中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

(1)

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

排版\050414-封面

高級中等學校組數學科 (鄉土)教材獎

050414-封面

在多邊形中尋找反正切函數是否搞錯了甚麼

學校名稱：國立屏東高級中學

作者：指導老師：

高二陳柏澔高二梁耘睿高二曾俊哲

張宮明

關鍵詞：多邊形、反正切函數

(2)

摘要

本文由六個結合 tan−1 的等式及其所搭配的無字證明圖形出發，結合多邊形的性質發展出新的圖形，並以向量以及三角函數佐以證明 tan−1 與多邊形的全新等式，並且討論四邊形中四個角的不同狀況以得出不同定理。本文最大的價值在於:我們將國中學過的鏢形三內角相加等於一外角的特性加以運用到四邊形，並結合高中所學的三角函數以及反三角函數和利用了方格紙將圖形座標化後以內積公式去求出各個條件下四邊形的一般式，因此我們能夠利用此一般式快速地利用座標來去算出不同四邊形的關係式。而本文最大的特色在於，我們將大部分國中及高中所學知識融會貫通後，將其運用在我們報告中，且在本文中我們利用了假設各點並小心的驗算列出了各圖形在各個條件下的一般式。

壹、研究動機:

國中時，我們都曾經作過科展，於是上高中後，我們便踏入了這個我們既熟悉又陌生的科展領域 : 數學科。在開始這門研究時，我們充滿了自信，相信著我們肯定能創作出一件好作品。一開始的我們勢如破竹，研究如飛梭般的進展，但好景不常，很快的我們遇到了許多瓶頸。找不到可推廣方向、因資料太過龐大無法計算算是小事，最慘的就是在科展博覽會上見到了自己的主題被別人研究透徹的光景。在我們面如死灰，大量的找尋新題目時，科展指導老師給了我們一篇有趣的數學文章，作者 REX H. WU 用短短的兩頁，介紹了好幾個有關於反三角函數的公式:

(3)

(1) arctanφ = arctan(¹

2) + (¹

2)arctan2，

(2) arctanφ - arctan(¹

𝜑) = arctan(¹

2) (3) 2arctan(_𝜑¹) = arctan2

(4) arctanφ + (¹

2)arctan2 = ^𝜋

2 =2arctan(¹

𝜑) + arctan(¹

2) (5) arctanφ - 2arctan(¹

𝜑) = arctan(¹

2) - (¹

2)arctan2 (6) arctanφ = ^𝜋

4 + (¹

2)arctan(¹

2)

作者 RE.0 X H. WU 用畫圖的方式，列出了以上的五個等式，但唯一的缺點便是證明並不完善，故我們決定先詳細證明之，但在證明的過程中，我們也開始對這個主題有了許多的發想，包括將數列、方格紙、向量等等的數學主題融合進去，於是在如此的構想之下，我們就這麼開始了

貳、研究目的:

根據此題目，我們準備了下述的幾個研究目的

1、如何以圖形和文字詳細證明上述六個式子。

2、將上述六個式子進行一般式推廣。

3、將費氏數列帶進其中，找尋規律。

4、將其三角形的反三角函數等式推廣成多邊形的反三角函數等式。

，

(4)

參、研究設備及器材:

鉛筆、橡皮擦、紙、筆記型電腦、手機。

肆、研究過程與方法:

第一部分 : 原式的圖形詳細證明及一般化證明

在上述文章中，我們得到了作者提供的六個反三角函數式，但因為作者說明的不完全，

第一步我們決定以圖形及文字證明的方式來詳細證明此六個式子。而第二步則是將各式進行一般化的操作。

第一式介紹

φ=^(√5+1^）

2 ，¹

𝜑= ^(√5−1^）

2

（1）第一式證明: arctanφ = arctan(¹

2) + (¹

2)arctan2 在 ΔBCE 中，tanγ= ¹

(√5−1） 2

= ^（^√5+1^）

2 ，又 γ=α+β

故 tan(α+β) = ^（^√5+1^）

2 =φ，則可得 arctanφ=arctan^(√5+1^）

2 =α+β 在 ΔABE 中，tanβ=

1 2 1 = ¹

2 ，故 arctan¹

2 =β

(5)

在 ΔABE 中，tan2α= ¹₁

2

=2 ，故 arctan2 =2α，¹

2arctan2 =α 故 arctan(φ)=γ=α+β，代入原式，(α+β)=β+α 得證

（2）我們將第一式推廣成定理一定理一:arctan(^𝑏

𝑎)=arctan(^𝑏

2−𝑎² 2𝑎𝑏 ) + ¹

2arctan( ^2𝑎𝑏

𝑏²−𝑎²)

證明:

因為 ΔABC 是等腰三角形

由圖可知𝐴𝐵 = √𝑎²+ 𝑏² = 𝐴𝐶 由 ΔABC 面積可知 2a × b × ¹

2= √𝑎²+ 𝑏² × 𝐵𝐸 × ¹

2

可得 𝐵𝐸 = ^2𝑎𝑏

√𝑎²+𝑏²

而由 ΔABE 中，利用畢氏定理可得𝐵𝐸 ² = 𝐴𝐵 ²-𝐴𝐸 ²,𝐴𝐸 ² = 𝐴𝐵 ²-𝐵𝐸 ²

𝐴𝐸 ² = 𝑎²+ 𝑏²—^4𝑎²^𝑏²

𝑎²+𝑏² = ^(𝑎²^{− 𝑏}²⁾²

𝑎²+𝑏² ,得𝐴𝐸 = ^|𝑎²^{− 𝑏}

2|

√𝑎²+𝑏²

= ^𝑏²^{− 𝑎}²

√𝑎²+𝑏²

設

∠

BAD= ∠CAD=α，

∠

ABE=β，

∠

ACD= ∠ABD=γ，且 γ=α+β tanγ= ^𝑏

𝑎，tanβ=^𝐴𝐸

𝐵𝐸 = ^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 ，tan2α=^𝐵𝐸

𝐴𝐸 = ^2𝑎𝑏

𝑏²−𝑎²

可推得 arctan(^𝑏

𝑎)=arctan(^𝑏

2−𝑎² 2𝑎𝑏 ) + ¹

2arctan( ^2𝑎𝑏

𝑏²−𝑎²)

(6)

第二式介紹

(1) 第二式證明:arctanφ－arctan(¹

𝜑) = arctan(¹

2), 在 ΔABE 中，tanβ=

1 2 1 =¹

2，故 arctan(¹

2)=β

在 ΔBCE 中，tanα=

√5−1 2

1 = ¹

𝜑，故 arctan(¹

𝜑)=α 在 ΔBCE 中，tanγ= ¹

(√5−1) 2

=^√5+1

2 =φ，由圖可知 γ=α+β，

故 arctan(φ)=γ=α+β，代入原式 (α+β)-α=β,故得證

(2) 我們將第二式推廣成定理二定理二:arctan^𝑏

𝑎-arctan^𝑎

𝑏=arctan^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏

證明:

(7)

因為 ΔABC 是等腰三角形由圖可知𝐴𝐵 = √𝑎²+ 𝑏² = 𝐴𝐶 由 ΔABC 面積可知 2a × b × ¹

2= √𝑎²+ 𝑏²× 𝐵𝐸 ¹

2

可得𝐵𝐸 = ^2𝑎𝑏

√𝑎²+𝑏²

𝐴𝐸 ² = 𝑎²+ 𝑏²− ^4𝑎²^𝑏²

𝑎²+𝑏² = ^(𝑎²^{− 𝑏}²⁾²

𝑎²+𝑏² ，得𝐴𝐸 =^|𝑎²^{− 𝑏}²^|

√𝑎²+𝑏²= ^𝑏²^{− 𝑎}²

√𝑎²+𝑏²

設

∠

BAD= ∠CAD=α,

∠

ABE=β,

∠

ACD= ∠ABD=γ，且 γ-α=β tanγ= ^𝑏

𝑎，tanα=^𝐵𝐷

𝐴𝐷 = ^𝑎

𝑏，tanβ=^𝐴𝐸

𝐵𝐸 =^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏

可推得 arctan^𝑏

𝑎-arctan^𝑎

2𝑎𝑏

第三式介紹

(1) 第三式證明:2 arctan(¹

𝜑) = arctan2

√5−1 2 1 = ¹

𝜑，故 arctan(¹)=α，2arctan(¹)= 2α，

(8)

2

= 2 ，故 arctan2=2α，

故 2arctan(¹

𝜑)= 2α，代入原式，2α=2α,故得證

.

(2)我們將第三式推廣成定理三定理三:2arctan^𝑎

𝑏＝arctan ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²

證明:

因為 ΔABC 是等腰三角形由圖可知𝐴𝐵 = √𝑎²+ 𝑏² = 𝐴𝐶 由 ΔABC 面積可知 2a × b ×¹

2= √𝑎²+ 𝑏²×𝐵𝐸×¹

2

√𝑎²+𝑏²

𝐴𝐸 ² = 𝑎²+ 𝑏²− ^4𝑎²^𝑏²

𝑎²+𝑏² = ^(𝑎²^{− 𝑏}²⁾²

𝑎²+𝑏² ,得𝐴𝐸 =^|𝑎²^{− 𝑏}²^|

√𝑎²+𝑏²= ^𝑏²^{− 𝑎}²

√𝑎²+𝑏²

設

∠

BAD= ∠CAD=α，

∠

ABE=β，

∠

ACD= ∠ABD=γ，且 γ=α+β 在 ΔABD 中，tanα=^𝐵𝐷

𝐴𝐷 = ^𝑎

𝑏，arctan^𝑎

𝑏＝α

在 ΔABE 中，tan2α= ^𝐵𝐸

𝐴𝐸 =

2𝑎𝑏

√𝑎2+𝑏2 𝑏2− 𝑎2

√𝑎2+𝑏2

= ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²，arctan ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²＝2α

(9)

可推得 2arctan^𝑎

𝑏²− 𝑎²

第四式介紹

(１)第四式證明:

arctanφ＋ (¹

2)arctan2 = ^𝜋

2 = 2 arctan(¹

𝜑) ＋arctan(¹

2) 在 ΔBCE 中，tanγ= ¹

(√5−1) 2

=^√5+1

2 =φ，故 arctanφ=γ

2

= 2 ，故 arctan2= 2α，¹

2arctan2 =α 在 ΔBCE 中，α+γ=arctanφ+¹

2arctan2= 90^°=^𝜋

2,故得證

√5−1 2 1 = ¹

𝜑)=α，2arctan(¹

𝜑)= 2α 在 ΔABE 中，tanβ=

1 2 1 =¹

2，故 arctan(¹

2)=β 在 ΔABE 中，2α+β=2arctan(¹

𝜑)+ arctan(¹

2)= 90^°= ^𝜋

2,故得證

(10)

(2)我們將第四式推廣成定理四定理四: 2arctan^𝑎

𝑏 + arctan^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 = ¹

2arctan ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎² + arctan^𝑏

𝑎 = ^𝜋

2

證明:

因為 ΔABC 是等腰三角形由圖可知𝐴𝐵 = √𝑎²+ 𝑏² = 𝐴𝐶 由 ΔABC 面積可知 2a × b ×¹

2= √𝑎²+ 𝑏²×𝐵𝐸×¹

2

√𝑎²+𝑏²

𝐴𝐸² = 𝑎²+ 𝑏²—^4𝑎²^𝑏²

𝑎²+𝑏² = ^(𝑎²^{− 𝑏}²⁾²

𝑎²+𝑏² ,得𝐴𝐸 =^|𝑎²^{− 𝑏}²^|

√𝑎²+𝑏² = ^𝑏²^{− 𝑎}²

√𝑎²+𝑏²

設

∠

BAD= ∠CAD=α，

∠

ABE=β,

∠

ACD= ∠ABD=γ，且 γ=α+β 在 ΔABD 中，tanγ=^𝐴𝐷

𝐵𝐷=^𝑏

𝑎 ,arctan^𝑏

𝑎=γ

在 ΔABE 中，tan2α=^𝐵𝐸

𝐴𝐸=

2𝑎𝑏

√𝑎2+𝑏2 𝑏2− 𝑎2

√𝑎2+𝑏2

= ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²

arctan ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²= 2α，α=¹

2arctan ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²

在 ΔBCE 中，α+γ= 90^°= ^𝜋

2,故¹

2arctan ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²+arctan^𝑏

𝑎= 90^°=^𝜋

2

(11)

在 ΔABD 中，tanα=^𝐵𝐷

𝐴𝐷= ^𝑎

𝑏， arctan^𝑎

𝑏=α,2arctan^𝑎

𝑏 = 2α 在 ΔABE 中，tanβ=^𝐴𝐸

𝐵𝐸= ^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 ,arctan^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 =β 在 ΔABE 中，2α+β= 90^°= ^𝜋

2,故 2arctan^𝑎

𝑏+arctan^𝑏

2−𝑎²

2𝑎𝑏 = 90^°= ^𝜋

2

可推得 2arctan^𝑎

𝑏+arctan^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 = ¹

2arctan ^2𝑎𝑏

𝑎 = ^𝜋

2

第五式介紹

(１)第五式證明:

arctanφ-2 arctan(¹

𝜑) = arctan(¹

2)-(¹

2)arctan2 在 ΔBCE 中，tanγ= ¹

(√5−1) 2

=^√5+1

2 =φ 故 arctanφ=γ

√5−1 2 1 = ¹

𝜑)=α，2arctan(¹

𝜑)= 2α 在 ΔABE 中， tanβ=

1 2 1 =¹

2，故 arctan(¹

2)=β 在 ΔABE 中，tan2α= ¹₁

2

= 2 ，故 arctan2=2α，¹

2arctan2 = α arctanφ- 2 arctan(¹

𝜑) = arctan(¹

2)-(¹

2)arctan2

⇒

γ-2α=β-α

⇒

γ=β+α

因 ΔABC 為等腰三角形，故得證

(12)

(2)我們將第五式推廣成定理五定理五:arctan^𝑏

𝑎 -2arctan^𝑎

2𝑎𝑏 -arctan ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²

證明:

因為 ΔABC 是等腰三角形由圖可知𝐴𝐵 = √𝑎²+ 𝑏² = 𝐴𝐶 由 ΔABC 面積可知 2a × b × ¹

2= √𝑎²+ 𝑏² × 𝐵𝐸 × ¹

2

√𝑎²+𝑏²

𝐴𝐸² = 𝑎²+ 𝑏²− ^4𝑎²^𝑏²

𝑎²+𝑏² = ^(𝑎²^{− 𝑏}²⁾²

𝑎²+𝑏² ，得𝐴𝐸 = ^|𝑎²^{− 𝑏}²^|

√𝑎²+𝑏²

= ^𝑏²^{− 𝑎}²

√𝑎²+𝑏²

設

∠

BAD= ∠CAD=α,

∠

ABE=β,

∠

ACD= ∠ABD=γ，且 γ=α+β 在 ΔABD 中，tanγ=^𝐴𝐷

𝐵𝐷=^𝑏

𝑎、tanα=^𝐵𝐷

𝐴𝐷= ^𝑎

𝑏

在 ΔABE 中，tanβ=^𝐴𝐸

𝐵𝐸= ^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 、tan

∠

2α=^𝐵𝐸

𝐴𝐸=

2𝑎𝑏

√𝑎2+𝑏2 𝑏2− 𝑎2

√𝑎2+𝑏2

= ^2𝑎𝑏

𝑏²− 𝑎²

從原式證明的 γ- 2α=β-α 可得 arctan^𝑏

𝑎 -2arctan^𝑎

𝑏²− 𝑎²

(13)

第六式介紹

(１)第六式證明:

arctanφ= ^𝜋

4 ＋ (¹

2)arctan(¹

2) 在 ΔBCE 中，tanγ= ¹

(√5−1) 2

=^√5+1

2 =φ，由圖可知

∠

γ= ∠α+β

在 ΔABE 中，tanβ=

1 2 1 =¹

2，故 arctan(¹

2)=β，(¹

2)arctan(¹

2)= ^𝛽

2

而由定理(四)可知 ^𝜋

2 = β+2α，故 ^𝜋

4 = α+^𝛽

2

故 arctan(φ)=γ=α+β，代入原式(α+β)= (α+^𝛽

2)+^𝛽

2，故得證

(2)我們將第六式推廣成定理六定理:arctan^𝑏

𝑎= ^𝜋

4+¹

2arctan^𝑏

2−𝑎² 2𝑎𝑏

(14)

因為 ΔABC 是等腰三角形由圖可知𝐴𝐵 = √𝑎²+ 𝑏² = 𝐴𝐶

由 ΔABC 面積可知 2a × b ×¹₂= √𝑎²+ 𝑏²×𝐵𝐸×¹

2

√𝑎²+𝑏²

𝐴𝐸² = 𝑎²+ 𝑏²− ^4𝑎²^𝑏²

𝑎²+𝑏² = ^(𝑎²^{− 𝑏}²⁾²

𝑎²+𝑏² ,得𝐴𝐸 = ^|𝑎²^{− 𝑏}

2|

√𝑎²+𝑏²

= ^𝑏²^{− 𝑎}²

√𝑎²+𝑏²

在 ΔABD 中,tanγ=^𝐴𝐷

𝐵𝐷= ^𝑏

𝑎、tanα=^𝐵𝐷

𝐴𝐷=^𝑎

𝑏

在 ΔABE 中,tanβ=^𝐴𝐸

𝐵𝐸= ^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 ,故 arctan^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 =β,¹

2arctan^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 =¹

2β 而由原式可知 ^𝜋

2 = 2α+β，故 ^𝜋

4 = α+^𝛽

2

γ=α+β= (α+^𝛽

2)+^𝛽

2

可推得 arctan^𝑏

𝑎= ^𝜋

4+¹

2arctan^𝑏

2−𝑎² 2𝑎𝑏

將上述六個我們研究出的定理整理如下(b＞a)

定理一:arctan(^𝑏_𝑎)=arctan(^𝑏²^−𝑎²

2𝑎𝑏 ) + ¹

2arctan( ^2𝑎𝑏

𝑏²−𝑎²) 定理二:arctan^𝑏

𝑎-arctan^𝑎

2𝑎𝑏

定理三:2arctan^𝑎

𝑏²− 𝑎²

定理四:2arctan^𝑎

𝑏+arctan^𝑏

2−𝑎² 2𝑎𝑏 = ¹

2arctan ^2𝑎𝑏

𝑎

定理五:arctan^𝑏

𝑎 -2arctan^𝑎

𝑏²− 𝑎²

定理六:arctan^𝑏

𝑎= ^𝜋

4+¹

2arctan^𝑏

2−𝑎² 2𝑎𝑏

(15)

推廣（一）: 費氏數列

我們先利用定理一作為探討對象，把費氏數列的前項以及後項分別當成分母和分子代入:

令分母=¹

2底=a，分子=高=b

當 a=1，b=2 時，可得上面的 arctan2=α+β

將我們所得出的代入一般式得 arctan³

4=β，arctan⁴

3=2α，¹

2arctan⁴

3=α

∴arctan2=arctan³

4+¹

2arctan⁴

3

(16)

當 a=2，b=3 時，可得上面的 arctan³

2=α+β

將我們所得出的代入一般式得 arctan⁵

12=β，arctan¹²

5 =2α，¹

2arctan¹²

5 =α

∴arctan³

2=arctan⁵

12+¹

2arctan¹²

5

以此類推，我們繼續往下運算了幾次，並製作了一張表格

公式^𝑏_𝑎(b＞a) arctan(^𝑏_𝑎)=arctan(^𝑏

2−𝑎² 2𝑎𝑏 ) + ¹

2arctan( ^2𝑎𝑏

𝑏²−𝑎²) 2

1

arctan(^𝑓³

𝑓₂)=arctan(³

4) + ¹

2arctan(⁴

3) 3

2

arctan(^𝑓_𝑓⁴

3

)=arctan(⁵

12) + ¹

2arctan(¹²

5) 5

3

arctan(^𝑓_𝑓⁵

4

)=arctan(¹⁶

30) + ¹

2arctan(³⁰

16) 8

5

arctan(^𝑓_𝑓⁶

5

)=arctan(³⁹

80) + ¹

2arctan(⁸⁰

39)

設費氏數列為𝑓_𝑛 由上圖三角形

設 a= 𝑓_𝑛 b= 𝑓_𝑛+1 並代入公式(一) 當 n>=2 時

則 arctan(^𝑓^𝑛+1

𝑓_𝑛 )= arctan(^𝑓^𝑛+1

2−𝑓𝑛2 2𝑓_𝑛+1𝑓_𝑛 ) +¹

2arctan( ^2𝑓^𝑛+1^𝑓^𝑛

𝑓_𝑛+1²−𝑓𝑛2) 又¹

2arctan( ^2𝑓^𝑛+1^𝑓^𝑛

𝑓_𝑛+1²−𝑓𝑛2)=¹

2 ∠2α= ∠α=arctan(^𝑎

𝑏)= arctan( ^𝑓^𝑛

𝑓_𝑛+1) 故可推得定理七: arctan(^𝑓^𝑛+1_𝑓

𝑛

)= arctan(^𝑓^𝑛+1

2−𝑓𝑛2

2𝑓_𝑛+1𝑓𝑛 ) + arctan(_𝑓^𝑓^𝑛

𝑛+1

)

延伸研究:凹凸四邊形的反三角函數研究

(17)

研究緣由:在探究前面的式子時，我們遇到了些研究瓶頸，想不到該延伸至何處，就在這時，

我們靈光一閃，想難道反三角函數只能讓區區兩角相加嗎。所以我們便開始讓多個角進行相加，試圖找出多個角相加的反三角函數式。首先便是四邊形的推廣。

對於四邊形的要求，我們先指定為一個凹四邊形(鏢型)ABCD，並固定其兩邊長𝐴𝐵、𝐴𝐷、以 𝐵𝐷內的點作為 C 點找出鏢型 ABCD，並藉由代數、三角函數、向量等等數學工具找出反三角函數與鏢型 ABCD 四個角的對應關聯。

*固定 A,B,D 點，調整 C 點座標 1. A(0,0) B(3,4) C(4,1) D(5,0)

∠

BAD+

∠

ADC+

∠

ABC= ∠BCD

∠

BCD=arctan(⁻¹

2)

∠

BAD=arctan(⁴

3)

∠

ABC=arctan(¹³

9)

∠

ADC=arctan(1) arctan(⁻¹

2)=arctan(⁴

3)+arctan(¹³

9)+arctan(1) 同理設 C(x,y)

(18)

故 AB 向量(3,4)BA 向量(-3,-4) BC 向量(X-3,Y-4)CB 向量(3-X,4-Y) CD 向量(5-X,-Y)DC 向量(X-5,Y) DA 向量(-5,0)AD 向量(5,0)

(1)cos

∠

BCD= ^{𝐶𝐵⃑∙𝐶𝐷⃑}

|𝐶𝐵⃑| |𝐶𝐷⃑|，cos

∠

BCD= ^𝑋²^+𝑌²^{−8𝑋−4𝑌+15}

√𝑋²+𝑌²−6𝑋−8𝑌+25√𝑋²+𝑌²−10𝑋+25

，tan

∠

BCD= ^{−4𝑋−2𝑌+20}

𝑋²+𝑌²−8𝑋−4𝑌+15

(2)cos

∠

BAD= ^{𝐴𝐵⃑∙𝐴𝐷⃑}

|𝐴𝐵⃑| |𝐴𝐷⃑|，cos

∠

BAD=^{3𝑥5+4𝑥0}

5𝑥5 =³

5，tan

∠

BAD=⁴

3

(3)cos

∠

ADC= ^{𝐷𝐴⃑∙𝐷𝐶⃑}

|𝐷𝐴⃑| |𝐷𝐶⃑|，cos

∠

ADC= ^25−5𝑋

√𝑋²+𝑌²−10𝑋+25√25

，tan

∠

ADC= ^𝑌

5−𝑋 (4)cos

∠

ABC= ^{𝐵𝐴⃑∙𝐵𝐶⃑}

|𝐵𝐴⃑| |𝐵𝐶⃑|，cos

∠

ABC= ^{25−3𝑋−4𝑌}

√𝑋²+𝑌²−6𝑋−8𝑌+25√25

，tan

∠

ABC= ^{4𝑋−3𝑌}

−3𝑋−4𝑌+25

結合(1)(2)(3)(4)可推得下列一般式:

arctan( ^{−4𝑋−2𝑌+20}

𝑋²+𝑌²−8𝑋−4𝑌+15)=arctan(⁴

3)+arctan( ^{4𝑋−3𝑌}

−3𝑋−4𝑌+25)+arctan( ^𝑌

5−𝑋)

∠

BAD+

∠

ABC+

∠

ADC= ∠BCD

(19)

∠

BCD=arctan(⁻¹⁵

8 )

∠

BAD=(^𝜋

2)

∠

ABC=arctan(¹

4)

∠

ADC=arctan(¹

4) arctan(⁻¹⁵

8 )= ^𝜋

2+arctan(¹

4)+arctan(¹

4) 同理設 C(x,y)

故 AB 向量(0,5)BA 向量(0,-5) BC 向量(X,Y-5)CB 向量(-X,5-Y) CD 向量(5-X,-Y)DC 向量(X-5,Y) DA 向量(-5,0)AD 向量(5,0)

(1)cos

∠

BCD=|𝐶𝐵⃑| |𝐶𝐷⃑|^{𝐶𝐵⃑∙𝐶𝐷⃑} ，cos

∠

BCD= ^𝑋²^+𝑌²^{−5𝑋−5𝑌}

√𝑋²+𝑌²−10𝑌+25√𝑋²+𝑌²−10𝑋+25

，tan

∠

BCD= ^{5𝑋+5𝑌−25}

𝑋²+𝑌²−5𝑋−5𝑌

(2)

∠

BAD=90 度=^𝜋

2

(3)cos

∠

ADC= ^25−5𝑋

√𝑋²+𝑌²−10𝑋+25√25

，tan

∠

ADC= ^𝑌

5−𝑋 (4)cos

∠

ABC= ^25−5𝑌

√𝑋²+𝑌²−10𝑌+25√25

，tan

∠

ABC= ^𝑋

5−𝑌

arctan( ^{5𝑋+5𝑌−25}

𝑋²+𝑌²−5𝑋−5𝑌)=arctan( ^𝑋

5−𝑌)+arctan( ^𝑌

5−𝑋)+(^𝜋

2)

(20)

∠

BAD+

∠

ABC+

∠

ADC= ∠BCD

∠

BCD=(^𝜋

2)

∠

BAD=arctan(¹²

25)

∠

ABC=arctan(³

4)

∠

ADC=arctan(³

4)

𝜋

2=arctan(¹²

25)+arctan(³₄)+arctan(³₄) 同理設 C(x,y)

故 AB 向量(3,4)BA 向量(-3,-4) BC 向量(X-3,Y-4)CB 向量(3-X,4-Y) CD 向量(4-X,3-Y)DC 向量(X-4,Y-3) DA 向量(-4,-3)AD 向量(4,3)

(1)cos

∠

BCD= ^𝑋²^+𝑌²^{−7𝑋−7𝑌+24}

√𝑋²+𝑌²−6𝑋−8𝑌+25√𝑋²+𝑌²−8𝑋−6𝑌+25

,tan

∠

BCD=( ^{𝑥+𝑦−7}

𝑋²+𝑌²−7𝑥−7𝑦+29) (2)cos

∠

BAD=^{3𝑥4+4𝑥3}

5𝑥5 =²⁴

25，tan

∠

BAD= ⁷

24

(3)cos

∠

ADC= ^{25−4𝑋−3𝑌}

√𝑋²+𝑌²−8𝑋−6𝑌+25√25

，tan

∠

ADC= ^{3𝑋−4𝑌}

25−4𝑋−3𝑌

(4)cos

∠

ABC=|𝐵𝐴⃑| |𝐵𝐶⃑|^{𝐵𝐴⃑∙𝐵𝐶⃑} ，cos

∠

ABC= ^{25−3𝑋−4𝑌}

√𝑋²+𝑌²−6𝑋−8𝑌+25√25

，tan

∠

ABC= ^{4𝑋−3𝑌}

25−3𝑋−4𝑌

arctan( ^{𝑥+𝑦−7}

𝑋²+𝑌²−7𝑥−7𝑦+29)=arctan(⁷

24)+arctan( ^{4𝑥−3𝑦}

−3𝑥−4𝑦+25)+arctan( ^{3𝑥−4𝑦}

−4𝑥−3𝑦+25)

(21)

∠

BAD+

∠

ABC+

∠

ADC= ∠BCD

∠

BCD=arctan(−2)，

∠

BAD=arctan(³

4)，

∠

ABC=arctan(⁴

3)

∠

ADC=arctan(2) arctan(-2)=arctan(³

4)+arctan(⁴

3)+arctan(2) 同理設 C(x,y)

故 AB 向量(4,3)BA 向量(-4,-3) BC 向量(X-4,Y-3)CB 向量(4-X,3-Y) CD 向量(5-X,-Y)DC 向量(X-5,Y) DA 向量(-5,0)AD 向量(5,0)

(1)cos

∠

BCD= ^𝑋²^+𝑌²^{−9𝑋−3𝑌+20}

√𝑋²+𝑌²−8𝑋−6𝑌+25√𝑋²+𝑌²−10𝑋+25

，tan

∠

BCD= ^{−3𝑥−𝑦+15}

𝑋²+𝑌²−9𝑥−3𝑦+20

(2)cos

∠

BAD=^{4𝑥5+3𝑥0}

5𝑥5 =⁴

5，tan

∠

BAD=³

4

(3)cos

∠

ADC= ^25−5𝑋

√𝑋²+𝑌²−10𝑋+25√25

，tan

∠

ADC= ^𝑌

5−𝑋 (4)cos

∠

ABC= ^{25−4𝑋−3𝑌}

√𝑋²+𝑌²−8𝑋−6𝑌+25√25

，tan ^{3𝑥−4𝑦}

(22)

arctan( ^{−3𝑥−𝑦+15}

𝑋²+𝑌²−9𝑥−3𝑦+20)=arctan(³

−4𝑥−3𝑦+25)+arctan( ^𝑦

−𝑥+5)

將上述整理為以下 4 個一般式:

1. A(0,0) B(3,4) C(X,Y) D(5,0) arctan( ^{−4𝑋−2𝑌+20}

𝑋²+𝑌²−8𝑋−4𝑌+15)=arctan(⁴

3)+arctan( ^{4𝑋−3𝑌}

−3𝑋−4𝑌+25)+arctan( ^𝑌

5−𝑋) 2. A(0,0) B(0,5) C(X,Y) D(5,0)

arctan( ^{5𝑋+5𝑌−25}

𝑋²+𝑌²−5𝑋−5𝑌)=arctan( ^𝑋

5−𝑌)+arctan( ^𝑌

5−𝑋)+(^𝜋

2) 3. A(0,0) B(3,4) C(X,Y) D(4,3)

arctan( ^{𝑥+𝑦−7}

𝑋²+𝑌²−7𝑥−7𝑦+24)=arctan(⁷

−3𝑥−4𝑦+25)+arctan( ^{3𝑥−4𝑦}

−4𝑥−3𝑦+25) 4. A(0,0) B(4,3) C(X,Y) D(5,0)

arctan( ^{−3𝑥−𝑦+15}

𝑋²+𝑌²−9𝑥−3𝑦+20) =arctan(³

−4𝑥−3𝑦+25)+arctan( ^𝑦

−𝑥+5)

將上述四個一般式在進行更深層的一般式推廣，且不再拘泥於𝐴𝐵、𝐴𝐷需要等長

設 A(0,0),B(𝑎₁,𝑏₁),C(x,y),D(𝑎₂ ,𝑏₂)

故 AB 向量(𝑎₁,𝑏₁)BA 向量(-𝑎₁,-𝑏₁) BC 向量(X-𝑎₁,Y-𝑏₁)CB 向量(𝑎₁-X,𝑏₁-Y) CD 向量(𝑎₂-X,𝑏₂-Y)DC 向量(X-𝑎₂,Y-𝑏₂) DA 向量(-𝑎₂,-𝑏₂)AD 向量(𝑎₂,𝑏₂)

(1)cos

∠

BCD=^𝑎¹^𝑎²^{− 𝑎}¹^{𝑥− 𝑎}²^{𝑥 + 𝑥}

2 + 𝑏₁𝑏₂− 𝑏₁𝑦 − 𝑏₂𝑦 + 𝑦²

√(𝑎₁−𝑥)²+ (𝑏₁−𝑦)² √(𝑎₂−𝑥)²+ (𝑏₂−𝑦)²

，tan

∠

BCD= ^(𝑏¹^−𝑏²^)𝑥+(𝑎²^−𝑎¹^)𝑦+(𝑎¹^𝑏²^−𝑎²^𝑏¹⁾

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)

(2)cos

∠

BAD= ^𝑎¹^𝑎²^{+ 𝑏}¹^𝑏²

√𝑎₁²+ 𝑏₁² √𝑎₂²+ 𝑏₂²

，tan

∠

BAD=^𝑎²^𝑏¹^−𝑎¹^𝑏²

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂

(3)cos

∠

ADC= ^{− 𝑎}²^{𝑥 + 𝑎}²

2 − 𝑏₂𝑦 + 𝑏₂²

√(−𝑎₂ )²+ (−𝑏₂ )² √(𝑥−𝑎₂)²+ (𝑦− 𝑏₂)²

(23)

，tan

∠

ADC= ^𝑎²^𝑦−𝑏²^𝑥

−𝑎₂𝑥−𝑏₂𝑦+𝑎₂²+𝑏₂² (4)cos

∠

ABC= ^{− 𝑎}¹^{𝑥 + 𝑎}¹

2 − 𝑏₁𝑦 + 𝑏₁²

√(𝑎₁ )²+ (𝑏₁ )² √(𝑥−𝑎₁)²+ (𝑦− 𝑏₁)²

，tan

∠

ABC= ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

−𝑎₁𝑥−𝑏₁𝑦+𝑎₁²+𝑏₁²

在(1)(2)(3)(4)後即可得到

定理八 : arctan( ^(𝑏¹^−𝑏²^)𝑥+(𝑎²^−𝑎¹^)𝑦+(𝑎¹^𝑏²^−𝑎²^𝑏¹⁾

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)) = arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

−𝑎₁𝑥−𝑏₁𝑦+𝑎₁²+𝑏₁²) + arctan( ^𝑎²^𝑦−𝑏²^𝑥

−𝑎₂𝑥−𝑏₂𝑦+𝑎₂²+𝑏₂²) + arctan(^𝑎²^𝑏¹^−𝑎¹^𝑏²

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)

*ps 此處的定理八暫可用在四銳角情況下使用

推廣:多邊形四角因為上面的四個角在不同角度下的變化

因為定理八只能用在四銳角的狀況下，故我們決定探討四角在非四銳角情形下，對多邊形反正切函數式的影響。首先我們先著重探討凹四邊形的情況:

前提定義: arctan 值轉換出的角度，我們將其界定於 -^𝜋

2 與 ^𝜋

2 之間故角度介於0^。與 ^𝜋

2 之間時，原角度即為 arctan 值所對應的角度則角度介於^𝜋

2與 𝜋 之間時，原角度即為 arctan 值所對應的角度+ 𝜋 則角度介於

𝜋

與 ^3𝜋

2 之間時，原角度即為 arctan 值所對應的角度+ 𝜋 最後角度介於^3𝜋

2與 2𝜋 之間時，原角度即為 arctan 值所對應的角度+ 2𝜋

狀況一: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D 皆為銳角，得

arctan( ^(𝑏¹^−𝑏²^)𝑥+(𝑎²^−𝑎¹^)𝑦+(𝑎¹^𝑏²^−𝑎²^𝑏¹⁾

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂))=

arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

2 2)+arctan( ^𝑎²^𝑦−𝑏²^𝑥₂ ₂)+arctan(^𝑎²^𝑏¹^−𝑎¹^𝑏²

𝑎 𝑎 +𝑏 𝑏 )

B

D A

C

(24)

狀況二:90^。< ∠𝐴 < 180^。，

∠

B, ∠C, ∠D 皆為銳角，得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂))+𝜋 = arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

−𝑎₁𝑥−𝑏₁𝑦+𝑎₁²+𝑏₁²)+arctan( ^𝑎²^𝑦−𝑏²^𝑥

−𝑎₂𝑥−𝑏₂𝑦+𝑎₂²+𝑏₂²)+arctan(^𝑎²^𝑏¹^−𝑎¹^𝑏²

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂) 我們將此定義為定理九

狀況三:90^。< ∠𝐴 < 180^。，

∠

B, ∠C, ∠D 其中一角> 90^。且< 180^。，剩餘兩角為銳角，得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)) + 𝜋 = arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂) + 𝜋 𝜋互相抵銷推得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂))=

接下來我們探討幾個凸多邊形的狀況:

狀況四: 180^。< ∠𝐴 < 270^。，∠B, ∠C, ∠D 其中一角> 90^。且< 180^。，剩餘兩角為銳角，則

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)) = + 𝜋 arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂) + 𝜋 將 𝜋 抵銷後，即得到

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂))=

狀況五: 180^。< ∠𝐴 < 270^。，

∠

B, ∠C, ∠D 其中一角> 180^。且< 270^。，餘兩角為銳角，得

arctan( ^(𝑏¹^−𝑏²^)𝑥+(𝑎²^−𝑎¹^)𝑦+(𝑎¹^𝑏²^−𝑎²^𝑏¹⁾ ) = + 𝜋

C B

D

A

(25)

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂) + 𝜋 將 𝜋 抵銷後，即得到

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂))=

狀況六: 270^。< ∠𝐴 < 360^。，

∠

B, ∠C, ∠D 其中二角> 90^。且< 180^。，剩餘一角為銳角，得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)) + 2 𝜋 = arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

−𝑎₂𝑥−𝑏₂𝑦+𝑎₂²+𝑏₂²) + 𝜋 + arctan(^𝑎²^𝑏¹^−𝑎¹^𝑏²

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂) + 𝜋 將

𝜋

抵銷後，即可得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)) = arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

狀況七: 180^。< ∠𝐴 < 270^。，60^。 < ∠B, ∠C, ∠D < 90^。，得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂))+𝜋 = arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂) 狀況八: 270^。< ∠𝐴 < 360^。，三鈍角90^。 < ∠B, ∠C, ∠D < 120^。，得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂))+2 𝜋 = arctan( ^−𝑏¹^𝑥+𝑎¹^𝑦

−𝑎₁𝑥−𝑏₁𝑦+𝑎₁²+𝑏₁²) +𝜋 +arctan( ^𝑎²^𝑦−𝑏²^𝑥

−𝑎₂𝑥−𝑏₂𝑦+𝑎₂²+𝑏₂²) +𝜋 +arctan(^𝑎²^𝑏¹^−𝑎¹^𝑏²

𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)+𝜋 將

𝜋

削去後可得

𝑥²+𝑦²−(𝑎₁+𝑎₂)𝑥−(𝑏₁+𝑏₂)𝑦+(𝑎₁𝑎₂+𝑏₁𝑏₂)) =

−𝑏 𝑥+𝑎 𝑦 𝑎 𝑦−𝑏 𝑥 𝑎 𝑏 −𝑎 𝑏

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書