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“C46N1” — 2022/3/9 — 16:52 — page 1 — #1
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Felix Klein (1849∼1925) 生逢科學盛世, 各種新思潮風起雲湧: 達爾文的進 化論付梓, 相對論及量子力學湧現。 躬逢其盛的數學理論也共歷鉅變, 黎曼的直觀 方法與 Weierstrass 毫不妥協的嚴謹性對比鮮明。 Klein 傳承了黎曼的精神。
1869 年, Klein 提出非歐幾何的 Klein 模型, 闡釋非歐幾何與歐氏幾何具 等價的一致性, 從而確定了非歐幾何的合法性。 1872 年, 他在 Erlangen 提出了 Erlangen Program, 根據變換群對幾何進行分類。 以現今語言來說, Klein 提出了 齊次流形的新概念, 其結構 [M,G] 由流形 M 及作用於 M 的群 G 所組成; 他以變 換群下的 「等價性」 和 「不變性」 將幾何分類。
Klein 對 「不連續」 群的研究在某種意義上與 Sophus Lie 的 「連續」 群理論 相輔相成。 Klein 著重大域幾何, 而 Lie 的理論純屬局部。
在慕尼黑, Klein 發展不連續群的理論, 據以闡明並擴展黎曼的幾何函數理論。
在萊比錫, 由於過度的工作量以及與 Poincar´e 在自守函數理論的激烈競爭, 他在 1882 年精神崩潰, 爾後的研究開創性不復從前。
1886 年, Klein 轉赴 G¨ottingen 大學, 延攬 Hilbert 及 Minkowski。 他以 深刻的洞察力和理解力創建了世界級的團隊, 如願讓 G¨ottingen 成為數學家的聖 地。
一位才華橫溢、 深富創造力的年輕幾何學家, 中年時籌設了頂尖的數學機構, 高瞻遠矚, 手腕精熟。 康明昌教授介紹了 Klein 的生平。
一元三次多項式可經平移轉化為 x3+ px + q = 0 的形式。 受 Sylvester 工 作的啟發, 陳永川教授將方程式 x3+ px + q = 0 分解成兩個一次式的三次方的和, 從而得到一元三次方程的求根公式。 相較於經典的 Cardano 公式, 該方法易解好 用。 廖信傑、 薛昭雄教授對該方法做了進一步的分析。 他們寫下方程式的統一形式, 藉以得到根的公式, 從而判斷一元三次方程具三實根的係數條件。
Noga Alon 於 1999 年引介名為組合零點定理 (Combinatorial Nullstellen- satz) 的代數技巧, 藉由分析精心選擇的多項式的根, 獲得各種結果, (關鍵步驟是要 證明該多項式的某個單項式係數非零)。 張鎮華教授介紹了組合零點定理的相關定 理及其證明, 並討論了幾個現有的應用, 諸如: 加性數論中的 Cauchy-Davenport 定理、 正則子圖的存在性、 與 d-點團集相交的集合數目計算, 以及有向圖奇、 偶循 環子圖數目與著色問題的關聯。
高斯證明: 給定數體 k, 若藉由主理想定義分數理想的等價關係, 則等價類 的集合 H+(k) 是理想乘法下的有限阿貝爾群, 稱為理想類群。 對二次體 K = Q[√
m], 高斯考慮了更粗略的等價概念, 將這些粗略的類稱為虧格, 它們是具相同 判別式的等價類的集合, 而類的數量僅取決於判別式。 余家富教授及洪梵雲先生細 說這些理論。
梁惠禎 2022 年 3 月
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第 四 十 六 卷
第 一 期
Felix Klein (1849∼1925) · ·· · · ·· · · · ·· · · ·· · · 康明昌 3 Alon 的組合零點定理 · · · · 張鎮華 21 一元三次方程式的再探 · · · · 廖信傑 · 薛昭雄 33 高斯虧格理論 · · · · 余家富 · 洪梵雲 40 以數學模型來詮釋 「利他主義」 的真諦 · · · · 陳博彥 64 圓內接正多邊形的奇偶弦長冪次定和 · · · · 楊玉星 69 等角差線實為雙曲線 · · · · 鍾文體 84 揭示趣題背後的數學規律 · · · · 李發勇 88 數學核心素養視角下的解題探究 · · · · 朱小扣 96
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