第二节 洛必达法则

三、其他未定式 二、

型未定式 一、 型未定式

第二节

洛必达法则

第三章

) (

) lim (

x g

x

函数之商的极限

导数之商的极限

0

(

或 型 )



) (

) lim (

x g

x f





本节研究 :

洛必达法则

一、

0 )

( lim

) ( lim

)

1  



 f x F x

a x

a x

) (

) lim (

)

3 F x

x f

a

x 





存在 ( 或为 ) 

) (

) lim (

) (

) lim (

x F

x f

x F

x f

a x a

x 

 





, )

( )

( )

( )

2 f x 与F x 在^ a 内可导 且 F x( )  0

定理 1.

0

型未定式

0

( 洛必达法则 )

(

_在

之间 ) 证 : 无妨假设

在指出的邻域内任取

, a

x 

_则

_在以

_{为端点的区间上满足} 柯

0 )

( lim

) ( lim

)

1  



 f x F x

a x

a x

故

) ( )

(

) ( )

( )

( ) (

a F x

F

a f x

f x

F x f



 

) (

) (



 F

f



 

) (

) lim (

x F

x f

xa

 ( )

) lim (



 F

f

a

x 

 

 ( )

) lim (

x F

x f

a

x 





) 3

定理条件 :

西定理条件 ,

) (

) lim (

)

3 F x

x f

a

x 





存在 ( 或为 ) 

, )

( )

( )

( )

2 f x 与F x 在^ a 内可导 且 F x( )  0

推论 1. 定理 1 中

a

x 

_换为

 ,

 a

x x  a^ , x  , x  

之一 ,

推论 2. 若

) (

) lim (

x F

x f



 仍属 型,且 ( ), ( )满足定 0

0 f  x F x

理 1 条件 ,

则

) (

) lim (

) (

) lim (

x F

x f

x F

x f



 

) (

) lim (

x F

x f



 

条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成 立 .

,

 x

) (

) lim (

) (

) lim (

x F

x f

x F

x f

a x

a

x 

 



洛必达法则

例 1. 求

3

1   





 x x x x x

x

解 : 原式

 x

0 型 0

2 6

lim 6

1 

  x x

x 2

 3

注意 :

不是未定式不能用洛必达法则 !

2 6

lim 6

1 

 x x

x 1

6 lim 6

1 





3 3x² 

1 2

3x²  x 

例 2. 求

x x

 x









解 : 原式

lim

  x

0 型 0

2 2

lim 1

x x

x 

  1

1

1





2

1



1 lim 1

12 

  x x

 型



二、

型未定式





 

 ( ) lim ( ) lim

)

1 f x F x

a x

a x

) (

) lim (

)

3 F x

x f

a

x 





存在 ( 或为∞ )

) (

) lim (

x F

x f

xa

定理 2.

) (

) lim (

x F

x f

a

x 

 



( 洛必达法则 )

) ( )

( )

( )

2 f x 与F x 在^ a 内可导 且 F x( )  0

说明 : 定理 中

a

x 

换为

之一 , 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成 立 .

,

 a

x x  a^, x  ,



 , x



 x

例 3. 求

lim 



 n

x x

x n

解 :

 型



原式



  ^x_n

x nx ^x nxⁿ

lim 1



   0

例 4. 求

n

为正整数的情形 . 解 : 原

式

 0

x n

x e

x n

 

1

lim ^



  _xⁿ

x e

x n

n

² 

) 2

1 lim (







 

x

x ne

n

 

lim !



 

 

. ) 0 ,

0 (

lim  



 _ n 

e x

x n

x 型





. ) 0 (

ln 0

lim  



 n

x x

x n

例 3.

例 4 .

. ) 0 ,

0 (

0

lim   



 _ n 

e x

x n x

说明 :

1)

例 3 , 例 4 表明

_{时 ,}

ln x

后者比前者趋于

_{更快 .}

例如 ,

x x

x

1 2

lim 



 lim 1 2

x x

x 

  x

x

x

1 2

lim 

 

而

x

x

1 2

lim 



 1 1

lim ₂ 

 ^x x 1 )

0 ( 

x

, e ) 0 (n  xⁿ

用洛必达法则

2)

在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决

计算问题 .

3) 若

( )

lim ( 不存在  时



 x F

x f

) . (

) lim (

) (

) lim (

x F

x f

x F

x f





例如 ,

x x

x

lim  sin



 1

cos lim 1 x

x







极限不存在



sin ) 1

(

lim x

x

x 



  1

三、其他未定式 :

解决方法 :

通分 转化

0 0



 ^0

取倒数 转化

00

1

0

取对数 转化

例 5. 求

0 

  xⁿ x n

x 0型

解 : 原式

x x

x

 ^ 

 ln

lim

0 1

1

lim0 _{ }

 

  x n

x n x

 0 ) (

lim

0 n

xⁿ

x 

  







型



 .

) tan (sec

lim

2

x

x x 

^

解 : 原 式

cos ) sin cos

( 1 lim

2 x

x x

x 

 ^ x

x

x cos

sin lim 1

2

 

^

x x

x sin

lim cos

2 

 

^  0

例 6.

求

通分 转化

0 0



 ^0

取倒数 转化

00

1

0

取对数

 转化





例 7. 求

0

x

x x

  0⁰型

解 :

x x

0

lim ^{x x}

x e ^ln

0

lim 



e0

 1

利用 例 5 通分

转化

0 0



 ^0

取倒数 转化

00

1

0

取对数

 转化





例 8. 求

lim tan₂

0 x x x x

x





解 : 注意到

_～

原式

0

lim tan

x

x x

x

 

 2

2 0 3

1 lim sec

x x

x

 



2 2 0 3 lim tan

x x

 x

x

x ²

2 1 tan sec  

3

 1

x

0型 0

n n  e^1nlnn 1

例 9. 求





n

n n n  0型

21

lim 



n n

解：





nn

n n

ln 1

1 ⁿ  en

12

lim 



n n

n ln n

1

12

lim ln n

n

n

  0

～

1 eu

原式

内容小结

洛必达法则

0 型

0,1 , 0 ^ 

 型



 0 型

0 型 0

 型



g

g f

f   ₁

f g

f

g g

f _{1 1}

1 1



 



f g

y 

令

取对数

思考与练习

1.

设

) (

) lim (

x g

x

f

是未定式极限 , 如果

x g

x f





不存在 , 是否

) (

x g

x

f

的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限

 





 (1 cos )ln(1 ) cos sin

lim 3 .

2

2 1

0 x x

x

x _x

x

原式

x

x _x

x

2 1 0

cos sin

lim 3 2

1 

 

) 1

ln(  x

_～

0 3

2(

1 

 2

3

分析 :

分析 :

0 3 2

cos lim 1

x

x

x

 

 0 3

lim x

 x

3.  



 



 

 x x x

x

1 sin

cot 1 lim0

原式

_～

1 cos

lim0 

 x

x x

x sin

2 2 12 0 3 lim x

x

 x

x cos

1

_～

6

 1

6 1

x x

x x

x

x 0 sin2

) sin (

lim cos 

 