一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的计算
四、思考题
5.1 基本概念与计算
例 矩阵
3 , 1
1
3
A .
0 , 1
1 , 1
1
1
, 1 2
2 1 2
2
A 4 ,
1 4 1
4
4
A
1 .
3
k
A
一 . 定义
二 . 性质
.
, 0 .
1
k k
A k k
A A
则
设
.
, , ,
2 , 1 .
2
2 2 1
1
2 2 1
1
s s
s s i
i
k k
k
k k
k A
s i
A
则
设
定义
设A
P
nn,
P
n,
P .
0 ,
若A
， 的一个特征值
为 则称
A
的一个特征向量
.
对应于为
A
特征子空间
A Rn
V
|
,
设. ,
,
, ,
V k
R k
V
V V
的性质可知：
则由特征值与特征向量
. .
的特征子空间称为矩阵
的子空间 维向量空间
是 故
A V
R n
V
n
？ 的特征向量吗
的所有向量都是
：
思考 V
A
三
.
计算
0 .
. 0 .
0
的非零解 是
则 设
X A I
A I
A
1
求 I
A
0
的根：
1,
2,
,
k;
, ,
, ,
0 2
2
1 i iri
i
i
I A X
的基础解系：
求
步骤：
的特征值与特征向量的 求A
, , , 1 不全为零1 2 2 .
的特征向量为：
对应于 则
i
i r
r i
i i
k k
k
k k
k A
特征多项式
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
I f
2 1
1 22
21
1 12
11
a
11a
22a
nn
n 1 1
n| A | .
n
称为矩阵A的特征多项式.
f
| I
A |
1
2
2
5
3,
设
f
. :
5 2 1
的三重特征根 的二重特征根，
：
的单特征根，
：
A A A
I A
f
a
11a
22a
nn
n 1 1
n| A | .
n
则
： 的特征值是
设
A
1,
2,
,
n,
n
f
1
2
2
.
1
n A
n
n
n nn
1 2 1 1
1 2
nn
n
a
a
a
1
2
11 22 1 , 2 , , .
0 i n
A
可逆的充要条件是
i 例 1
, . 2
4 2
4 2
2
2 2
1
的特征值与特征向量 求A
A
2 2
0
4 2
2
2 2
1
2 4
2
4 2
2
2 2
1
I A
6 2
4 2 1
2 0
0
4 6
2
2 4
1
2
2 7
. 7 (
2
21
二重），,
1
2
的特征向量求
1I
A X
0
即. 0 0 0
4 4
2
4 4
2
2 2
1
3 2 1
x x x
0 0
0
0 0
0
2 2
1
4 4
2
4 4
2
2 2
1
3 2
1
x x
x
2 1 0
2 2 0 1 .
1
，基础解系为：
1,
2 .
2 2 1
1 不全为零
特征向量为：
k
k k k
.
2
7
的特征向量 求
0 0
0
1 1
0 2
0 1 1
5 4
2
5 5
2
2 2
8
2
I A
, 2
1
3 2
3 1
x x
x x
1 , 2 , 2 ,
3
30 .
3
3
k
k
特征向量为例 2 求矩阵 A 的特征值与特征向量
2 0
1
0 3
4
0 1
1 A
2 0
1
0 3
4
0 1
1
I A
解
2
1
2 .
1 ,
2
21
二重
， 的特征向量 求
1 2
0 0
0
0 1
0
0 0
1
0 0
1
0 1
4
0 1
3
1
I A
. 1 ,
0 ,
0
2 31
x
x
x
0 , 0 , 1 ,
1
T
10 .
1
1
k
k
特征向量为： 的特征向量
求
2 1
0 0
0
2 1
0
1 0
1
1 0
0
0 2
4
0 1
2
2
I A
3 2
3 1
2x x
x x
1 , 2 , 1 ,
2
T
20 .
2
2
k
k
特征向量为特征值的重数与其对应的线性无关特征向 量个数的关系
.
0 0
k k
A
数不超过 线性无关特征向量的个
所对应的 重特征值，则
的 是矩阵
设
.
0
0
k
X A I
数不超过 所含解向量个
的基础解系 齐次方程组
即，
例 3 设
a a
a
a a
a
a a
a A
n n
求 A 的特征值与特征向量
a a
a
a a
a
a a
a A
E
解：
a a
a
a a
na a
1 1
1 ) (
a a
a
a a
a
na na
na
0 0
0 0
1 1
1 ) (
na
n1(
na )
. ),
1 (
0
21
n
na
重
a a
a
a a
a
a a
a A
E
1
0 0
0
0 0
0
1 1
1
2
0
1
x
x
n x
, ) 0 , ,
0 , 1 ,
1
1
(
T
, ) 0 , ,
1 ,
0 , 1
2
(
T
( 1 , 0 , 0 , , 1 ) .
1 T
n
不全为零）
x
nx x
a n
a a
a a
n a
a a
a n
X A
E
2 1
2
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) (
. ) 1 , ,
1 , 1
(
Tn
k
n
n( k
n 0 ).
例 4 设 A2
= A ,
证明： A 的特征值为 0 或1 .
0
设A
证：
22
A A
A
A
则
A
0
,
22
.
1
0
或
例 5 设矩阵 A 可逆
且
A
0 ,
1 与 的特征值与特征向量
.
求A
A
1 1
1
A
A
A
解
A
A
1A
. ,
0 0
0
，则 矛盾若
A
1 .
,
0
1
A
1
,
A I A
A A
又AA
1
.
A A A
A
是 的多项式 ，的特征向量 是矩阵
设
例
6 A , f x x
的特征向量.
是
证明：
f A
1 0: f x
a
nx
n a x
a
分析 A a A a A a I
f
n n 1 0
0
A
A
？
f
A a A a
1A a
0
f
n n
?
A
n
0
证：设A
22
A A
A
A
则
A
,
nA
n
A a A a
1A a
0
f
n n
a
1a
0a
n n
an
n a
1
a
0
f
. 4 2
3 2
1 2
3 0
的一个特征值
，确定 的一个特征值
是矩阵 思考：设
A I
A A
A
例 7 设 A 是奇数阶实矩阵，且
A
TA
I , A
1 ,
. 1
: 是 的特征值
证明 A
? 0
?
I A
A
分析：A A
A A
I
T 证： A I A
T
A I
.
0
I A
？ 特征值
的 都是某个矩阵
是否任一数 0
A
.
1
. 0 0
, .
0
A
比如 是
思考题 ：
？ 特征向量
的 都是某个矩阵
是否任一列向量
A
. 2
. 1 .
0
，则是 比如，I
若？ 的特征值 是否矩阵
怎样判断数 0
A
.
3
1
是否存在非零向量
使A
0 .
2
0I
A 0 ?
1 2
2
2 1
2
2 2
1 A
设 例
1
.
1 与 的特征值
求
A
I
A
5
1
2,
I A
解 .
1 ,
5
二重
二重
：
的特征值为
, 1
5 1
2 1
1
A
.
5 1 4
5 , 1
1 1
1 1 1
A I
A
则设
5 .
1 的一个特征值是 ：
4
I A
, 5 0
1
1
I A
又
0 ,
5
4
1
I I A
5 .
4
1的一个特征值 是
I
A
二重
．： 的另一个特征值
同样可得
