國立台灣師範大學

國立台灣師範大學

機電科技學系

工 程 數 學 (一)

Engineering Mathematics ( I )

授課老師：楊啟榮 博士

Office: 科技學院 Room 工 B03 TEL: (02) 7734-3506

0955-052-392

E-mail: ycr@ntnu.edu.tw

課 程 設 計

課 號： MTU0009 名 稱：工程數學

英文名稱 ：Engineering Mathematics ( I ) 學 分：3

類 別：必修

適修年級 ：大學部二、三年級生

課程大綱 ：本科目旨在協助學生瞭解工程數學之基本原理、運算技巧及其在工程上 之實際應用。課程範圍涵蓋一階常微分方程式、二階及高階線性微分方 程式、微分方程式系統、微分方程式之級數解、Laplace 轉換、矩陣與行 列式等線性代數等單元。

對 象：具數理背景知識之大學生 授課老師 ：楊啟榮 博士

課程講義 ：E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, 2011 評分考試 ：期中考 I (40%)、期中考 II (30%)、期末考 (30%) 。

作弊者一律送學務處議處，作弊是可恥的行為，淘汰率佔全班人數 1/10~1/5(不用功)~1/3(很不用功)，班級有作弊行為發生，淘汰率 1/2。

z 上課原則(特例除外)：

1. 上課遲到十分鐘，不准於該節進教室(記曠課一次)。

2. 無故曠課三次(即缺課十五次)，本人期中考、期末考扣考(不定時點名)。

3. 事假、病假必須於上課前，以簡訊、E-mail 請假，或由可信賴之同學轉告。

4. 上課手機關機，鈴聲響起扣期末成績 5 分。

z 課程輔導時間：請參考楊啟榮 博士本學期之授課時間表(只要是上班時間沒有排 課的時段，均歡迎學生至研究室與老師討論)。

機電系考試試場規則

100.05.26 99 學年度第 6 次系務會議通過

1. 考試時桌面禁止放置手機，考試過程亦不得使用。

2. 桌面禁止放置皮夾與文具盒。

3. 禁止使用翻譯機。

4. 考試時如需上廁所應向師長登記。

5. 考試時不得有交談、偷看、抄襲、傳遞、夾帶、頂替或其他舞弊情 事，一經確認上述行為該科學期成績 0 分，並依系務會議決議記大 過乙次，且不得銷過。

6. 作弊一經確認，名單送交全系老師，不得推甄本系研究所，推甄外 校者，本系師長不會幫忙寫推薦信。

7. 作弊一經確認，該生的每學期修課課程，將個別通知本系授課教師

特別注意！

工程數學課程防止作弊的作法

1. 授課老師親自監考，再外加至少一位助教。

2. 每次考試隨機排定座位(學號與班級會盡量錯開)，當場才公佈座 位。

3. 桌面不准出現手機。

4. 桌面不准出現皮夾與文具盒。

5. 禁止使用翻譯機。

6. 檢查有照片的證件，避免發生頂替應試。

7. 管制上廁所的次數與時間。

8. 只能用傳統計算機(不能使用其他計算器)，但不能有夾層外殼。

9. 不會事先勾問題給學生，以避免發生作弊的機會與慾望，也增加學 生學習的強度。

10. 降低考例題的機會(有些學生根本是用背的….)，出題範圍以習題與 類似題為主，學生應該培養舉一反三的能力。

11. 作弊一經確認，該科期末成績○分，並送學務處議處，建議校方直 接退學。

12. 作弊一經確認，名單送交全系老師手中，不得推甄本系研究所，推 甄外校者建議本系全部師長不要幫忙寫推薦信。

13. 作弊一經確認，您的每學期修課課程，系上都會個別通知授課教師 特別注意您！

14. 作弊一經確認，您的高中母校學弟妹推甄本系時，會受到系上老師

主觀印象影響，影響錄取之機會。

國立台灣師範大學機電科技學系課程綱要表

開課系級 二 上 3

科目 名稱

工程數學(一)

必修

選修 必

學

分 下

先修

科目 微積分

壹、教學目標

本科目旨在協助學生瞭解工程數學之基本原理、運算技巧及其在工程上 之實際應用。課程範圍涵蓋一階常微分方程式、二階及高階線性微分方 程式、微分方程式系統、微分方程式之級數解、Laplace 轉換、矩陣與 行列式等線性代數等單元。

貳、預定教學進度

1. 一階常微分方程式

2. 二階線性微分方程式………期中考( I )(40%) 3. 高階線性微分方程式

4. 微分方程式系統………期末考(30%) 5. Laplace 轉換………期中考( II ) (30%) 6. 線性代數：矩陣、向量與行列式

7. 線性代數：矩陣特徵值問題 參、實施方式

講述法、討論法、測驗及習題解析 肆、參考書目

1. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2011

2. Peter V. O’Neil, Advanced Engineering Mathematics, 7th Edition, Brooks/Cole Publishing Company, London, 2011

英文名稱 Engineering Mathematics ( I ) 任課教師 楊啟榮

微積分修不好的同學，務必更努力 ，否則被當的機率很大．．．

課程相關教材或參考資料 Text book:

E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, 2011

References:

1. Peter V. O’Neil, Advanced Engineering Mathematics, 7th Edition, Baker & Taylor Books, London, 2011

2. Dennis G. Zill, Advanced Engineering Mathematics, 4th Edition, Jones & Bartlett Publishers, Boston, 2011

數學學習對工程設計與分析的重要性

In the engine shown in Figure, a 7-inch connecting rod is fastened to a crank of radius 3 inches. The crankshaft rotates counterclockwise at a constant rate of 200 rpm (revolutions per minute). Find the velocity (i.e.,

dx dt

θ π = 3

【Solution】

The velocity of a piston is related to the angle of the crankshaft.

Crank(曲柄)

Piston (silder 滑塊)

Find the relation between x and θ by law of Cosines.

Law of Cosines.

等號兩邊取微分

已知值

θ π = 3

200(2 ) rads/min d

dt

θ = π

未知值 x=?

可寫程式 run 出數值，並電腦繪出曲柄 轉一圈時，滑塊的位移、速度、加速度、

輸出力變化圖，甚至是呈現動畫。

2

. dx d x2 (0 ~ 2 )

x vs

dt dt

θ π

即 或 或 曲柄-滑塊機構

θ π

曲柄-滑塊機構傳動之運動分析曲線

http://cmee.cumt.edu.cn/jxyl/jixieyuanlikejian/wlkj14/3-1.html 模擬曲柄-滑塊機構傳動之視窗軟體

建立數學分析與運算能力，以及程式撰寫與運用的能力，對自己

未來的職場生涯會有很大的助益！請學生時代即建立此一能力！

工程數學的學習要點(步驟)與重要性

(一) 觀察與確認物理系統

1. 固力學問題 2. 振動學問題 3. 熱傳學問題 4. 流力學問題 5. 機構學問題 6. 電子電路問題

…...等等工程領域問題。

(二) 建立系統數學方程式(Governing equation) (建模)

建模就是將實際的系統以一具有相同特性的物理模型來取代，並將物理模型依 定律、法則描述成數學模式。透過假設把實際的系統行為以數學語言表達出來，

特別是在電腦普及便利的今天，利用數學模型有利於分析、設計與模擬。例如 設計衛星的姿態控制器，我們不可能把一枚衛星直接搬到設計桌上設計控制 器，亦不可能每設計一控制器就直接施加於衛星上作測試。

例：圖 1系統之運動方程式

ΣF = m a (向下為正)

(三) 工程數學之應用(數學方程式求解)

1. 常微分方程式 2. Laplace 轉換

3. 線性代數：向量、矩陣、行列式 4. 向量微分與向量積分

5. Fourier 級數積分與轉換 6. 偏微分方程式

…...等等解題技巧。

圖 1. 簡諧振動系統示意圖

解常微分方程式得

，其中

不同物理系統，必須 建立不同類型的數 學方程式，因此必須 有不同的解方程式 技巧。

工程數學即用以解不同類型數學 方程式(理工領域)之一門學問，不 同方程式需要不同解題技巧。

振幅

相位

求解 x (工數技巧)

(四) 分析與應用(並解釋結果)

整理上式成

再利用以下參數作整理 (使式子更具物理意義，並方便寫電腦程式)

(a) 式

(b) 式

寫程式將(a)式與(b)式作電腦繪圖並分析其結果

上頁式子，分子分母同除以 k

自然頻率 臨界阻尼

阻尼係數

寫程式 run 出數 值，並電腦繪出 以下圖形

重要!!

解釋圖形曲線所代表的意義，並 據此了解實際產生的物理現象。

僅由數學分析即可獲得重要結 果，這就是學習數學的主要目的。

振幅趨近於無窮大(共振現象)

ωn：自然頻率；ω n：操作頻率 強制振動無阻尼時，當ω/ωn =1 會產 生共振現象，應該加以避免。

1. 增加阻尼 c 可以抑制共振。

2. 改變 m, k，即改變自然頻率ωn。 3. 避免操作頻率ω接近ωn。