第二章 三角函數及其應用

第二章 三角函數及其應用

2-1 有向角及其度量

角的度量與換算

1.六十分制

將一圓周分割成 360 等分，每一等分的弧所對應的圓心角，稱為一度。所以，

一個圓有 360 度，1 度有 60 分（

1 60'

） ， 1 分有 60 秒（

1' 60''

） 。 2.弧度制

在一圓周上，取一弧長等於半徑的弧，則此弧所對應的圓心角稱為一弧度（或一弳） ，圓 周長為 2  r ，所以一個圓有  

2  2 r

r 弧度，又一弧度約 360 6.28 57.3

   。

3.角度換算

一個圓有 360 ，又一個圓有  2 弳，所以 

360 2

  1

180

  

或



₁₈₀

。

★ 度量單位換算 ★

將下列角度化成弧度制或六十分制：

(1) 120 (2)   225 (3)   5

 12 (4)  (弳)。 3

(1) 2

120 120

180 3

 

   

(2) 5

225 225

180 4

 

       (3) 12 12

180 432 5  5

        (4)

3

弳 180 540

3 ( )

 

      

將下列角度化成弧度制或六十分制：

(1)  315 (2)  540 (3)   2

5 (4)2(弳)。

(1) 7

315 315

180 4

 

       (2) 540 540 3

180

 

   

(3) 5 5

180 450 2    2    (4)2 弳 180 360

2 ( )

 

    

扇形的弧長及面積

扇形的半徑為 r ，弧長所對應的圓心角為  ， 則 弧長

S r

 ，扇形面積

2

2 2

r rS

A



  。

 ^{必須為弧度制。}

重點二

★★ 扇形弧長及面積 ★★

已知扇形之弧長為 8 ，所對應之圓心角為  3

4  _{，求半徑及扇形面積。}

8

S

 ， 4 3

  

S r



 4

8    r 3 

 3

8 6

r    4

面積 1 1

6 8 24

2 2

A  rS      

一扇形之面積值為其所對應之弧長值之 3 倍，求此扇形之半徑。

3 A S

又 1

A  2 rS

 1

3 S  2 rS



r6

標準位置角及同界角

1.標準位置角

(1)

以原點為頂點，以正向_x軸為始邊，所旋轉出來的角度，稱為「標準位置角」。當標準

位置角  的終邊落在第一、二、三、四象限內者，分別稱為第一、二、三、四象限角。

(2)若  的終邊落在坐標軸上，則稱  ^{為象限角。如圖所示。}

2.同界角

終邊相同的標準位置角稱為「同界角」。

…、

690

、

330

、

30

、

390

、

750

、…均為同界角。

其中

30

為所有正同界角中最小的，稱為最小正同界角；

330

為所有負同界角中最大的，稱為最大負同界角。

在…、

_690

、

_330

、

_30

、

_390

、

_750

、…中，任二角之差均為

_360

的倍數。

若 A 、 B 為同界角 則 A B 360k or A B 2k ，k 為整數。

重點三

★ 同界角 ★ 下列哪些是

300

的同界角？

(1) 1020 (2)   300 (3)   660  (4)  780 (5)  2100 。 

(1)

1020 300 720

 是

300

的同界角 (2) 300    ( 300 ) 600   

 不是

300

的同界角 (3) 300 ( 660 ) 960     

 不是

300

的同界角 (4) 300    ( 780 ) 1080   

 是

300

的同界角 (5)

2100 300 1800

 是

300

的同界角

下列哪些是  4

3 的同界角？

(1)  4

5 (2)  4

 5 (3)  4

19 (4)  4

 23

(5)  4 31 。

(1) 5 3 2

4   4   4   不是

(2) 3 5 8

4    ^   4  ^    4   2   是 (3) 19 3 16

4   4   4   4   是

(4) 3 23 26 2

4   ^   ^ 4  ^    4   6 4   不是 (5) 31 3 28

4   4   4   7   不是

最小正同界角及最大負同界角求法

1.六十分制

(1)若所給的角度為正角，則除以 360 所得之餘數為最小正同界角 ， 

 減 360 得最大負同界角   ^。

(2)若所給的角度為負角，則除以 360 所得之餘數為最大負同界角   ^，

 ^加 360 得最小正同界角  2.弧度制

將所給的角度化成帶分數後，再  2 k  ，即可得到最小正同界角及最大負同界角。

求

⁴⁷

3 

之最小正同界角及最大負同界角。

47 2

3  153

 最小正同界角

15² 14 1^{2 5} 3    3 3

 最大負同界角

15² 16 ¹

3   3

重點四

★★ 同界角 ★★

求下列角度之最小正同界角及最大負同界 角，並判斷為第幾象限角： (1) 1200  (2)  2250 (3) 

¹⁵

2



。

(1)

3 360 1200

1080 120

 





∴ 最小正同界角

120

最大負同界角

120 360  240

1200

為第二象限角 (2)

6 360 ( )2250 2160 ( ) 90

  



 

∴ 最大負同界角

  90

最小正同界角

   90 360 270

2250

為象限角

(3) 15 1 1

7 2 3 1

2 2 2

       

∴ 最小正同界角 1 3

1 2  2 

 

最大負同界角 3 2  2 

 

2

  

求下列角度之最小正同界角及最大負同界 角，並判斷為第幾象限角： (1) 3150  (2) 1359 (3) 

³⁹

4



。

(1)

8 360 3150

2880 270

 





最小正同界角

270

最大負同界角

270 360   90 3150

為象限角

(2)

3 360 ( )1359

1080 ( ) 279

  



 

∴ 最大負同界角

 279

最小正同界角

 279 360  81

1359

為第一象限角

(3) 39 3 3

9 4 2 1

4 4 4

       

∴ 最小正同界角 3 7

1 4  4 

 

最大負同界角 7 4 2

 

 

4

  

2-2 三角函數的定義、圖形及基本性質

銳角三角函數

1.銳角三角函數

直角三角形中，  C  90  ， AB  ， c BC  ， a AC  （如圖 2-2），則我們定義 A b  的 六個三角函數如下：

正弦函數

sin

a

A

 對邊 

c

斜邊

餘割函數

csc

c

A

 斜邊 

a

對邊

餘弦函數

cos

b

A

 鄰邊 

c

斜邊

正割函數

sec

c

A

 斜邊 

b

鄰邊

正切函數

tan

a

A

 對邊 

b

鄰邊

餘切函數

cot

b

A

 鄰邊 

a

對邊

2.特別角之三角函數值

^{圖 2-2}

函數

角度

^sin



cos



tan



cot



sec



csc

 圖示

30

( )

6

 1

2

3 2

3

3 3 2 3

3 2

45

( ) 4

 ₂

2

2

2 1 1

_{2 2}

60

( ) 3

 ₃

2

1

2 3 3

3 2 2 3

3

★★ 銳角三角函數 ★★

直角  中，  C  90  ，已知

12 tan A  5 ，

且 AC  48 ，求  ABC 之周長。

48 4 12 

∴

BC  5 4 20

AB  13 4 52

周長

48 52 20 120  

直角  中，  C  90  ，已知

5 sin B  4 ，

且 BC  30 ，求  ABC 之面積。

30

BC

 30 3  10

4 10 40 AC  

5 10 50 AB  

面積 30 40

2 600

  

★

特別角之三角函數

★

試求 cot 4

csc 6 tan 4

cos  3 _  _  _  _之值。

原式 1 5

1 2 1

2 2

    

試求 tan

²

60   3 cos

²

45   2 sin

²

30  之值。

原式

2 2

2

2 1

( 3) 3 2

2 2

   

              

1 1

3 3 2

2 4

     3 1

3 2

    2 2

任意角之三角函數

1. 一個標準位置角  ^{，頂點為原點} O ，在  ^{的終邊上取一點} P ( y x , ) ， 令斜邊 

r，鄰邊x

（ x 軸方向），

對邊



y

（ y 軸方向），則 sin

y

 

r

csc

r

 

y

cos

x

 

r

sec

r

 

x

tan

y

 

x

cot

x

 

y

2. 任意角之三角函數的正負值表：

一 二 三 四 sin 

(+) 全正



 csc

sin ＋ ＋ － － csc 



 sec

cos ＋ － － ＋ tan 

(+) cos 

 (+)

 cot

tan ＋ － ＋ － cot  sec 

★★

三角函數正負之判定

★★

試判斷下列各  角之象限：

(1) sin   0 ^， cot   0 。

(2) sin  cos   0 ^， tan  sec   0 ^。 (1)

sin



0

  為一或二象限

cot



0

  為二或四象限 ∴  為第二象限角

(2)

sin cos

 

0



sin



cos

 異號   為二或四象限

tan sec

 

0



tan



sec

 異號   為三或四象限

∴  為第四象限角

點 ( cos  , csc  ) ^{落在第二象限，則}  ^為第幾 象限角？

( cos , csc )   ^{在第二象限}

∴

cos



0

  為二或三象限

csc



0

  為一或二象限

∴  為第二象限角

★★ 任意角之三角函數 ★★

已知 13

cos    5 ^， tan   0 ^，求  ^的其他

三角函數值。

12 13

sin csc

13 12

   

5 13

cos sec

13 5

  ^   

12 5

tan cot

5 12

     

已知 4

tan   3 ^， sin   0 ^，求 sin   cos 

之值。

3 4

sin cos

5 5

  ^   ^ sin cos 7

    ^ 5

象限角的三角函數值

象限角之終邊在坐標軸上，可以單位圓來推導象限角之三角函數值。

單位圓：以原點為圓心，半徑為 1 所做之圓。

圖 2-4



0 90 180 270

sin

 0 1 0 1 

cos

 1 0 1  0

tan

 0 無意義 0 無意義

cot

 無意義 0 無意義 0

sec

 1 無意義  1 無意義

csc

 無 義 1 無意義  1

★ 象限角之三角函數 ★

試求

_{cos0sin90tan180csc270}

之值。

原式

    1 1 0 1 3

試求

_{sin270tan45cos180cos90cos60}

之值。

原式 1

1 1 ( 1) 0

       2      1 1 2

重點三

化任意角為銳角與負角公式

1.化任意角的三角函數為銳角的三角函數

先求最小正同界角或最大負同界角（若已經是，則此步驟省略）。

畫出標準位置角，對

^x

軸畫垂直線，求出與

_x

軸所夾之銳角並判斷象限，決定正負。

求值。

2.負角公式

sin(     ) sin  ， cos(    ) cos  ， tan(     ) tan  ， cot(     ) cot  ， sec(    ) sec  ， csc(     ) csc  。

★★ 化任意角為銳角 ★★

試求

sin330tan225cos



660

 之值。

sin 330 sin 30 1

      2

tan 225 tan 45 1

cos( 660 )   1 cos60

   2

∴ 原式 1 1

1 1

2 2

    

試求

17 37 15 21

csc cos sin sec

6   4   4   3  之值。

原式

csc510 cos1665 sin 675 

sec1260

csc150 cos 225 sin 315 

sec180

2 2

2 1

2 2

   

                 

1

2 1

   2 3

 2

★★ 化任意角為銳角 ★★

試求

cos1 cos 2 cos3   cos180

之值。

cos179  cos1



cos1 cos179 0 cos178  cos 2



cos 2 cos178 0

_

_

cos 91  cos89



cos89 cos 91 0

∴ 原式  (cos1   cos179 ) (cos 2     cos178 )     (cos89   cos91 ) cos90     cos180         0 0  0 0 ( 1)

  1

試求

tan1 tan 3 tan 5   tan179

之值。

tan179  tan1



tan1 tan179 0 tan177  tan 3



tan 3 tan177 0

_

_

tan 91  tan 89



tan 89 tan 91 0

∴ 原式  (tan1   tan179 ) (tan 3     tan177 )     (tan89   tan 91 ) 

0

重點四

★★ 任意角之三角函數 ★★

試求   

 















 

 

  

 

 

 



 

 

cos sin 2 )

cot(

2 tan 3 sin

) sin(

之值。

原式 sin cot cos sin cot cos

  

  

  

     1 1 1 1

試求  



 

 

 



 

 



 



 

 



 



 













sin 2 cos

tan 2 2 tan 3

) 2 sin(

) sin(

之值。

原式 sin cot cos sin cot cos

  

  

   

 

     1 1 1 1

★★★ 化任意角為銳角 ★★★

已知

_{tan230a}

，以

_a

表示

_sin1400

之值。

tan 230 tan 50 a

sin1400  sin 40  cos50

3

360 1400 1080 320

 





∴

_{sin1440  cos50}

2

1 1 a

  

已知

_{sec100k}

，以

_k

表示

_tan1900

之值。

tan1900 tan100

5

360 1900 1800 100

 





sec100  k 0

∴

_{tan1900   k}²_1

三角函數的恆等關係

1.倒數關係

六角形中，三條對角線之兩端點的三角函數，互為倒數。

1 s

c s in c

in sc 1

c  s  

     。

1 c

s e os s

os ec 1

c  c  

     。

1 t

c o an c

an ot 1

t  t  

     。

2.平方關係

^{圖 2-5}

六角形中，三個倒三角形上方兩頂點之平方和，等於下方頂點之平方。

2 2

sin   cos   1 ， tan

²

   1 sec

²

 ， 1 cot 

²

  csc

²

 。 3.商數關係

六角形中，任一頂點等於相鄰兩頂點之乘積，比較常用的為下面兩組：

tan sin

cos

 

  ， cos

cot sin

 

  。

4.餘角關係

已知

_{A B  90}

，即 A 、 B 互為餘角。

B A cos

sin 

，

_cosAsinB

，

_tanAcotB

，

_cotAtanB

，

_secAcscB

，

_cscAsecB

。

★ 倒數關係 ★★

求 sin 25 csc 25    cos15 sec15   tan 36 cot 36

   之值。

原式

   1 1 1 3

求 sin12 sin 53 tan 76 tan14 sec37 sec78       之值。

原式

sin12 cos37 tan 76 cot 76 sec37 csc12

      

1 1 1 1

   

★★ 平方關係 ★★

求 sin 42

²

  2sec 27

²

 ＋ 5csc 38

²

  cos 42

²



2 2

5cot 38 2 tan 27

   之值。

原式

2 2 2 2

sin 42 cos 42 2(sec 27 tan 27 )

    

 5(csc 38

²

  cos 38 )

²



1 2 5 4

   

求 sin 40

²

  csc 50

²

  cos 40

²

  cot 50

²

 之值。

原式

2 2 2 2

(sin 40 cos 40 ) (csc 50 cot 50 )

     

1 1 2

  

重點五

★★ 商數關係 ★★

已知 tan   3 ^，求









cos 2 sin 3

cos 3 sin 2



 之值。

tan sin 3 cos

 

   每一項÷

cos

 原式

2sin 3cos cos cos 3sin 2cos

cos cos

 

 

 

 

 



2 3 3 3 3 2

  

  3

 7

已知 3

cot   ^ 4 ，求









cos 8 sin 5

cos 4 sin 2



 之值。

cos 3

cot sin 4

 



   同÷

_sin



原式

2sin 4cos sin sin 5sin 8cos

sin sin

 

 

 

 

 



2 4 3 4 5 8 3

4

  

    

        

2 3 5 6

 



5 5

 1  



平方關係應用及其它等式關係

1. sin

²

  cos

²

  1 ^{之應用題型。}

已知

sin



cos



k

^，求

sin



cos

 ^之值。

將等號兩邊同時平方得

sin

²

  2 sin  cos   cos

²

  k

^2， 我們即可求得sin



cos



^之值。

已知

sin



cos



k

^，求

sin



cos

 ^之值。

利用

 sin   cos  

²

 sin

²

  2 sin  cos   cos

²

  1  2 k

^， 我們即可求得sin



cos



^之值。

2.解題過程中，下列等式關係也經常派上用場。

(1) ^sin

³

^{  cos}

³

^{ }  ^{sin   cos }   ^sin

²

^{  sin  cos   cos}

²

^  ^。

^sin

³

^{  cos}

³

^{ }  ^{sin   cos }   ^sin

²

^{  sin  cos   cos}

²

^  ^。

(2)    











 

 sin cos

1 cos

sin cos sin

sin cos cos

cot sin tan

2

2





 





 。

(3)  







 

 sin cos

cos sin

sin 1 cos

csc 1

sec 

 





 。

(4)  







 

 sin cos

cos sin

sin 1 cos

csc 1

sec 

 





 。

重點六

★★★ 平方關係之應用 ★★★

已知 3

cos 2

sin     ，求下列各式之值：

(1)

sin



cos

 (2)

tan



cot

 (3) sin

³

  cos

³

 (4)

sec



csc

 。

(1)

2

2

2

(sin cos )

      ^{ }   3

2 2

4

sin 2sin cos cos

       9 1 2sin cos 4

  9

   5

sin cos

   18 ^

(2) 1

tan cot

sin cos

 

 

  1 18

5 5

18

   

(3) sin

³

  cos

³



 (sin   cos )(sin 

²

  sin cos    cos

²

 )

2 5 23

3 1 18 27

  

        (4)

sec



csc



1 1

cos  sin 

  sin cos

sin cos

 

 

 

 12

5

 

已知 5

cos 3

sin     ，求下列各式之值：

(1)

sin



cos

 (2)

tan



cot

 (3) sin

³

  cos

³

 (4)

sec



csc

 。

(1)

²

9

(sin cos )

    25

2 2

9

sin 2sin cos cos

       25

 9

1 2sin cos

  25

 

 8

sin cos

   25

(2) 1 1 25

tan cot

sin cos 8 8 25

 

 

   

(3) (sin

³

  cos )

³



 (sin   cos )(sin 

²

  sin cos    cos )

²



3 8 99

5 1 25 125

 

     

 

(4)

sec



csc



1 1

cos  sin 

  sin cos

sin cos

 

 

 

 15

 8

★★ 平方關係之應用 ★★

若

sin

 、

cos

 為方程式 2 x

²

 x  k  0 之 二根，求

_k

之值。

sin cos 1

2 sin cos

2 k

 

 

   

 

  



sin cos 2

    k

2

2

1

(sin cos )

     ^   2 ^  

2 2

1

sin 2sin cos cos

       4 1 2sin cos 1

  4

 

1 2 1

2 4

    k 3 k   4

若

sin

 、

cos

 為方程式 8 x

²

 kx  3  0 之 二根，求

_k

之值。

sin cos

8 sin cos 3

8

  k

 

   

  

  



sin cos 3

    ^ 8

2

(sin cos )

2

8

     ^   k ^  

2 2 2

sin 2sin cos cos

64

       k 3

2

1 2 8 64

 k

   1

2

4 64

 k  k

²

 16 

k 4

★★★ 平方關係之應用 ★★★

已知

_270



_360

^，且

18 cos 7

sin     ^， 求 (1)

sin



cos

 (2) sin

³

  cos

³

 之值。

(1) (sin   cos ) 

²

2 2

sin  2sin cos   cos 

  

1 2 7 18

  

   

  16

 9

∴ 4

sin cos

     3 但

₂₇₀  



₃₆₀



sin



0

，

_cos



₀



sin



cos



0

∴ 4

sin cos

     3 (2) sin

³

  cos

³



2 2

(sin



cos )(sin

 

sin cos

 

cos )



   

4 7

3 1 18

    

            22

  27

已知

_180



_270

，且

_tan



_cot



_2

， 求 (1)

sin



cos

 (2) sin

³

  cos

³

 之值。

(1) 1

tan cot 2

sin cos

 

 

  

∴ 1

sin cos

   2 (sin   cos ) 

²

 sin

²

  2sin cos    cos

²



1

1 2 2

    2

∴

sin



cos



  2

又

180  



270



sin



0

，

_cos



₀

∴

sin



cos



0

∴

sin



cos



  2

(2) sin

³

  cos

³



(sin



cos )(sin



²



sin cos

 

cos )²



1

( 2) 1 2

 

       

2

  2

三角函數的圖形

1.三角函數的圖形

(1)正弦函數 y sin  x (2)餘弦函數 y cos  x

(3)正切函數 y  tan x (4)餘切函數 y cot  x

(5)正割函數 y sec  x (6)餘割函數 y csc  x

2.三角函數的週期

(1)從上面圖形發現六個三角函數都是週期函數，其中

sin x、cos x、sec x、csc x的週期均 為₂

 ， tan

x、

cot

x之週期為

 ，稱為原始週期。

(2)將六個三角函數都加上絕對值，則所有的函數值都是正值，在

x

軸下方的圖形都會對稱到

x

軸上方，如此，

_sinx

、

_cosx

、

_tanx

、

_cotx

、

_secx

、

_{csc x}

之週期均為  。 (3)將函數 y sin  x 作 y  A sin ( B x C  )  之轉換，則 A 、 B 、 D

C

、 D 會使圖形得到如下

的變化：

A 

振幅變成A倍。

B 

週期變成原始週期之

1

B 倍。

C

 圖形

水平向左平移_C單位。

D  圖形垂直向上平移

D單位。

重點七

★ 三角函數之週期 ★ 求各函數週期：

(1) 7

3 2 cos 5 )

(  



 



 

 

x x

f 之週期。

(2) 



 



  

 2

3 3 csc 2 2 ) 5

( 

x x

f 之週期。

(1)週期 2 3

  (2)週期 3 2 2 3

 

 

求各函數週期：

(1) 3

tan 2 )

(  



 

  

 x

x

f  ^之週期。

(2)

f(x) cot



4x2

^  之週期。

(1)週期 2 1 2

 

  (2)週期 4

 

三角函數的值域

1.

 1 sinx1

，即

_{sinx 1}

。

1 cosx 1

  

，即

_{cosx 1}

。 2. tan x 與 cot x 之值域均為任意實數。

3.

secx1 或 secx 1

，即

_{secx 1}

。

cscx1 或 cscx 1

，即

_{cscx 1}

。

★★ 三角函數之值域 ★★

0 1 cos

cos

²

     ^，求

cos

 之值。

1 ( 1)

2

4 1 ( 1)

cos   ^{     } 2 1 5 2

 

又 1 5 2 1

  不合

∴ 1 5

cos   ^ 2

0 4 sec tan

2

²

     ^，求 sec 之值。  2(sec

2

   1) sec    4 0

2sec

2

   2 sec    4 0 2sec

2

  sec    6 0

sec 2

2sec 3

(sec 2)(2sec 3) 0





 





  

sec



2

or 3

sec    2

重點八

三角函數值大小之判斷

1.先判斷正負。

2.化成銳角三角函數，再由銳角三角函數的定義，即可比較出大小。



_0



_45



45



90

 

 



 

 



 



 

中 小 大

小 tan 20 20

sin ，由中之三角形判斷。





 



 

 



 



 

小 中 小

大 tan 70 70

sec ，由中之三角形判斷。

★★ 比較大小 ★★

下列何者最大？

(A) sin 20  (B) cos 20  (C) tan 20  (D) sec 20  (E) csc 20  。

sin 20 cos 20

，

tan 20 sec 20 csc 20

又

_{csc 20 cos 20}

∴

csc 20

最大 故選 (E)

下列何者最小？

(A) sin 50  (B) cos 50  (C) tan 50  (D) sec 50  (E) csc 50  。

cos50 sin 50 tan 50

，

csc50 sec50

又

_{sec50 tan 50}

∴

cos50

最小 故選 (B)

★★ 比較大小 ★★



sin780

a

，

_{bcos1020}

，

_{ctan950}

，



sec410

d

，試比較

_a

、

_b

、

_c

、

_d

之大小。

sin 780 sin 60

a   

cos1020 cos300 cos 60

b     

tan 230 tan 50

c   

sec 410 sec50

d   

∴

d c a b  

1

sin

a

，

_bsin2

，

_csin3

，

_{d sin4}

， 試比較

_a

、

_b

、

_c

、

_d

之大小。

sin1

a

≒

_{sin 57.3}

sin 2

b

≒

_{sin114.6 sin 65.4} sin 3

c

≒

_{sin171.9 sin 8.1} sin 4

d 

≒

_{sin 229.2  sin 49.2}

∴

b a c d  

重點九

2-3 和差角及二倍角公式

正餘弦和差角公式

1. sin(    ) sin cos     cos sin   。

2. cos(    ) cos cos     sin sin   （注意＋、－號） 。

★★ 和差角公式 ★★

求 sin(   60  )  cos(   30  ) ) 60 cos(

) 30

sin(     

   之值。

原式 sin[(      60 ) (    30 )]

1

sin 30

   2

求 cos( 170   x )  cos( x  50  ) ) 50 sin(

) 170

sin(     

 x x 之值。

原式 cos[(170       x ) ( x 50 )]

1

cos120 2

   

★★ 和差角公式 ★★★

0     2 ，

2 3 



   ，且

5 sin   3 ^，

13

sin    5 ，求 sin(    ) 、 cos(    ) 。

 ^{為第一象限角} ( , )  

 ^{為第三象限角} ( , )   由  ^、  ^{邊角關係得}

sin(    ) sin cos     cos sin   3 12 4 5

5 13 5 13

 

    56

65

  cos(    ) cos cos     sin sin   4 12 3 5

5 13 5 13

 

    63

65

 

5

sin   4 ^，

tan



0

^且

5 tan  12

  ^，

0

cos   ^，求 sin(    ) 、 cos(    ) 。

sin



0

，

_tan



₀

∴  為第二象限角 ( , )   tan   ， cos 0   0

∴  為第四象限角 ( , )   由  、  邊角關係得

sin(    ) sin cos     cos sin   4 5 3 12 16

5 13 5 13 65

  

    

cos(    ) cos cos     sin sin   3 5 4 12 33 5 13 5 13 65

 

    

正切和差角公式

由上述結論配合「商數關係」及「倒數關係」可得正切之和差角公式，

餘切之和差角可由正切之倒數求得。

tan tan tan( )

1 tan tan

 

   

  



。

★★ 正切和差角公式之應用 ★★



tan 、 tan 為  x

²

 x 5  3  0 之二根，

求 tan(    ) 及 sec (

²

   ) 之值。

由根與係數關係得 tan tan 5 tan tan 3

 

 

  

   



∴ tan tan

tan( )

1 tan tan

 

   

  



5 1 ( 3)

 

  5

4

 

sec (

²

   ) 1 tan (  

²

   ) 5

²

41

1 ( ) 4 16

   



tan 、 tan 為  x

²

 x 3  4  0 之二根，

求 cos

²

(    ) 之值。

由根與係數關係得 tan tan 3 tan tan 4

 

 

  

  

 tan tan tan( )

1 tan tan

 

   

  



3 1 1 4

  



2 2

sec (    ) 1 tan (      )    1 1 2

∴

² ₂

1 1

cos ( )

sec ( ) 2

  ^{ }    ^

★★ 正切和差角公式之應用 ★★

若 4

    ，求  ( 1  tan  )( 1  tan  ) 之值。

tan( a   ) tan tan

tan 1 1 tan tan 4

  

 

   



∴ tan   tan    1 tan tan  

∴ tan   tan   tan tan    1 又 (1 tan )(1 tan )    

1 tan  tan  tan tan  

       1 1 2

若 3

    ， 

求 tan   tan   3 tan tan   之值。

tan(    ) tan tan

tan 3

1 tan tan 3

  

 

   



∴ 3  3 tan tan    tan   tan 

∴ tan   tan   3 tan tan    3

重點二

二倍角公式及半角公式

1.二倍角公式

在和角公式中，如令      ，則可得下列二倍角公式：

(1)

sin 2



2sin



cos

 。

(2) cos 2   cos

²

  sin

²

  2cos

²

  1 （由平方關係， sin

²

  1  cos

²

 ）   1 2sin

²

 （由平方關係， cos

²

  1  sin

²

 ） 。 (3) 2 tan

₂

tan 2

1 tan

 

 

 。

2.半角公式（補充）

由二倍角公式  cos 2 x  2 cos

²

x  1  1  2 sin

²

x 。

令 2

 

x ，則移項整理可得半角公式如下（±視 2

 之象限決定） ：

(1)

cos ^{1 cos}

2 2



  

 。 (2)

sin ^{1 cos}

2 2



  

 。 (3)

tan ^{1 cos}

2 1 cos

 



  



。

★★★ 二倍角及半角公式 ★★★

5 sin  3

  ^且

270  



360

，求

sin2

 、



2

cos

、

tan2

 、 sin  2

*、

cos  2

*。

270  



360

在第四象限 ( , )  

∴ 由邊角關係 

sin 2



2sin



cos

 3 4 2 5 5

    24 25

 

2 2

cos 2   cos   sin  4

²

3

²

( ) ( )

5 5

  

16 9 7 25 25

  

2

2 tan tan 2

1 tan

 

 



2

2 4 3 24

3 7

1 ( ) 4

  

   

又 135 180 2

     在第二象限

∴ sin 2



1 cos

2



  

1 4 5 2

  10

 10

1 4

1 cos 5

cos2 2 2



  



  ^

3 10 10

 

5

tan   12 ^且

180  



270

，求

sin2

 、



2

cos

、

tan2

 、 sin  2

、 cos  2

。

180  



270

在第三象限 ( , )  

∴ 由邊角關係 

sin 2



2sin



cos

 12 5

2 13 13

 

   120

 169

2 2

cos 2   cos   sin  5

²

12

²

( ) ( )

13 13

 

  119

169

 

2

2 tan tan 2

1 tan

 

 



2

2 12 12 5 1 ( )

5

 



120 119

 

又 90 135 2

     在第二象限

∴

sin ^{1 cos}

2 2



  



1 ( 5 ) 13 2

 

 3 13

 13 1 cos

cos 2 2

  

 

1 ( 5) 13 2

 

 

2 13

13

 

重點三

★★ 二倍角公式 ★★

0 

  ，

4 3 tan  2 

，求

sin

 之值。

sin sin 2 2

    2sin cos

2 2

 

 

3 4 24 2 5 5 25

   

 t tan  4

，求 cos  2

之值。

cos cos 2

2 4

 _{ } 

2 2

cos sin

4 4

 

 

2

2 2

1

1 1

t

t t

 

 

2 2

1 1

t t

 



★★★ 二倍角公式之應用 ★★★

2 3 



   ，且

3 tan   4 ^，求

cos 2 sin

⁴

 2 _

⁴

 之值。

4 4

sin cos

2 2

 _ 

2 2 2 2

(sin cos )(sin cos )

2 2 2 2

   

  

2 2

sin cos

2 2

 

  (cos

²

sin

²

)

2 2

 

  

3 3 cos ( )

5 5

 ^

    



 

2 2 2

3   ，且

13 2 5

sin    ^， 求 cos

⁴

  sin

⁴

 之值。

4 4

cos   sin 

2 2 2 2

(cos  sin  )(cos  sin  )

  

2 2

cos  sin 

 

cos 2





12

 13

三角函數之極值

1. sinθ與 cosθ之一次式

此題型所使用的原理為三角函數的疊合，這裡我們直接用公式來求極值。

a

、

_{b R}

且

0



2

 

 a²b² asin



bcos



 a²b²

。 2. sinθ與 cosθ之二次式



sin 與 cos 之二次式，其求極值的方式，與  y  2 x

²

 8 x  5 ，

_1x3

，求最大值 及最小值的方法相同，都可利用配方法或微分的方法來求極值。

重點四

★★ 三角函數之極值 ★★

求

_5sin



_12cos



_7

之最大值及最小值。

∵ 5

²

  ( 12)

⁵

 13

∴

  13 7 5sin



12cos



 7 13 7

 20 5sin



12cos



 7 6

∴ 最大值 6，最小值

20

5 2 sin cos

2     ^{之最大值為} M ，最小值 為

_m

，求

_{M m}

之值。

∵ 2

²

  ( 1)

²

 5

∴  5 2 5 2cos     sin   2 5  5 2 5 

5 2cos    sin   2 5 3 5 

∴ 最大值 3 5 ，最小值 5 4 5

M m  

★ 三角函數之極值 ★

求 f (  )   2 sin

²

  3 cos   3 之最大值及最 小值。

( ) 2sin

2

3cos 3 f           2 2cos

²

  3cos   3  2cos

²

  3cos   1 令

_cos



_x



  1 x 1

( ) 2

2

3 1

f x  x  x  ，

  1 x 1

令 3

'( ) 4 3 0

f x  x   x   4

3 9 3

2 3 1

4 16 4

f           

 

9 18 8 1 8 8 8 8

     (1) 2 3 1 6

f     ， ( 1) 2 3 1 0 f     

∴ 最大值 6，最小值 1 8



求 f (  )  3 sin

²

  2 sin   3 之最大值及最小 值。

令

sin



x



  1 x 1

( ) 3

2

2 3 1 1 f x  x  x     x 令 f x '( ) 6  x    2 0 1

x   3

1 1 1

3 2 3

3 9 3

f               

   

1 2 9 10 3 3 3 3

     (1) 3 2 3 2

f     ， ( 1) 3 2 3 f       2

∴ 最大值 2，最小值 10

 3

直線的斜角和斜率

直線 L ax by c :    過 0 A x y 、 ( , )

_{1 1}

B x y 二點， ( , )

_{2 2}

且斜角為  ，則斜率亦可由斜角 求出。

2 1

2 1

y y

tan

m y

x x

^

x



   

  ，

₀  



₁₈₀

。

^{圖 2-6}

重點五

★★ 直線之斜角與斜率 ★★

直線過 P ( 3  2 3 , 4 ) 、 Q ( 3  3 , 1 ) 兩點，

求直線之斜角。

4 1 3 2 3 (3 3) m

PQ

 

  



1

3 tan 

 

∴ 

 30

若 ( 5 , 2 ) 、 ( x , 2  3 ) 所形成之直線與正向

x

軸所夾之角度為

_150

，求

_x

之值。

2 3 2

tan150 5

x

   



3 1

5 3

x  





x2

★★ 直線之斜角與斜率 ★★

直線 3 x  y 2  5  0 之斜角為 ，

求  



 sin 4 cos 3

cos sin

2



 之值。

3 3 tan    2  2

  sin 3

cos 2



 ^ 2sin cos 2sin cos cos cos 3cos 4sin 3cos 4sin

cos cos

 

   

 

 

 

  

 

3 1 4 3 6 3

   



直線 2 x  y  11  0 之斜角為 ，

求  





cos 3 sin 2

cos 5 sin 3



 之值。

tan 2 2

      1 sin cos 2



 ^{ } 3sin 5cos 3sin 5cos cos cos

2sin 3cos 2sin 3cos

cos cos

 

   

 

 

 

  

 

6 5 1 4 3 7

   

 

★★★ 直線之斜角與斜率 ★★★

已知直線過點 ( 5 ,  2 3 ) ，且斜角為

_150

， 求直線方程式。

在直線上取一點 ( , ) x y ( 2 3)

tan150 5

y x

   



1

  3 3 y 6 x 5

       x 3 y   1 0

已知直線過點 ( 1 , 3 ) ，且斜角為

_45

，求直 線方程式。

在直線上取一點 ( , ) x y 3 tan 45 1 ( 1)

y x

   

 

3 1

y x

        x y 4 0