若 S′1⊆ S1, 我們定 f (S′1

(1)

26 2. Linear Transformations

2.2. Image and Kernel

Linear transformation 既然保持了 vector spaces 的運算, 可以理解它應該也會 “保持”

subspaces. 首先我們定義一些符號, 給定一函數 f : S1→ S2. 若 S^′₁⊆ S1, 我們定 f (S^′₁) ={ f (s) | s ∈ S^′1}.

注意 f (S^′₁)會是 S₂ 的一個 subset, 稱之為 the image of S^′₁ under f ; 另一方面若 S₂^′ ⊆ S2, 令 f⁻¹(S₂^′) ={s ∈ S1| f (s) ∈ S^′2}.

注意 f⁻¹(S^′₂)會是 S₁ 的一個 subset, 稱之為 the preimage of S^′₂ under f .

Question 2.6. Image 和 preimage 是否為 inclusion-preserving? 也就是說一個函數 f : S1→ S₂, 若 S^′′₁⊆ S^′₁⊆ S1 是否可得 f (S^′′₁)⊆ f (S^′₁)? 若 S^′′₂⊆ S^′₂⊆ S2, 是否可得 f⁻¹(S^′′₂)⊆ f⁻¹(S^′₂)?

Question 2.7. 假設 f : S₁→ S2 為一個函數, 且 S^′₁, S^′′₁⊆ S1 以及 S^′₂, S^′′₂⊆ S2. 下列哪些是正 確的?

(1) f (S^′₁∩ S^′′₁) = f (S^′₁)∩ f (S^′′₁).

(2) f (S^′₁∪ S^′′₁) = f (S^′₁)∪ f (S^′′₁).

(3) f⁻¹(S^′₂∩ S^′′₂) = f⁻¹(S^′₂)∩ f⁻¹(S^′′₂).

(4) f⁻¹(S^′₂∪ S^′′₂) = f⁻¹(S^′₂)∪ f⁻¹(S^′′₂).

下面我們便是說 linear transformation 確實保持 subspace 的性質.

Lemma 2.2.1. 設 T : V → W 為一個 linear transformation.

(1) 若 V^′ 為 V 的 subspace, 則 T (V^′) 為 W 的 subspace.

(2) 若 W^′ 為 W 的 subspace, 則 T⁻¹(W^′) 為 V 的 subspace.

Proof. 依定義已知 T (V^′)⊆ W 且 T⁻¹(W^′)⊆ V, 所以我們可利用 Proposition 1.2.1 來證明.

(1) 首先 OV ∈ V^′ (因 V^′ 是 subspace), 故由 Proposition 2.1.2 (1) 知 O_W = T (O_V)∈ T (V^′). 再來對所有的 w₁, w2 ∈ T(V^′) 及 r, s∈ F , 依定義存在 v1, v2∈ V^′ 使得 w₁= T (v₁), w₂= T (v₂). 故考慮 v = rv₁+ sv₂∈ V^′, 可得 rw₁+ sw₂= T (v)∈ T(V^′), 得證 T (V^′) 是 W 的 subspace.

(2) 因 OW ∈ W^′ 故由 T (O_V) = OW ∈ W^′ 得 O_V ∈ T⁻¹(W^′). 再來對所有的 v₁, v2 ∈ T⁻¹(W^′) 及 r, s∈ F, 依定義 T(v1)∈ W^′ 且 T (v₂)∈ W^′ . 故由 W^′ 是 W 的 subspace 得 T (rv₁+ sv₂) = rT (v₁) + sT (v₂)∈ W^′, 亦即 rv₁+ sv₂∈ T⁻¹(W^′),得證 T⁻¹(W^′)是 V 的 subspace.

(2)

2.2. Image and Kernel 27

特別的, 我們對 V^′= V 以及 W^′={OW} 的情形有興趣, 因此特別給予以下定義.

Deﬁnition 2.2.2. 設 T : V → W 為一個 linear transformation.

(1) T (V ) 稱為 the image (or range) of T , 我們用 Im(T ) 來表示.

(2) T⁻¹({OW}) 稱為 the kernel (or null-space) of T, 我們用 Ker(T) 來表示.

由 Lemma 2.2.1 知 Im(T ) 是 W 的 subspace, 而 Ker(T ) 為 V 的 subspace.

Question 2.8. 由 image 和 preimage 為 inclusion-preserving 我們知 Im(T ) = T (V ) 是所 有 subspaces 的 image 中最大的 subspace, 而 Ker(T ) = T⁻¹({OW}) 是所有 subspaces 的 preimage 中最小的. 為何不去探討 T ({OV}) 以及 T⁻¹(W ) 呢?

給定一個函數, 我們有興趣的是這個函數是否為映成 (onto) 或是一對一 (one-to-one).

Im(T ) 和 Ker(T ) 之所以重要是因為在 T 為 linear transformation 的情形, 我們可以用 Im(T ) 和 Ker(T ) 來判斷 T 是否為映成或一對一, 事實上我們有以下之結果.

Proposition 2.2.3. 假設 T : V→ W 是一個 linear transformation.

(1) T 為映成若且唯若 Im(T ) = W . (2) T 為一對一若且唯若 Ker(T ) ={OV}.

Proof. 我們已知 Im(T )⊆ W 以及 {OV} ⊆ Ker(T), 所以事實上 (1) 我們僅需考慮 W ⊆ Im(T) 的部分, 同理 (2) 我們僅需考慮 Ker(T )⊆ {OV} 的部分.

(1) T 為 onto, 表示對所有 w∈ W, 皆存在 v ∈ V 使得 T(v) = w, 亦即 w ∈ T(V) = Im(T).

得證 W ⊆ Im(T), 故得 W = Im(T). 反之, 由 W ⊆ Im(T) 可知每一個 w ∈ W 皆在 Im(T ) 中, 亦即存在 v∈ V 使得 w = T(v), 故知 T 為 onto.

(2) T 為 one-to-one, 表示 V 中唯一滿足 T (v) = OW 的 v 應為 O_V (因已知 T (OV) = O_W). 故若 v∈ Ker(T), 表示 T(v) = OW, 得 v = O_V. 證得 Ker(T ) ={OV}. 反 之, 假設 Ker(T ) ={OV}. 若 v1, v₂∈ V 滿足 T(v1) = T (v₂), 則由 T 為 linear 得 T (v1−v2) = OW, 亦即 v1−v2∈ Ker(T) = {OV}. 故得 v1= v2, 得證 T 為 one-to-one.

從 Proposition 2.2.3 的證明可以看出, 並不需用到 T 是 linear 的假設來證明 T 是 onto 和 Im(T ) = W 為等價的; 不過 T 是 one-to-one 和 Ker(T ) ={OV} 為等價的就需要 T 為 linear 的假設了. 所以對一般函數 f , 除非先知道 f 是 linear 不能用 f⁻¹({0}) = {0} 來判斷

f 是否為 one-to-one.

(3)

28 2. Linear Transformations

Exercise 2.1. Let T : V → W be a linear transformation. Suppose that dim(V) ≥ 2 and dim(W )≥ 2.

(1) Prove the following are equivalent:

(a) T is one-to-one.

(b) T⁻¹(T ({OV})) = {OV}.

(c) For every nontrivial subspace V^′ of V , T⁻¹(T (V^′)) = V^′. (2) Prove the following are equivalent:

(a) T is onto.

(b) T (T⁻¹(W )) = W .

(c) For every nontrivial subspace W^′ of W , T (T⁻¹(W^′)) = W^′.

Exercise 2.2. Let T1: V → W and T2: W → U be linear transformations. Consider the composition T2◦ T1: V → U.

(1) Show that Ker(T2◦ T1) = T₁⁻¹(Ker(T₂)).

(2) Prove that T₂◦ T1 is one-to-one if and only if T₁ is one-to-one and Ker(T2)∩ Im(T1) ={OW}.

(3) Show that Im(T₂◦ T1) = T₂(Im(T₁)).

(4) Prove that T₂◦ T1 is onto if and only if T₂ is onto and Ker(T2) + Im(T1) = W.

———————————– 13 October, 2017