提要

(1)

提要 218：三度空間中之平面表示法

三度空間中之平面表示法至少有兩種，一是純量表示法，另一是向量表示法，說明如下。

三度空間中之平面表示法

三度空間中之平面表示法至少有兩種，說明如下：

1. 利用兩向量之內積表示一平面(純量表示法)：如圖 1 所示，平面上任意點之位置向量r



x,y,z



在垂直法線向量a



a1,a2,a3



上的投影量為定值，故r ac 表一平面，此平面方程式亦可表為a₁xa₂ya₃z c。

圖 1 平面上任意點之位置向量^r ^



^x^,^y^,^z



在垂直法線向量 a 上的投影量為定值

(2)

2. 利用參數式表示一平面(向量表示法)：曲線需要一個參數 t 才能將曲線表明出 來，曲面則需要兩個參數 u、v 才能將曲面表明出來，平面是曲面的一種，故平 面亦然。如圖 2 所示，平面上之任意點



x,y,z



所構成的位置向量 r 可由參數 u、

v 之調整得知，即 r = r(u,v) ，其中參數 u、v 表曲線之座標變數。

圖 2 以 r(u,v)表示平面之示意圖

(3)

範例一

試說明平面方程式4x yz 7之向量表示法。

解答：

令u x、v ，由平面方程式知y z4x y74uv7，故平面上之任意點



x,y,z



所構成的位置向量 r 為：

 

k

j i k j i

r x  y z u v  4uv7

利用以上位置向量 r 即可描繪出整個平面，此即為該平面之向量表示法。

註：只要兩個參數即可表示曲面或平面之位置向量，即r = r(u,v)。