立體圖形

立體圖形

1 長方體

n 長方體：是由 6 面互相垂直的 長方形所圍成的立體圖形。

Ø 表面積=六個面的面積和 Ø 體積=長×寬×高

【說明】右圖是長方體的展開 圖。

【說明】右圖長方體的長、寬、高分 別是1 公分、1 公分、3 公 分，求其體積和表面積。

體積=1ⅹ1ⅹ3=3 立方公分

表面積=2(1ⅹ1+1ⅹ3+3ⅹ1)=14 平方公分

n 正方體：是由 6 面互相垂直的 正方形所圍成的立體圖形。

Ø 表面積=正方形面積×6 Ø 體積=邊長³

【說明】右圖是正方體的展 開圖。

【說明】右圖正方體的邊長是2 公分，求其體積和表面 積。

體積=2ⅹ2ⅹ2=8 立方公分 表面積=6(2ⅹ2)=24 平方公分

2 角柱 n 角柱：

Ø 直角柱：柱體的矩形 側 面 與 兩 個全 等 的 多 邊 形 底 面互 相 垂 直的柱體。

u 柱體體積=底面積×高 u 柱體表面積=各面面積的和

【說明】底面為三角形的柱體稱為三角柱。

體積=三角形面積×高 表面積=展開圖的面積

Ø 斜角柱：側面與底 面不垂直的柱體。

範 例 講 解

Ex1.

(1).下列各圖皆由相同大小的正方形所構 成，請問下列哪一個選項是正方體的展開 圖？

(A) (B)

(C) (D)

(2).如圖為正方體展開 圖，和 d 面相對的是

哪一面？ (A) a(B) b(C) e(D) f。

Hw1.

(1).下列何者不是長方體的展開圖？

(B) (A)

(C)

(D)

(2).右圖是由白色紙板拼成 的立體圖形，將此圖形中

的兩面塗上斜線。下列四個圖形中哪一個 是它的展開圖？

(A) (B)

(C) (D)

Ans: D Ans: D;Ａ

Ex2.如圖為甲、乙兩個長方 體，依圖中所給的邊長 長度（單位：公分），計 算甲體積與乙體積的比 值為何？

Hw2.有一個四角柱，柱底面積變成原來的 2 3 倍，

柱高變成 2 倍，則體積變成原來的多少倍？

Ans: 1.5 Ans: 3

Ex3.有一個用 2.5 公分厚的玻璃做成的無蓋魚 缸，由外面測得其長、寬、高分別為 155 公 分、65 公分、120 公分，求其容積。

Hw3.有一個長方體的儲油槽，由其內部測得長 15 公尺、寬10 公尺、高 2 公尺，若裝滿，可 儲存多少公升的油？

Ans: 1057500 Ans: 300000

Ex4.如圖，有一個底面為梯形的柱 體，柱高 40 公分，求其體積。

Hw4.如圖，柱體的兩底面為全等的 五邊形，側面均為與兩底面積 垂直的長方形。根據如圖的數 據及符號，求此柱體體積為 何？

Ans: 15000 Ans: 570

Ex5.如圖有一個水泥階梯，相 鄰兩個面都互相垂直，它的 每階高為 0.5 公尺、深為 0.6 公尺、寬為 2 公尺，請

問這個水泥階梯的體積多少立方公尺？

Hw5.如圖，相鄰兩面皆互相 垂直，求其體積及表面 積。

Ans: 3.6

Ans: 132000;17200 Ex6.如圖，有一長 20 公分、寬

10 公分、高 15 公分的長 方體，在其角落挖去一邊長

為 3 公分的正方體，求剩下來的部分之體積 及表面積。

Hw6.如圖柱體任兩個相鄰面 皆成垂直，求此柱體的體 積為何？

Ans: 2973; 1300 Ans: 1250

Ex7.有一個正三角柱，已知其底面是邊長 12 公分 的正三角形，柱高為 20 公分，求其體積和表 面積。

Hw7.如圖為某三角柱的展開 圖，各邊長如圖所示，則此 三角柱的體積和表面積分 別為何？

Ans: 720 3;72 3+720 Ans: 96,152

Ex8.用 5 公分厚的木板做成有蓋的長方體水槽一 個，從槽外量得它的長、寬、高依次為 90 公

Hw8.如圖，長方形紙板的長為 30 公分，寬為 20 公分。

少公升？ 一個邊長 4 公分的正方形，剩餘的紙板可以 做成一個沒有蓋子的箱子。若倒入 0.528 公 升的水，此時水深有多少公分？

Ans: 280 Ans:2

Ex9.如圖，一枝六角柱形的鉛筆，其截面為邊長 0.4 公分的正六邊

形，筆芯（圓柱）直徑為 0.2 公分，鉛筆長 17 公分，求這支鉛筆木材部分的體積。

Hw9.有一六角柱體，已知其底面為邊長 20 公分 的正六邊形，若此柱高為 30 公分，求此六 角柱體的表面積為多少平方公分？

Ans:

25 3

102 －0.17π Ans: 3600＋1200 3

3 角錐

n 角椎：是由一個多邊形的底面和數個三角形側 面所形成的立體圖形，稱為角錐。

n 正角錐：角錐底面為正多邊形，且側面為等腰 三角形的角錐。

錐體表面積=各面面積的和

【說明】底面為正三角形的錐體稱為正三角錐。

【說明】底面為正五邊形的錐體稱為正五角錐。

4 圓柱與圓錐

n 圓柱：以兩個等圓為上、下底面的直柱體。 【說明】直圓柱兩底圓心的連線與兩底的所有半徑 都垂直。它的展開圖中，長方形的長等於 圓的周長。

n 圓錐：由一個圓形的底面和一個頂點，側面是 一個扇形曲捲組成的圖形。

【說明】直圓錐的頂點和底面圓心的連線與底的所 有半徑都垂直，圓錐的展開圖是由一扇形 和圓組合而成的圖形，其中扇形的弧長等 於底圓的周長。

範 例 講 解

Ex10.有一圓柱，已知其半徑為 15 公分，柱高為 20 公分，求其體積及表面積。

Hw10.如圖，在竹棒上黏貼一張長方形 紙片，然後用兩手夾住竹棒快速 旋轉，請問：此圖形的體積為多 少立方公分？（圓周率以π表示）

Ans: 4500π;1050π

Ans: 20π Ex11.如圖為一直圓柱的一部分，

試求其體積。

Hw11.如圖是一個直徑為 20 cm 的半圓柱體，其體 積為為多少立方公分？

（圓周率以 3.14 計算）

Ans: 1500π Ans: 7850

Ex12.有一個空心水泥管從 外部量得的柱高為 200 公分，底面圓的直

徑為 100 公分，水泥厚度為 10 公分，則此 空心水泥管中水泥所占的體積為多少立方公 分？（圓周率以π計算）

Hw12.如圖是一個練臂力的啞 鈴，左右兩端是相同的圓 柱體，半徑為 10cm、厚度

為 5cm；中間握柄也是圓柱體，半徑為 1.5cm，長度為 15cm，則體積共多少立方 公分？（圓周率以π計算）

Ans: 180000π Ans: 1033.75π

Ex13.如圖，有一圓錐，其底面半徑為 5 公分，其頂點到底面圓周上的最短 距離為 20 公分，則此圓錐的展開 圖中，其扇形部分的圓心角是多少 度？

Hw13.如圖是一個圓錐的展開 圖，則 a＝？

Ans: 90° Ans: 216

Ex14.小明將一圓錐體展開後，經測 量後其結果如圖所示，則此圓 錐的表面積為何？

Hw14.如圖，甜筒的底面半徑為 r，斜 高為 l，則此甜筒的側表面積為 多少平方單位？

Ans: 400 π Ans: πrl

Ex15.如圖是一正四角錐的展開 圖，則此四角錐的表面積為 多少？

Hw15.如圖為正四角錐的展開圖，

若將其折合成立體圖形後，頂 點A 至底面的垂直距離為多 少？

Ans: 868 Ans: 7

綜 合 應 用

Ex15.填填看，下列立體圖形各有多少個頂點？多 少條稜邊？多少個面？

圖形 頂點數 稜邊數 面數 五角柱

七角柱 六角錐 八角錐

Hw15.

(1).六角柱的頂點數－邊數＋面數＝？(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4。

(2).下列哪一個立體圖形的邊數不是 12？

(A)長方體(B)四角柱(C)五角錐(D)六角 錐。

(3).比較六角柱與六角錐的頂點、邊和面，可 以發現下列何者選項是正確的？ (A)六角 柱的頂點是六角錐頂點的 2 倍(B)六角柱 的邊數是六角錐邊數的 2 倍(C)六角柱 的面數是六角錐面數的 2 倍(D)六角柱 的面比六角錐的面多 1 個。

Ans:10,15,7;14,21,9;7,12,7;9,16,9 Ans: B;C;D

Ex16. 如圖的紙盒是由兩種簡單立體 圖形拼成的，請畫出它的展開圖，

並將此兩種立體圖形的名稱寫出 來。

Hw16.已知如圖的塑膠模型，其 底面積是一個長方形和一 個梯形，求其體積？（單 位：cm）

Ans: ;四角錐與四角柱 Ans: 3920

Ex17.如圖，由半圓柱體和長 方柱體組成的柱體體積 為多少立方單位？（圓 周率π以 3.14 計算）

Hw17.如圖是一個垃圾桶，它 的下半部是一個長方 柱，上半部是一個半圓 形的柱體所組成，則整

個垃圾桶外形上的體積為多少?（圓周率π 以 3.14 計算）

Ans: 1985 Ans: 151400

Ex18.如圖是由兩個相同長方柱體組成的英文字 母 T，每一個長方柱體長

為 20cm、寬為 4cm、高 為 4cm，則整個英文字母 T 的體積為多少立方公分?

Hw18.如圖是一個箭頭方向標誌木牌，厚度為 3cm，箭頭部分為等腰直角三角形，兩腰 長為 8 公分，箭身部分

是長為 20cm、寬為

10cm 的長方體，則此木牌體積為多少立方 公分?

Ans: 640 Ans: 696