93 年指定科目考試

數學甲

93 年指定科目考試

班級：_________ ／ 座號：_________ ／ 姓名：_________

總 分

第一部分(占 76 分) 一﹑單選題 (6%)

說明﹕第1 題，選出一個最適當的選項，答對得 6 分，答錯倒扣 2 分，倒扣到本大題之實得分數為 零為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 設方程式 x⁵  1 的五個根為 1，

















二﹑多選題( 32%)

說明﹕第1 至 4 題，每題各有 4 個選項，其中至少有一個是正確的。每題 8 分，各選項獨立計分，

每答對一個選項，可得2 分；每答錯一個選項，倒扣 2 分，完全答對得 8 分。整題未作答者，

不給分亦不扣分。

1. 根據對數表，log 2 的近似值是 0.3010，log 3 的近似值是 0.4771。下列選項有哪些是正確的？

(1) 10⁹  9¹⁰　(2) 10¹²  12¹⁰　(3) 10¹¹  11¹⁰　(4)方程式 10^x  x¹⁰ 有一負根

2. 正四面體的四個頂點落在以原點 O(0，0，0)為球心，半徑為 1 的球面上，已知一頂點 P 的坐標為 (0，0，1)，另一頂點 Q 的坐標為(a，b，c)。下列選項有哪些必定是正確的？

(1)

_OP

OQ

3. 設 a  0，令 A(a)表示 x 軸、y 軸、直線 x  a 與函數 y  2  sinx 的圖形所圍成的面積。下列選項有哪些是 正確的？

(1) A(a  2



 )  2A(  )　(3) A(4  )  2A(2  )　(4) A(3  )  A(2  )  A(2  )  A(  )

項有哪些必定是正確的？

(1) f (x)的次數至少為 6　(2) f (x)的次數為奇數　(3) f (1)為奇數　(4) f  (4)  0

三﹑題組（22%）

說明﹕第1 至 3 題為一完整之題組，請詳細閱讀後回答問題。第 6 題為單選題，第 7、8 兩題為多 選題。其選項、作答、計分方式，與前面單選題和多選題之規定相同。

使用圓球和球袋作機率實驗。球只有黑白兩色，袋中裝有兩顆球，因此只有三種可能情況：把雙白球稱為 狀態1，一白球一黑球稱為狀態 2，雙黑球稱為狀態 3。對這袋球做如下操作：自袋中隨機移走一球後，再 隨機移入一顆白球或黑球（移入白球或黑球的機率相等）。每次操作可能會改變袋中球的狀態。

1.（單選題，6 分）如果現在袋子內的球是一白一黑（即狀態 2），請問經過一次操作後，袋中會變成兩顆 黑球（狀態3）的機率是多少？

(1) 4 1 　(2)

3 1 　(3)

2 1 　(4)

3 2

把從狀態

j

i

^p

^p

3 矩陣

P

2.（多選題，8 分）針對矩陣

P

(1) 矩陣 P 滿足 Pij  Pji　(2) P 是轉移矩陣（即每行之和皆為 1）　(3) P 的行列式值為正　(4) p11  p33

把 矩 陣

P

k 次後的矩陣記為 P

P

ⁱ

^j

j

k 次操作後，變成狀態 i

3. （多選題，8 分）針對多次操作，下列選項有哪些是正確的

(1)從一白一黑（狀態 2）開始，經過 k 次操作後，變成雙白（狀態 1）的機率與變成雙黑（狀態 3）的機 率相等　(2)從雙白（狀態 1）開始，經過 k 次操作後，回到雙白（狀態 1）的機率，比變成雙黑（狀態 3）的機率大　(3)從雙白（狀態 1）開始，經過 k 次操作後，回到雙白（狀態 1）的機率，會隨著次數 k 的增加而遞減　(4)不論從哪種狀態開始，經過 k 次操作後，變成任何一種狀態的機率，會隨著 k 趨近於 無窮大而趨近於 31

四、選填題(16 %)

說明：1、2 兩題為選填題，每一題完全答對得 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 若坐標平面上滿足 2x²  axy  2y²  1 的點(x，y)，都滿足 x²  y²  1，則 a 的最小可能值為 。 2. 將 tanx  x 的所有正實根由小到大排列，得一無窮數列 x1，x2，…，xn，…，則





n

lim

第貳部分﹕非選擇題(占 24 分)

說明﹕本大題共有二題計算證明題，同時必須寫出演算過程或理由，否則將酌予扣分。每題配分 標於題末。

1. 若有

 使下述方程組不只有一組解，求 sin 





















0 ) sin 1 (

0 )

cos 1 (

y x

y x





2. 設 k 為一常數。已知一拋物線通過點(2，0)，且焦點為(1，2)，準線為 kx  y  1  0，求此拋物線頂點的坐 標。

答 案

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. (3)

二﹑多選題

1.(3)(4) 2. (2)(4) 3. (3)(4) 4.(1)(4)

三﹑題組

1. (1) 2. (2)(4) 3. (1)(2)(3) 四、選填題

1.  2 2. 3.14

第貳部分﹕非選擇題 1.

2  1

2 3 )

解 析

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. 設 f (x)  x⁵  1，由題意知 f (x)  0 有五根，根據因式定理可得五個因式 故得

f (x)  x









則

f (3)  3

















1 3

1 3⁵



 121

二﹑多選題

1. (1)╳。分別取對數考慮 log 10⁹  9

log 9¹⁰  10 log 9  10 log 3²  20 log 3 9.542 故10⁹  9¹⁰

(2)╳。分別取對數考慮 log 10¹²  12

log 12¹⁰  10 log 12  10 log 2²．3  10(2 log 2  log 3) 10.791 故10¹²  12¹⁰

(3)○。分別取對數考慮 log 10¹¹  11

log 11¹⁰  10 log 11  10 log 12 10.791 故10¹¹  11¹⁰

(4)○。10^x  x¹⁰

二邊同時取對數得

x  10 log  x 

 







x y

x y

log

10

相交情形如圖，明顯可得第三象限 必有一交點，亦即有一負根

2. 設四個頂點除了 P 之外，為 Q1，Q2，Q3

∵　球半徑 r 

OP

4

3

PG

OG

知

Q

z  

即

c  

1，故(4)正確

又因點在球面上，故

a

a

9 8，c² 

9

1，故(2)正確

考慮POQ，由向量內積得 cosPOQ 

|

|

|

| ^{____ \ ____ \}

____ \ ____ \

OQ OP

OQ OP







1 1

3 ) ( 1

) 1 0 0 (



， 

，

，

， a b

 3

1 cos120

∴　POQ 不為 120，故(1)錯誤

因為

Q

z  

1上構成重心為(0，0，

3

1

)的正三角形，所以 Q1，Q2，Q3三點不 可能均位於第五卦限(，，)與第七卦限(，，)，亦即三點中至少有一點 a，b 不同號，故(3)錯誤

3. 考慮圖形如下：

(1) A(a)  A(a  2

 )

(2) A(2

 )  2A(  )

 )  2A(2  )

(4) A(3

 )  A(2  )  A(2  )  A(  )

∴　(1)(2)錯誤，(3)(4)正確

4. 由題意知 f (x)  a(x  2)

^{2 q}

^{ 2}

^{2 q}

^{ 2}

^{2 q}

^{ 2} a  0，q

∴　f (x)至少 2  2  2  6 次，且 deg f (x)  偶數 又　∵　(x  4)²  f (x)　　f (4)  0

又

f (1)  a．1 ^{2 q}

^{ 2}

^{2 q}

^{ 2}

^{2 q}

^{ 2}

a 為偶數，則 f (1)為偶數

三﹑題組

1. 狀態 2（白黑）變成狀態 3（黑黑）

必須移出白球且移入黑球 移出白球機率 

2 1

移入黑球機率  2 1

故所球機率  2 1 ．

2 1 

4 1

2. 重複上題解法得

矩陣

P 

 







 







33 32 31

23 22 21

13 12 11

p p p

p p p

p p p



 

 

 





 

 

 





2 1 4 0 1

2 1 2 1 2 1

4 0 1 2 1

(1)╳。反例：p12  p21

(2)○。每行之機率和均為 1 (3)╳。det (P) 

8

1  0  0  0  16

1  16

1  0

(4)○。p11  p33  2 1

3. 《方法 1》

直觀想法，（因放回黑球、白球機率相等，故視為公平操作）

(1)○。從黑白均等狀態開始，經公平操作，仍為公平 (2)○。從白占優勢狀態開始，經公平操作，白仍占優勢 (3)○。從白占優勢狀態開始，經公平操作，白優勢減少 (4)╳。無論操作前狀態為何，操作後一白一黑的機率固定為

2 1

《方法2》

準確計算，得

P

 

 

 





 

 

 





















1 1

1 1

2 1 4 1 4 1 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4 1 4 1 2

1 4 1

k k

k k

(1)○。均為 2 1

(2)○。

4

1  ₁

2

1



k 

4

1  ₁

2

1

 k

(3)○。

4

1  ₁

2

1



k 隨著

k 的增加而遞減

4 1 ，

2 1 ，

4 1

四、選填題 1.《方法 1》

考慮圓錐曲線被一圓包含（如圖）

因為被圓包含

故必為橢圓類（雙曲線、拋物線不可能）

觀察題意所給圓錐曲線係數

知曲線對稱於直線

y  x，故當二曲線相切時有極值

2

1

2

1

《方法2》

將



∵　

  











 a c a

c a

' '

'

' 2 2 4

　　a  2 4 a

，c  2 4 a

2. 考慮二函數

 





 x y

x y

tan

y  tanx 為週期函數，且在週期內為單調遞增 y  x 亦為單調遞增

由左而右，二函數的交點之

y 坐標必遞增

x 坐標必趨近於 y  tanx 之漸近線 x 

2





故_n

lim



 n

lim

2



  (



 )]   ^3.14

　

 ：

2 4 a

x

a

y

a x

 4

2

'



a y

 4

2

'

 1

∴　4

a

2  1　　4  a  2　　 2  a  2

∴　a 之最小值為  2

第貳部分：非選擇題

1. 因為方程組不只一組解，故行列式值為零





sin 1 1

1 cos

1









展開得sin

 cos 





（變數代換）設

t  sin 



2

2





2

2 1

t

2

2 1

t

解得

t   1  2





2

(2，0)代入得

2 2

( 0 2 ) )

1 2

(   

1

| 1 0 2

|

2





k k

　k  2

∴　準線 2x  y  1  0

對稱軸

x  2y  3  0（垂直於準線，過焦點(1，2)）

二線交於

H(  1，1)

F，H 中點 V(0，

2

3 )為所求頂點