於 Y 元素 y, 就只有當 f 為 bijective 時 f⁻¹(y) 才有定義. 所有要留意, 對任 意 y∈ Y, f⁻¹({y}) 都有定義, 但 f⁻¹(y) 就只有當 f 為 bijective 時才有定義.

當 f : X→ Y 為 bijective 時, 我們可以利用 inverse image 將 f⁻¹: Y → X 寫下. 事實上, 對任意 y∈ Y, 由 f 為 onto 以及 one-to-one, 我們有 #( f⁻¹({y})) = 1. 也就是說 f⁻¹({y}) 恰 有一個元素. 因此若 f⁻¹({y}) = {x}, 則我們定義 f⁻¹(y) = x. 依此定義, 我們有 f (x) = y 若 且唯若 f⁻¹(y) = x, 因此確實得 f◦ f⁻¹= id_Y 且 f⁻¹◦ f = idX.

Example 5.3.13. 我們探討 Example 5.3.2 中的 bijective function 其 inverse 為何.

(A) 考慮函數 g :R \ {3} → R \ {1} 定義為 g(x) = (x + 1)/(x − 3), ∀x ∈ X, 則 g(x) 為 onto. 在 Example 5.2.2 中我們知道對任意 y∈ R \ {1}, g⁻¹({y}) = {(3y + 1)/(y − 1)}. 因此 知 g⁻¹:R \ {1} → R \ {3} 定義為 g⁻¹(x) = (3x + 1)/(x− 1), ∀x ∈ R \ {1}.

(B) 考慮函數 f :Z → N ∪ {0} 定義為 f (n) =

{ 2n, if n≥ 0;

−2n − 1, if n < 0.

在 Example 5.3.2 中我們知若 k∈ N ∪{0} 為偶數, 則 f⁻¹({k}) = {k/2}. 而若 k ∈ N ∪{0} 為 奇數, 則 f⁻¹({k}) = {−(k + 1)/2}. 因此得 f⁻¹:N ∪ {0} → Z 定義為

f⁻¹(n) =

{ n/2, if n is even;

−(n + 1)/2, if n is odd.

我們知道當 f : X→ Y 為 bijective 時, f 的 inverse 存在. 反之, 若 f 的 inverse 存在, 即 存在 f⁻¹: Y → X 使得 f ◦ f⁻¹= id_Y 且 f⁻¹◦ f = idX, 則由 Theorem 5.3.3 和 Theorem 5.3.9 知 f 為 bijective. 因此我們有以下之結果.

Theorem 5.3.14. 假設 f : X→ Y 為 function. 則 f 為 bijection 若且唯若存在 f⁻¹: Y → X 使得 f◦ f⁻¹= id_Y 且 f⁻¹◦ f = idX.

Question 5.12. 假設 f : X→ Y 為 bijective function. 試證明 f⁻¹: Y → X 亦為 bijective 且 ( f⁻¹)⁻¹= f .

利用 Proposition 5.3.5 和 Proposition 5.3.11 我們馬上有以下的性質:

Proposition 5.3.15. 若 f₁: X→ Y, f2: Y→ Z 皆為 bijective function, 則 f2◦ f1: X→ Z 亦 為 bijective function. 且此時

( f₂◦ f1)⁻¹= f₁⁻¹◦ f₂⁻¹.

Proof. 其實我們只要證明 ( f₂◦ f1)◦ ( f₁⁻¹◦ f₂⁻¹) = id_Z 以及 ( f₁⁻¹◦ f₂⁻¹)◦ ( f2◦ f1) = id_X. 再利 用 Theorem 5.3.14 就可得 f₂◦ f1: X→ Z 為 bijective. 又因 inverse function 的唯一性, 也 證得了 ( f₂◦ f1)⁻¹= f₁⁻¹◦ f₂⁻¹. 然而

( f₂◦ f1)◦ ( f₁⁻¹◦ f₂⁻¹) = f₂◦ ( f1◦ f₁⁻¹)◦ f₂⁻¹= ( f₂◦ idY)◦ f₂⁻¹= f₂◦ f₂⁻¹= id_Z,

( f₁⁻¹◦ f₂⁻¹)◦ ( f2◦ f1) = f₁⁻¹◦ ( f₂⁻¹◦ f2)◦ f1= f₁⁻¹◦ (idY◦ f1) = f₁⁻¹◦ f1= id_X.

得證本定理. 

Question 5.13. 假設 f₁: X→ Y, f2: Y → Z 皆為 function 且 f2◦ f1: X→ Z 為 bijective.

是否 f₁: X→ Y, f2: Y→ Z 皆為 bijective? 又若 f1, f2 其中有一個是 bijective, 則另一個是 否為 bijective?

5.4. Equivalent Sets and Cardinal Number

當我們在計算一個集合裡元素的個數時, 其實是給了此集合和正整數的子集合之間的一 個一對一且映成的函數關係. 例如假設集合 A 有 n 個元素, 當我們一個一個的數 A 的元素 時, 事實上就給了一個 {1,...,n} 到 A 的 bijective function. 所以我們很自然的有以下的定 義.

Definition 5.4.1. 假設 A, B 為 set, 若存在一個 bijection f : A→ B, 則稱 A is equivalent to B, 且用|A| = |B| 表示.

要注意當 A 為 finite set, 可以說|A| 就是指 A 的元素個數 #(A). 不過由於我們不只探討 A 為 finite set 情況, 所以我們用|A| 這樣的符號, 且稱之為 A 的 cardinal number. 因此我們 可以說 A is equivalent to B 若且唯若 A 和 B 有一樣的 cardinal number.

Equivalent set 之間的關係事實上是一個 equivalence relation.

Proposition 5.4.2. 對於任意的 sets A, B,C, 我們有以下的性質.

(1) |A| = |A|.

(2) 若|A| = |B| 則 |B| = |A|.

(3) 若|A| = |B| 且 |B| = |C|, 則 |A| = |C|.

Proof. (1) 對任意的集合 A, 考慮 idA: A→ A. 很明顯的 idA 為 bijective, 故得|A| = |A|.

(2) 若|A| = |B|, 表示存在 f : A → B 為 bijective. 故考慮 f⁻¹: B→ A, 亦為 bijective (參 見 Question 5.12), 得證|B| = |A|.

(3) 若|A| = |B| 且 |B| = |C|, 表示存在 f : A → B, g : B →C 皆為 bijective, 故由 Proposition 5.3.15 知 g◦ f : A → C 亦為 bijective. 得證 |A| = |C|.  以下, 為了方便起見, 對於任意正整數 n, 我們用 I_n 表示 1 到 n 之間所有的正整數所成 的集合, 亦即 I₁={1}, I2={1,2},…, In={1,...,n}. 現若 A 是有 n 個元素的 finite set, 我們 很容易知道 |A| = |In|. 因此若 A 和 B 皆有 n 個元素, 我們有 |A| = |In| 以及 |B| = |In|, 因此 由 Proposition 5.4.2 知 |A| = |B|.

另外若 A, B 皆為 finite set 但 A 的元素個數 n 不等於 B 的元素個數 m, 那麼有可能

|A| = |B| 嗎? 我們可以先考慮 |In| 和 |Im| 是否相等. 首先由於 n ̸= m, 不失一般性, 我們假設 m > n. 現若|Im| = |In|, 表示存在 bijection f : Im→ In. 然而由鴿籠原理 Theorem 2.2.3 (想像

80 5. Function

定義域的 I_m 表示有 m 隻鴿子, 對應域 I_n表示 n 個籠子), 知 f : I_m→ In 不可能為 one-to-one (鴿子數大於籠子數, 所以一定有一個籠子住了多於 1 隻的鴿子), 此與 f 為 bijective 的假設 相矛盾, 得證|In| ̸= |Im|. 現若 |A| = |B|, 則由 |A| = |In|, |B| = |Im| 以及 Proposition 5.4.2 推得

|In| = |Im| 之矛盾, 故知 |A| ̸= |B|.

到目前為止, 在 finite set 的情況, 我們知道 cardinal number 頗符合我們對集合元素個 數的計數原則. 我們也可利用 cardinal number 來定義 infinite set. 也就是說, 因為有無窮多 個元素的集合, 其元素無法一個一個數完, 所以對一個 nonempty set A, 如果對任意 n∈ N, 皆有|A| ̸= |In|, 我們稱 A 為 infinite set.

其實 cardinal number 還符合許多其他計數的原則, 例如若 A∩ B = /0, C ∩ D = /0, 且

|A| = |C|, |B| = |D|, 則由計數的原則, 我們會預期 |A ∪ B| = |C ∪ D|. 事實上這是對的, 我們有 以下的定理.

Lemma 5.4.3. 假設 I 為 index set, {Ai, i∈ I}, {Bi, i∈ I} 分別為 A, B 的 partition. 若對所 有 i∈ I, 皆有 |Ai| = |Bi|, 則 |A| = |B|.

Proof. 回顧一下, {Ai, i∈ I} 為 A 的 partition 表示 A =^∪

i∈I

A_i 且對於 i, j∈ I, 若 i ̸= j, 則 A_i∩ Aj= /0. 現依假設, 對所有 i∈ I, 皆有 |Ai| = |Bi|, 此即表示存在 fi: A_i→ Bi 為 bijective function. 我們想利用這些 fi, 建構出一個 bijective function f : A→ B. 依此便得證 |A| = |B|.

定義 f : A→ B 如下: 對於任意 a ∈ A, 由於 {Ai, i∈ I} 為 A 的 partition, 我們知有唯一 的 i∈ I 使得 a ∈ Ai, 此時定義 f (a) = fi(a)∈ Bi. 由於 {Ai, i∈ I} 為 A 的 partition, 在 f 的定 義中每一個 A 的元素皆有定義其映射規則且 B_i⊆ B. 所以這確實定義出了一個從 A 到 B 的 function. 我們要證明 f : A→ B 為 one-to-one and onto.

現對任意 b∈ B, 由於 {Bi, i∈ I} 為 B 的 partition, 故存在唯一的 i ∈ I, 使得 b ∈ Bi. 又因 為 f_i: A_i→ Bi 為 onto, 故知存在 a∈ Ai 滿足 f_i(a) = b. 現依 f 的定義, 對於這個 b, 我們只 要取此 a∈ A, 因為 a ∈ Ai, 由 f 的定義得 f (a) = f_i(a) = b. 得證 f : A→ B 為 onto.

現若 a, a^′∈ A 滿足 f (a) = f (a^′). 由 f (a)∈ B, 知存在唯一的 i ∈ I 使得 f (a) = f (a^′)∈ Bi. 再由 f 的定義, 我們知若 a∈ Aj, 則 f (a) = fj(a)∈ Bj. 因此由 f (a)∈ Bi∩ Bj 得 i = j, 亦 即 a∈ Ai. 同理我們有 a^′∈ Ai. 所以由 f 的定義我們有 f (a) = f_i(a) 且 f (a^′) = f_i(a^′). 因此 由 f (a) = f (a^′) 之假設得 f_i(a) = f_i(a^′), 再由 f_i 為 one-to-one 得證 a = a^′. 因此得證 f 為

one-to-one. 

既然 cardinal number 和集合的元素個數有關, 我們當然希望它能比較大小. 在 finite set 的情況, 我們都知道元素比較少的集合可以 one-to-one 的映射到元素比較多的集合. 因 此我們有以下的定義.

Definition 5.4.4. 假設 A, B 為 set, 我們用 |A| ≤ |B| 表示存在一個 one-to-one function f : A→ B.

這個定義也很符合我們的直覺. 例如若 A⊆ B, 則考慮 f : A → B, 定義為 f (a) = a,

∀a ∈ A. 很容易驗證 f 為 one-to-one function, 所以在這情況之下我們有 |A| ≤ |B|. 特別的,

當 m, n∈ N 且 m > n, 則由於 In⊆ Im, 所以我們有|In| ≤ |Im|. 而前面我們利用鴿籠原理知道 不可能有 one-to-one function f : Im→ In, 所以我們也知道|Im| ≤ |In| 不成立.

另外直覺上元素比較 多的元 素可以找到映成的函數對應到元素比較少的集合, 對 cardinal number 這也是對的. 我們有以下的結果.

Proposition 5.4.5. 假設 A, B 為 set. 則 |A| ≤ |B| 若且唯若存在 onto function h : B → A.

Proof. (⇒) 由 |A| ≤ |B|, 我們知存在一個 one-to-one function : A → B. 由 Theorem 5.3.9 知存在 h : B→ A 滿足 h ◦ f = idA. 然而 id_A: A→ A 是 onto function, 故由 Corollary 5.3.6 知 h : B→ A 為 onto.

(⇐) 由 h : B → A 為 onto 知, 存在 g : A → B 滿足 h ◦ g = idA (Theorem 5.3.3). 故由 idA

為 one-to-one 得知 g : A→ B 為 one-to-one (Corollary 5.3.12). 因此得證 |A| ≤ |B|.  接下來我們要說明 Definition 5.4.4 定義出 cardinal number 之間的 partial order. (事實 上它可定義出 cardinal number 之間的 total order, 不過這需用到 Axiom of Choice 而且我 們之後也不會用到, 所以這裡略過不談.) 首先對於 reflexive 的性質, 對於任意的集合 A, 我 們僅要考慮 idA: A→ A, 由於 idA 是 one-to-one, 故得證 |A| ≤ |A|. 至於 transitive 的性質, 若

|A| ≤ |B| 且 |B| ≤ |C|, 則由存在 f : A → B 以及 g : B → C 皆為 one-to-one, 可得 g ◦ f : A → C 為 one-to-one (Proposition 5.3.11). 故證得 |A| ≤ |C|. 至於 anti-symmetric 性質, 就比較複 雜, 這是所謂 Cantor–Schröder–Bernstein Theorem.

Theorem 5.4.6 (Cantor–Schröder–Bernstein). 假設 A, B 為 sets 滿足|A| ≤ |B| 且 |B| ≤ |A|, 則 |A| = |B|.

Proof. 由假設 |A| ≤ |B| 知存在 f : A → B 為 one-to-one function. 又由 |B| ≤ |A|, 知存在 g : B→ A 為 one-to-one function. 我們要利用 f ,g 得到 A,B 的 partition, 再利用 Lemma 5.4.3 得到|A| = |B|.

首先對於任意 a∈ A, 我們建構出一個由 A ∪ B 的元素所組成的數列. 其建構方式如下:

首先令第一項 x₁= a, 考慮 inverse image g⁻¹({a}). 由於 g 是 one-to-one, 我們知 g⁻¹({a}) 最多僅有一個元素. 若 g⁻¹({a}) = /0, 則這個數列僅有 x1這個元素. 而若 g⁻¹({a}) = {b}, 則 令 x₂= b. 由於 b∈ B, 接著考慮 f⁻¹({b}). 同樣的, 因為 f 為 one-to-one, 我們知 f⁻¹({b}) 最多僅有一個元素. 若 f⁻¹({b}) = /0, 則這個數列僅有 x1, x2兩個元素. 而若 f⁻¹({b}) = {a^′}, 則令 x₃= a^′. 又由於 a^′∈ A, 我們又可考慮 g⁻¹({a^′}), 然後依前面規則這樣一直下去. 令 ⟨a⟩

表示利用這個規則由 a 所建構出的數列 (若對如何建構這樣的數列仍不清楚, 請參考底下 Example 5.4.7). 這樣由所有 a∈ A 而得的數列 ⟨a⟩ = x1, x₂, . . . ,我們可以分成三類. 第一類 是有奇數項的有限數列. 例如若 a∈ A 且 g⁻¹({a}) = /0, 此時 ⟨a⟩ 僅有一項, 故屬於這一類的 數列. 第二類是有偶數項的有限數列. 例如 a∈ A 且 g⁻¹({a}) = {b} 但 f⁻¹({b}) = /0, 此時

⟨a⟩ 有 a,b 兩項, 故屬於這一類的數列. 第三類是有無窮多項的數列, 也就是說 a ∈ A 所建構 的數列每一項的 inverse image 皆不是空集合. 現令

A_o={a ∈ A : ⟨a⟩有奇數項}, Ae={a ∈ A : ⟨a⟩有偶數項}, A_∞={a ∈ A : ⟨a⟩有無窮多項}.

82 5. Function

由於每一個 a∈ A, 都可依這個規則建構出一組唯一數列 ⟨a⟩, 因此 a 一定會是 Ao, A_e, A_∞ 其 中之一的元素, 且任兩個不會有交集. 所以 A_o, Ae, A_∞是 A 的一個 partition.

要注意這樣做出的數列, 其奇數項一定是 A 中的元素, 而偶數項一定是 B 中的元 素. 也就是說若 ⟨a⟩ = x1, x₂, . . . , 則當 i 為奇數時 x_i∈ A. 又此時因 xi∈ f⁻¹({xi−1}), 故有

f (xi) = xi−1. 而當 i 為偶數時 xi∈ B. 又此時因 xi∈ g⁻¹({xi−1}), 故有 g(xi) = xi−1.

同樣的對任意 b∈ B, 我們也用相同規則做出一個由 b 起始的數列, 亦即 y1= b, 然後考 慮 f⁻¹({b}) 來決定下一項, 這樣一直下去. 令 ⟨b⟩ 表示 b 利用這個規則所建構出的數列. 同 樣的, 我們得到 B 的一個 partition B_o, B_e, B_∞, 其中

B_o={b ∈ B : ⟨b⟩有奇數項}, Be={b ∈ B : ⟨b⟩有偶數項}, B∞={b ∈ B : ⟨b⟩有無窮多項}.

現考慮 restriction map f|Ao : A_o→ B, 也就是對任意 a ∈ Ao, f|Ao(a) = f (a). 由於 f 為 one-to-one, 很自然的 f|Ao 仍為 one-to-one. 我們要說明 f|Ao 的 range f|Ao(Ao) 為 B_e. 對任 意 a∈ Ao, 我們有 f|Ao(a) = f (a)∈ B. 此時考慮 f (a) 所建構的 sequence, 首項為 y1= f (a), 而因 f⁻¹({ f (a)}) = {a} (因 f (a) ∈ { f (a)}), 依 ⟨ f (a)⟩ 的建構方式我們有 y2= a. 換言之, 數列 ⟨ f (a)⟩ 前兩項為 y1= f (a), y2= a, 又由於下一項 (即第三項) y3 完全由 g⁻¹({a}) 所決 定. 這和考慮 a 所建構的數列 ⟨a⟩ 第二項 x2 是一樣的. 換言之, 數列 ⟨ f (a)⟩ 只是將數列

⟨a⟩ 的第一項之前再多加一項 f (a) 而已. 現 a ∈ Ao, 表示 ⟨a⟩ 有奇數項, 所以 ⟨ f (a)⟩ 會有偶 數項, 故由 f (a)∈ B 知 f (a) ∈ Be. 得證 f|Ao(A_o)⊆ Be. 反之, 若 b∈ Be, 表示 b 所建構的數 列 ⟨b⟩ 有偶數項. 因此 ⟨b⟩ 的第二項一定存在 (否則僅有一項, 造成矛盾). 所以由 ⟨b⟩ 的建 構方法知 f⁻¹({b}) 不是空集合, 也就是說存在 a ∈ A 使得 f (a) = b. 事實上 a 就是 ⟨b⟩ 的 第二項, 因此如前所述, ⟨a⟩ 是將 ⟨b⟩ = ⟨ f (a)⟩ 的第一項除去所得, 也就是說 ⟨a⟩ 有奇數項, 因此得 a∈ Ao. 我們證得了對任意 b∈ Be, 皆存在 a∈ Ao 使得 f (a) = f|Ao(a) = b. 因此知 B_e⊆ f |Ao(A_o), 也得證了 f|Ao 的 range f|Ao(A_o)就是 B_e. 換言之, f|Ao 可以視為是一個從 A_o 到 B_e 的 one-to-one and onto function. 我們證得了|Ao| = |Be|.

同理, 考慮 g : B→ A 在 Bo 的 restriction g|Bo : Bo→ A, 我們可以得到 |Bo| = |Ae| (只是 將上面的證明 f , g 互換即可). 最後我們考慮 g 在 B_∞ 上的 restriction g|B_∞ (也可考慮 f 在 A_∞ 上的 restriction). 此時 g|B_∞ 依然為 one-to-one. 而對於任意 b∈ B_∞, 我們考慮 g(b) 所產 生的數列 ⟨g(b)⟩. 由於 g(b) ∈ A, 而 g⁻¹({g(b)}) = {b}, 故 ⟨g(b)⟩ 的第一項為 g(b), 第二項為 b, 之後依序就是⟨b⟩ 的其他各項. 因此由 b ∈ B∞ 即⟨b⟩ 有無窮多項得 ⟨g(b)⟩ 亦有無窮多項.

得證 g(b)∈ A_∞, 亦即證得 g|B_∞ 的 range g|B_∞(B_∞) 包含於 A_∞. 反之, 若 a∈ A_∞, 表示 a 所建 構的數列⟨a⟩ 有無窮多項. 因此 ⟨a⟩ 的第二項一定存在. 所以由 ⟨a⟩ 的建構方法知 g⁻¹({a}) 不是空集合, 也就是說存在 b∈ B 使得 g(b) = a. 事實上 b 就是 ⟨a⟩ 的第二項, 因此如前所 述,⟨b⟩ 是將 ⟨a⟩ 的第一項除去所得, 也就是說 ⟨b⟩ 仍有無窮多項, 因此得 b ∈ B_∞. 我們證得 了對任意 a∈ A∞, 皆存在 b∈ B∞ 使得 g(b) = g|B_∞(b) = a. 因此知 A_∞⊆ g|B_∞(B_∞), 也得證了 g|B_∞ 的 range g|B_∞(B_∞) 就是 A_∞. 換言之, g|B_∞ 可以視為是一個從 B_∞ 到 A_∞ 的 one-to-one and onto function. 我們證得了|B∞| = |A∞|.

最後因 A_o, Ae, A_∞ 為 A 的 partition 以及 B_o, Be, B_∞ 為 B 的 partition, 又因 |Ao| = |Be|,

|Ae| = |Bo| 以及 |A_∞| = |B_∞|, 利用 Lemma 5.4.3 得證 |A| = |B|. 

Question 5.14. Theorem 5.4.6 的 證 明 中, |Ae| = |Bo| 的證明為何是考慮 g 在 Bo 的 restriction 而不是考慮 f 在 Ae 的 restriction? 若考慮 f 在 A_e 的 restriction f|Ae: Ae→ B, 其 range 為何? 又 |A∞| = |B∞| 的證明可以考慮 f 在 A∞ 上的 restriction f|A_∞ : A_∞→ B 嗎?

Example 5.4.7. 考慮 A ={1,2,...} 為正整數所成的集合, B = {−1,−2,...} 為負整數所成 的集合. 考慮 f : A→ B 定義為 f (a) = −1 − a, ∀a ∈ A 以及 g : B → A 定義為 g(b) = 1 − b,

∀b ∈ B. 我們利用這個例子說明 Theorem 5.4.6 中建構數列的方法. 首先我們用以下圖示來 表示這兩個函數的映射關係:

..

1 .

2 .

3 .

4 .

···

−1.. . −2 . −3 . −4

···

注意上圖中由上往下的映射是 f , 而由下往上的是 g.

現考慮 3∈ A, 由 g⁻¹({3}) = {−2}, f⁻¹({−2}) = {1} 以及 g⁻¹({1}) = /0, 我們知道利用 3 所建構的數列 ⟨3⟩ 為 3,−2,1. 因為此數列有 3 項, 所以知 3 ∈ Ao. 同理, 由上圖很快看出 利用 4 所建構的數列⟨4⟩ 為 4,−3,2,−1, 得 4 ∈ Ae. 很快的我們可以歸納出, 當 a∈ A 為奇 數時 a∈ Ao, 而當 a∈ A 為偶數時 a ∈ Ae. 也因此知 A_∞= /0. 事實上此時 A_o, A_e 就是 A 的一 個 partition (恰好就是奇數與偶數的 partition).

而對於−3 ∈ B, 由 f⁻¹({−3}) = {2}, g⁻¹({2}) = {−1} 以及 f⁻¹({−1}) = /0, 我們知道利 用 −3 所建構的數列 ⟨−3⟩ 為 −3,2,−1. 因為此數列有 3 項, 所以知 −3 ∈ Bo. 同理, 由上圖 很快看出利用−4 所建構的數列 ⟨−4⟩ 為 −4,3,−2,1, 得 −4 ∈ Be. 很快的我們可以歸納出, 當 b∈ B 為奇數時 b ∈ Bo, 而當 b∈ B 為偶數時 b ∈ Be. 也因此知 B_∞= /0. 事實上此時 B_o, B_e 就是 B 的一個 partition.

接著我們看 f 確實一對一的將 A_o 映成至 B_e (英文稱之為 one-to-one correspondence).

首先當 a∈ Ao表示 a 為正奇數, 利用 f (a) =−(1+a) 知 f (a) 為負偶數, 即 f (a) ∈ Be. 因此 f 確實一對一將 A_o 映射至 B_e. 而對於 b∈ Be, 我們知 b 為負偶數. 今考慮 a =−b − 1, 我們有 a > 0 (因 b≤ −2) 且 a 為奇數, 即 a ∈ Ao. 將 a =−b−1 ∈ Ao 代入 f 得 f (a) =−(1+a) = b.

故知 f 確實一對一將 A_o 映成至 B_e. 注意 f 無法將 A_e 映成至 B_o. 主要原因是 B_o 中有可能 有元素其 inverse image 是空集合. 例如這裡我們有−1 ∈ Bo 且 f⁻¹({−1}) = /0. 所以這裡我 們是用 g 來得到 B_o至 A_e 之間的 one-to-one correspondence. 事實上對任意 b∈ Bo, 我們有 b 為負奇數, 因此 g(b) = 1−b 為正偶數, 即 g(b) ∈ Ae. 反之, 對任意 a∈ Ae, 我們有 b = 1−a < 0 (因 a≥ 2) 且為奇數. 此時將 b = 1 − a ∈ Bo 代入 g, 得 g(b) = 1− b = 1 − (1 − a) = a, 故得證 g 確實一對一將 B_o 映成至 A_e.

Question 5.15. 試利用 Example 5.4.7 中的 f 和 g 寫下一個 A 到 B 的 bijective function h : A→ B 滿足 h|Ao = f|Ao.

最後, 我們想定義 cardinal number 之間的 “strict order”. 當 A, B 為 sets, 滿足 |A| ≤ |B|

且 |A| ̸= |B| 時, 我們就用 |A| < |B| 來表示. 前面已知當 m,n 為正整數且 m > n 時, 我們有