立體變變變

3D 立體變變變 (The Variety of Polyhedra)

彭君智

摘要: 「正多面體只有五種」 這個出乎意料的事實不但沒有削減古希臘學者對於立體 世界的好奇, 反倒創造出更富變化的 「半正多面體」。 箇中戲法為何? 且讓咱們來探 尋、 玩味一番。

有幸拜讀平斯先生關於多面體的一篇文 章 「柏拉圖的地面」 (數播22卷第 4 期), 恰與 近年指導的科展作品有所契合 (註一), 乃將 相關的研究內容與結果整理和大家分享, 野 人獻曝, 尚祈各位讀者不吝指教。

零 . 認識多邊形

在生活週遭看得到、 叫得出來的正多邊 形以正三角形、 正方形和正六邊形居多, 如商 品包裝、 地磚、 蜂窩等, 而正八邊形在廟宇的 窗櫺設計或八卦中也比比皆是, 至於正五邊 形則較為少見, 反倒是五角星形不難見到, 繼 而從國徽上也可一窺 12 星形。 若從圓內接多 邊形的觀點視之, 則鐘錶上 12 個時辰的刻度 可得正 12 邊形, 依此類推: 分針刻度可得正 60邊形、 兩個量角器可得正360邊形 (註二)。

雖說不是任意的正多邊形皆為大家所熟 識, 但是 「正多邊形有無限多個」 卻是眾所皆 知的事實, 不過這 「無限多個」 到底該怎麼

畫? 其實, 只稍利用國中所學的 「角平分線 作圖」與 「圓內接多邊形」 的概念即可畫出無 限多個 「邊數成等比數列」 的正多邊形, 例如 從正六邊形可依序得出 12, 24, 48, 96, 192, . . ., 無巧不成書, 此法正是魏晉時期數學家 劉徽求圓周率所用的逼近概念之一(另一概念 為內切圓), 因此, 有時候我們也將 「圓」 看作 是廣義的 「正無限多邊形」。

壹 . 認識多面體

已知 「平面上有長、 有寬的正多邊形有 無限多個」, 試問 「立體空間的正多面體有幾 個?」 原以為 「加了高」 的變化應更加豐富, 怎 知結果卻僅僅只有五種, 稱之為 「意外」, 不知 讀者是否也有同感?

歷史上為了對付這位 「不速之客」, 曾經 發生過這麼一段插曲: 刻卜勒(Kepler 1571- 1630德) 搬出 「天意說」: 為什麼會從無限 多個正多邊形一下子就跳到少得可憐的五個

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正多面體? 而且不多不少就是五個? 原來, 天上的行星剛剛好也只有五顆(人類對於天文 的觀察與認識, 一直要到伽利略 (Calileo, 1564-1642, 義) 發明望遠鏡之後, 才真正大 開眼界), 因此, 行星間運行的規則便與這五 個正多面體對應(註三), 沒錯, 上帝就是這樣 安排的。 此一假設雖與後來觀察、 計算的結果 不合, 卻也強調了這個意外的重要(另有一說 法: 若將地球也納入行星行列則得6 顆行星, 而這個 「6」(一週的工作日) 正好是上帝創造 出來的第一個 「完全數」, 所以多一個不行, 少 一個也不成, 就是剛剛好五個)。

莞爾之餘不妨深思: 究竟怎樣的立體 (需具備哪些條件) 才得以叫做正多面體? 回 答問題之前, 先回來推敲平面的情況: 二度空 間的正多邊形皆滿足 「等角、 等邊」 兩個點和 線的條件, 因此推廣到三度空間的正多面體 時, 應具備點、 線、 面三個 「等角、 等邊、 等 形」 的條件, 我們將之歸納成 「二維條件」 與

「三維條件」:

(一) 二維條件: 由數個全等的正多邊形組 成。

(二) 三維條件: 每個頂點的立體角 (註四) 皆全等。

滿足這些要求的凸多面體即稱為正多面 體 (regular polyhedra), 也通稱為柏拉圖立 體(The Platonic Solids), 其廬山真面目如 下:

(1) 一個立體角可用三片正三角形組成三角 錐 (圖 1-1), 也可用四片正三角形拼組四 角錐 (圖 1-2) 或是五片正三角形組合五 角錐 (圖 1-3), 再分別依多面體的條件繼

續推演拼湊, 即可得正四面體 ( 四 圖1- 4)、 正八面體 ( 八 圖1-5) 和正二十面 體 ( 二十 圖1-6), 而六片以上的正三角 形恰成平面的正六邊形 (圖 1-7) 或重疊, 所以無法再組成多面體。

圖 1-1 圖 1-2

圖 1-3 圖 1-4

圖 1-5 圖 1-6

圖 1-7

(2) 若改以正方形來組合立體角 (三片), 可得 正六面體 (即正立方體 六 圖1-8), 四片 以上的正方形恰成平面的大正方形 (圖1- 9) 或重疊, 故無法組成立體。

圖 1-8 圖 1-9

(3) 使用正五邊形來組合立體角時 (三片), 可 得正十二面體 ( 十二 圖1-10), 四片以上 的正五邊形產生重疊 (圖 1-11), 故無法 組成立體。

圖 1-10 圖 1-11 (4) 當使用其他正多邊形來組合立體角時 (三

片以上), 皆產生平面 (圖 1-12) 或重疊, 所以無法組成新的多面體。(註五)

圖 1-12

邂逅: 日常生活中 「肉粽」 和 「立體茶 包」 的造形為 四 ; 「骰子」 和 「方糖」 的造 形為 六 ;「洗衣球」 為 八 的變形; 「古銅錢 串成的龍珠」 為 十二 的變化; 台中科博館 的招牌上有個 二十 , 至於新型建築的鋼棚 結構中, 則有 四 與 八 並存(如台北大安 公園的音樂台設計)。

貳 . 多面體的演化

正多面體只有五種的 「天意」 似乎 無法滿足大家對於立體世界的好奇, 於是 古希臘數學家便將二維中的 「等形」 條件放 寬: 把 「數個全等的正多邊形」 改成 「數種 同邊長的正多邊形」, 於是又變化出13個規則 的半正多面體 (semi-regular polyhedra), 也通稱為阿基米得立體(The Archimedean Solids)。 以下由正多面體出發, 利用切割、 變 形的幾何方法來探尋其中的奧秘 (註六)。

(一) 截角:

說明: 依適當比例將正多面體的立體角 截去時, 可使被截面與截面皆為正多邊形 (註 七)。 以下分別用符號 X · 一 、 X · 二 表 示 「立體 X 截去小角錐」 與 「立體 X 截去 大角錐」。

(1) 從 四 的四個頂點截去小三角錐可得 四 · 一 (圖 2-1); 截去大三角錐可得 四 · 二 (圖2-2)。

圖 2-1 圖 2-2

(2) 從 六 的八個頂點截去小三角錐可得 六 · 一 (圖 2-3); 截去大三角錐可得 六 · 二 (圖2-4)。

圖 2-3 圖 2-4

(3) 從 八 的 六 個 頂 點 截 去 小 四 角 錐 可 得 八 · 一 (圖 2-5); 截去大四角錐可得 八 · 二 (圖2-6)。

圖 2-5 圖 2-6

(4) 從 十二 的二十個頂點截去小三角錐可 得 十二 · 一 (圖2-7); 截去大三角錐可 得 十二 · 二 (圖2-8)。

圖 2-7 圖 2-8

(5) 從 二十 的十二個頂點截去小五角錐可 得 二十 · 一 (圖2-9); 截去大五角錐可 得 二十 · 二 (圖2-10)。

圖 2-9 圖 2-10

探索: 仔細觀察截角後的十個立體, 哪幾 個立體符合阿基米得立體的條件? 又哪幾個 立體是相同的? (註八)

(二) 截角和變形:

立體截角後再將截面伸縮、 變形為正多 邊形。

說明: 將對偶重複的立體 六 · 二 與 十二 · 二 繼續截角。 以 六 · 二 為例, 若 依正三角形的 1 : 1 : 1 切割得正六邊形, 但是這個比例對正方形的 1 : √

2 : 1 而言, 卻無法切出正八邊形, 反之亦然, 所以相鄰不 同的兩面無法同時切成正多邊形; 當切在中 點時, 截面卻是個長方形, 不是正方形。 為求 符合阿基米得立體的條件, 故將各截面邊長

「拉伸、 變形」 為正多邊形。 以下分別用符號 X · 1 、 X · 2 表示 「立體 X 截小角錐和 變形」、「立體 X 截大角錐和變形」。

(1) 截 去 六 · 二 的 十二 個 頂 點 可 得 六 · 二 · 1 (圖2-11) 以及 六 · 二 · 2 (圖 2-12)。

圖 2-11 圖 2-12 (2) 截 去 十二 · 二 的三 十 個 頂 點 可

得 十二 · 二 · 1 (圖 2-13) 以 及 十二 · 二 · 2 (圖2-14)。

圖 2-13 圖 2-14

(三) 正方形變形:

取定正方形一條對角線, 再將正方形依 此對角線分割、 變形為兩個正三角形。

說明: 將 六 · 二 · 2 和 十二 · 二 · 2 中屬於 「截面」 的正方形依對角線分割。 以

六 · 二 · 2 為例 (黑色的正方形屬於 「被 截面」), 由於對角線可有順逆時針兩種不同 取法 (圖 2-15), 故得不全等但類似的同態 體 (homomorphism): 兩立體如左右手般相 互鏡對稱 (圖 2-16), 但不重合。 以下用符號

X ^ 表示 「立體 X 正方形變形」。

圖 2-15 圖 2-16

(1) 從 六 · 二 · 2 可得 六 · 二 · 2 ^(圖 2-17)。

圖 2-17

(2) 從 十二 · 二 · 2 可得 十二 · 二 · 2 ^ (圖 2-18)。

圖 2-18

邂逅: 生活中 六 · 一 、 六 · 二 和 六 · 二 · 2 多 飾 於 廟 堂 的 欄 柱 或 燈 罩;

二十· 一 、 二十 · 二 、 十二·二· 2 、 十二·二· 2^ 可於新、 舊型的足球設計中 發現。

參 . 推廣與研究

(一) 利用 「截角、 變形與正方形變形」 這三 種變化, 可由五種柏拉圖立體變化出十 三種阿基米得立體。 若將這套遊戲規則 繼續玩下去(看到頂點就切、 看到正方 形就變), 能否變出第十四個阿基米得立 體? (幾經嘗試, 雖無功而返, 卻也意外 收穫!) 截角之後未變形的立體造型請 參考 「柏拉圖的地面」 一文的附圖, 而 為求滿足多面體的條件, 這些立體皆須 再變形:

(1) 變形之後多數立體匯集於頂點的角 度和皆 ≥ 360^◦, 故無法製成立體, 例如 = 360^◦ 的 四 · 一 · 1 或

> 360^◦ 的 八 · 一 · 1 。

(2) 少部分立體變形之後匯集於頂點的 角度和 < 360^◦, 的確可以組成立 體, 可惜發生意外 (所以阿基米得立 體還是十三個):

a. 新立體與規定不合, 如: 六 ^

= 菱形六面體 (相鄰的兩個三 角形恰好共平面, 變成一個菱 形, 圖 3-1)(註九)。

圖 3-1

b. 新立體已出現在多面體中, 如:

六 · 二 ^ = 二十 。

c. 新立體包含曲面, 如: 四 · 一 ·2 。 (請讀者嘗試圖 3-2)

圖 3-2

(二) 若把平面視為球面的局部 (如水平面與 海平面的關係), 或是想像將整個地球 (三維) 均勻鋪滿地磚 (二維), 則可將

「正多邊形鋪滿平面」 視為 「廣義的多面 球體」(立體角 = 360^◦), 如此可得三個

「正球體」, 稱為柏拉圖球體, 分別以符 號 III (圖3-3)、 IV (圖3-4)、 VI (圖 3-5) 表示, 仿 「變身術」(將各分點相連 即為「廣義的截角」) 也可再變化出八個

「半正球體」, 稱為阿基米得球體。( 註十)

圖 3-3 圖 3-4 圖 3-5 (1) 從 III 截小角得 III · 一 (圖 3-

6); 截大角得 III · 二 (圖3-7)。

圖 3-6 圖 3-7

(2) 從 IV 截小角得 IV · 一 (圖 3-8); 截大角得 IV · 二 (圖 3-9); 再將 IV 正方形變形得 IV ^/1 (圖 3-10)、 IV ^/2 (圖 3-11)、 IV ^/3 (圖 3-12)。

圖 3-8 圖 3-9

圖 3-10 圖 3-11

圖 3-12

(3) 從 VI 截小角得 VI · 一 (圖 3- 13); 截大角得 VI · 二 (圖 3-14);

再將 VI · 二 截小角、 變形得 IV · 二 · 1 (圖 3-15); 截大角、 變 形得 IV · 二 · 2 (圖 3-16); 最後 正方形變形得 IV · 二 · 2^(圖3- 17)。

圖 3-13 圖 3-14

圖 3-15 圖 3-16

圖 3-17

肆 . 窮則變、 變則通

本文利用截角、 變形, 從五種柏拉圖立 體變出整套阿基米得立體, 將此變身術延續 下去, 雖找不出第十四種規則的立體, 卻陰錯 陽差地把柏拉圖五大家族給結合在一起, 形 成 「族譜」 關係。 而更令人意外的是: 將變 身術推廣、 應用到平面的球體時, 竟也得出11 種完整的結果。 因此對多面體而言, 變身術這

套為了 「湊答案」 (找尋十三個阿基米得立體) 而創的遊戲規則也算是切得漂亮、 變得成功、

玩得有價值。

伍 . 問題與挑戰

(一) 若將 「正的直角柱」(圖 5-1) 側邊的矩 形改為正方形得 「方柱」(圖 5-2), 另把 方柱的正方形變形可得 「反角台」(anti- prism 圖 5-3), 則兩大系列無限多個立 體都滿足阿基米得立體的條件, 何以沒 有並列於其中?

圖 5-1 圖 5-2 圖 5-3 (二) 若將立體 六 · 二 · 2 沿 「赤道」 如魔

術方塊般旋轉 45^◦ (圖 5-4), 則新立體 可否列為第十四個阿基米得立體?( 註 十一)

圖 5-4

(三) 柏拉圖球體與阿基米得球體的點、 線、

面的數量雖屬無限多, 但彼此存著正比 關係, 故仍能套用尤拉公式計算(註十 二), 但結果卻等於0, 與一般凸體的 示性數 2 不同, 卻與甜甜圈等凹體的示 性數 0 相同。 如果說 0 是平面而非球面

的示性數, 是否意味著 「從平面到球 體」 的推廣不當? 還是須考量 「臆想 點」 (imaginary point 無窮遠點) 等問 題? (有請讀者指點迷津)

陸 . 附註

註一: 台北市第 32 屆中小學科學展覽國中組 數學科 「 3D 立體世界探堪之旅」, 作 者: 李明泓、 胡伯宇、 張紘聞、 劉隆穎。

註二: 若再利用不同的單位刻度作分點, 還可 得到邊數為其正因數的正多邊形: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180,。 有空不仿多留意 「汽車輪胎的鋼 圈設計」, 保證有許多意想不到的新發 現。

註三: 「上帝是否運用數學來排行星?」 讀者 可從下表的數據查證:

多面 體 四 八 六 十二 二十 外接球半徑 0.612 0.707 0.866 0.951 1.401 稜切球半徑 0.354 0.500 0.707 0.809 1.309 內切球半徑 0.204 0.428 0.500 0.756 1.114 行 星 水星 金星 火星 木星 土星 軌道半徑 0.387 0.723 1.523 5.203 9.555

表中數據乃將 「多面體的稜長」 和

「地球的公轉半徑」 定為 1 計算所得, 若改定其它數據為 1 (如以正多邊形 外接圓或內切圓半徑為 1), 勢必產 生劇烈變動, 或許刻卜勒還有一線生 機! 另提供高斯的 「行星級數」 做參 考: 4(水星)、7(金星)、10(地球)、16(火 星)、28(小 行 星)、52(木 星)、100(土 星)。

註四: 一個立體角至少需由三個面組成, 而匯 集於立體角頂點的各多邊形 (各面) 的 內角總和必須< 360^◦。 當≥ 360^◦ 時 (即共平面或重疊), 無法組成立體角, 若硬是要組成三維立體, 則會產生曲面 凹體。

註五: 「正多面體有而且只有五個」 於焉成 立。 為免贅述, 文後指稱立體 X 時, 皆 以 X 方形符號替代。

註六: 多面體的數量與種類, 一般均以代數 假設法配合尤拉公式討論(詳見 「正 多面體的故事」 一文), 此幾何切割 概念源自一般對偶定理的圖解, 本文 將此法再延伸(試圖尋求第十四個阿基 米得立體), 巧與英文命名有異曲同工 之妙:「truncated-」 即是 「截角」; 而

「rhombic-」 意指 「菱形、 等長」, 與

「截角、 變形」 相同; 「snub-」 象形 「獅 鼻」(圖 6-1), 同本文的 「正方形變形」。

圖 6-1

註七: 正多面體各由正三角形、 正方形與正 五邊形所組成, 當被截面各邊分別依

「1 : 1 : 1」、 「1 : √

2 : 1」 及

「1 : ¹⁺₂^√5 : 1」 的比例截角時, 可得 正六邊形 (圖 6-2)、 正八邊形 (圖 6-3) 及正十邊形 (圖 6-4); 若是截取中點可 得正三角形 (圖 6-5)、 正方形 (圖 6-6)

和正五邊形 (圖 6-7), 而因為對稱的關 係, 截面亦同時被截成正多邊形, 故符 合阿基米得立體的二維條件。

圖 6-2 圖 6-3

圖 6-4 圖 6-5

圖 6-6 圖 6-7 註八: 十個截角立體除了 四· 二 = 八 以

外, 餘皆符合阿基米得立體的條件, 其 中 十二·二 = 二十·二 、 六· 二 = 八·二 為對偶現象。 以下從尤拉公式 (V − E + F = 2) 利用 V 與 F 的加 法交換率來窺探 「對偶」 之美:

(1) ^∵V4 = F4 ∴V4− E⁴ + F4 = F4− E⁴+ V4 因此 四 自對偶。

(2) ^∵V6 = F8, E6 = E8, F6 = V8

∴V6− E⁶+ F6 = F6− E⁶+ V6

= V8− E⁸+ F8

因此 六 與 八 互為對偶立體。

(3) ^∵V12 = F20, E12 = E20, F12 = V20

∴V12− E¹²+ F12

= F12− E¹²+ V12

= V20− E²⁰+ F20

因此 十二 與 二十 互為對偶立 體。

註九: 六 的正方形變形尚有兩種變化: 一 個 像 寶 石 般 的三 角 十 二 面 體(delta- hedron); 另一個可看成是一個 八 和兩個 四 的組合凹體(其中有8 個正 三角形共平面)。 (請讀者嘗試)。

註十: 正多邊形均勻鋪滿平面的情形與種類 共有 11種 (詳見 「鋪路石的排列法」 一 文)。 柏拉圖球體在變身的過程中也出 現對偶的重複現象:

(1) III · 一 = VI 、 III · 二 = VI · 二 。

(2) IV^/ 2 = III (可有多種方 法切割)。 其中 IV ^/ 1 與 IV^/ 2 的同態球體皆各自與 原球體相同 (鏡射後全等), 而 IV ^/ 3 (看成是 IV · 二^ 會較容易) 的同態球體 (圖 6-8) 須再旋轉 30^◦ 才會重合, 只有 VI·二· 2 ^ 的同態球體不同 (圖 6-9)。 至於推廣與研究 (一) 中繼 續截角、 變形所產生的 四·一·1 的立體角雖然也等於 360^◦, 卻因

V 、E、F 的數量有限而無法 「推 廣」 並列於阿基米得球體的行列。

圖 6-8 圖 6-9

註十一: 阿基米得立 體 的 定 義 是 否 應 更 嚴 密? 例如 「頂點要共球面」 、 「要 滿足點、 線、 面的對稱」. . .等, 驗 證的結果卻發現 六 · 二 · 2^ 、 十二 · 二 · 2^ 完全不合點、 線、

面的對稱, 反倒是有疑問的立體全 都滿足新條件。 有些書本 (Convex figures and polyhedra) 認定該 立體為第 14 個阿基米得立體, 而 有的書籍(POLYHEDRA) 卻否 定該立體 (pseudo Archimedean solid), 因為該立體不滿足 「高度的 對稱性」(不同於點、 線、 面的對稱, 而是指視覺上的對稱: 站在各頂點 所見的立體皆要相同), 至於 「方 柱」 或 「反角台」 則見與柏拉圖立 體、阿基米得立 體 並 列 為uniform polyhedra。 筆者倒是有個奇想:

不管是阿基米得立體還是柏拉圖立 體, 應該都只是後世研究者一種

「功成不居」 的敬稱(就好比 「倉頡 造字」 一樣), 後世陸續有新的研究 和見解出爐, 所以其數量(見人見智

的第14 個與已經肯定的 5 個) 應無 須太過拘泥吧!

註十二: 在此以函數 e(X) = V_X − EX + F_X 表示立體 X 的尤拉示性數 (1) 計算 III 無限多個 V 、E、F 的

正比關係:

設 FIII = n 則可得 3n 個 V 與 3n 個 E,

∵ 每一個 V 重複 6 次而每一個 E 重複 2 次,

∴VIII = ³₆n = ¹₂n; EIII = ³₂n 因此 e ( III ) = ¹₂n−³2n+n = 0 6= 2

(探索: 如果 VIII和 EIII長得像

3

2n 和 ¹₂n, 那麼 FIII 是否必為 偶數? 提示: 觀察 III 與 VI 的表象關係即可迎刃而解。) (2) 計算 IV · 一 無限多個 V 、

E 、 F 的正比關係:

由於 IV· 一 有正方形與正八 邊形兩種, 故一開始不宜直接 假設 F_IV·−, 不妨利用 IV 與 IV· 一 的截角關係, 先設正八 邊形 (即 FIV) 有 n 個, 由 此可得正方形 (即 VIV) 有 n 個, 因此得到 8n + 4n 個 V 與 8n + 4n 個 E, ^∵ 每一個 V 重複 3 次而每一個 E 重複 2 次, ^∴ V_IV·− = ¹²₃n = 4n;

E_IV·− = ¹²₂n = 6n; F_IV·− = n + n = 2n 因此 e( IV· 一 )

= 4n − 6n + 2n = 0 6= 2。

柒

附件

(

一

多面體與球體族譜演化過程。

(1) 多面體家族:

(2) 球體家族:

(

二

多面體與球體

、

、

一覽表

趨近於無窮

。

多面體 V E F 多面體、 球體 V E F

四 4 6 4 四·一 12 18 8

六 8 12 6 六·一 24 36 14

八 6 12 8 八·一 24 36 14

十二 20 30 12 十二·一 60 90 32

二十 12 30 20 二十·一 60 90 32

六·二 12 24 14 十二·二 30 60 32

六·二·1 48 72 26 十二· 二 ·1 120 180 62 六·二·2 24 48 26 十二· 二 · 2 60 120 62 六·二·2^ 24 60 38 十二· 二 ·2^ 60 150 92

IV n 2n n VI· 一 6n 9n 3n

IV·一 4n 6n 2n VI· 二 3n 6n 3n

IV^ 2n 5n 3n VI· 二·1 12n 18n 6n III ¹₂n ³₂n n VI·二· 2 6n 12n 6n

VI 2n 3n n VI·二·2^ 6n 15n 9n

(

三

阿基米得立體符號及英文名稱一覽表

四·一 = truncated tetrahedron

六·一 = truncated hexahedron (cube) 八·一 = truncated octahedron

十二·一 = truncated dodecahedron 二十·一 = truncated icosahedron 六·二 = 八·二 = cuboctahedron

十二·二 = 二十·二 = icosidodecahedron 六·二·1 = rhombitruncated cuboctahedron 六·二·2 = rhombicuboctahedron

六·二·2^ = snub cube

十二·二·1 = rhombitruncated icosidondecahedron 十二·二·2 = rhombicosidomdecahedron

十二·二·2^ = snub dodecahedron

參考文獻

1. 國立台灣師範大學科學教育中心, 高中基礎 數學統合 (上冊): 多面體與尤拉公式, 第七 版, 台北, 國立編譯館, 68 ∼ 83, 80年8月。

2. 溫亦剛, 中學數學基礎百科全書: 立體幾何, 第三版, 台北, 九鼎出版社, 230 ∼ 253, 77 年 5 月。

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4. 蔡志強、 孫文先, 數學立體模型製作, 台北,

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5. 平斯, 柏拉圖的地面, 「數學傳播季刊」22 卷, 第 4 期, 59 ∼ 64, 87年12月。

6. 符之琪, 數學千面人 — 曲面的示性數 「科學 月刊」, 22 卷第 10 期, 766 ∼ 770, 80年 10 月。

7. P. Cromwell POLYHEDRA Cambridge University Press, 51∼86, 1997。

—本文作者任教於景興國中_—