问题的提出：

数学期望 方差

协方差、相关系数 其它数字特征

第四章 随机变量的数字特征

在一些实际问题中，我们需要了解随机变 量的分布函数外，更关心的是随机变量的 某些特征。

问题的提出：

例：

在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平 均产量；

在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平 均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程 度；

考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。

, ,

甲乙两个射手他们的某次射击成绩分别为 例 : 谁的技术比较好 ?

乙射手 击中环数

次数

10 9

8

20 65 ¹⁵

甲射手 击中环数

次数

10 9

8

10 ₈₀ 10

解：计算甲的平均成绩：

计算乙的平均成绩：

所以甲的成绩好于乙的成绩。

8 10 9 80 10 10 8 10 9 80 10 10 9

100 100 100 100

           

8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95

100 100 100 100

           

定义：设离散型随机变量 X 的分布律为

若级数 则称级数

的值为 X 的数学期望，记为 E(X) ，即 4.1 数学期望

(

)

1, 2,

P X  x  p k  

1

k k ,

k

 x p





( )

E X  

x p

1

k k k

 x p



( 一 ) 数学期望定义

定义：设连续型随机变量 X 的概率密度 函数为 f(x) ，若积分

则称积分 的值为 X 的数学期 望，记为 E(X) ，即

数学期望简称期望，又称均值。

+^ x f x dx( ) ,

  

+



( ) xf x dx





( )

( )

E X

xf x dx

 

例 1.1 澳门赌场猜大小游戏中有买 4 点 的游戏，游戏规则如下，掷 3 颗骰子，

点数之和为 4 赌场输，赌场赔率 1 赔 50,

否则其押金归赌场所有 , 问此规则对赌场

还是赌客更有利 ?

解：显然赌客猜中 4 点的概率为 3/216=1/72.

设一赌客押了 1 元 , 那么根据规则 , 他赢 50 元的概率为 1/72, 输 1 元的概率为 71/72. 因此经过一次赌博 , 他能 " 期望 " 得到的金额为 :

所以对赌场有利 .

1 71

49 ( 1) 0.3056 0

72 72

      

1 3 2

( (-1) ) , 1, 2, . 3

k k

P X k k

k

    

1 1 1

3 2 2

| | ,

3

k

k k k

k k k

x p k k

  

  

    

  

例 1.2 设随机变量 X 的分布律为

证明 X 不存在数学期望 . 证明 : 由于

即该无穷级数是发散的，由数学

期望定义知， X 不存在数学期望 .

2

( ) 1 , (1 )

f x x

 x

    

 ，

( ) x f x dx





1

(1 )

x dx





 



0 2

2

(1 ) x dx



 



^

^{1 ln(1 }

⁾

^{ }

例 1.3 设随机变量 X 的概率密度函数为

证明 X 不存在数学期望 . 证明 : 由于

由数学期望定义知， X 不存在数学期望 .

1.4 X  P ( )(  ), E X ( )

例设 泊松分布求

( ) 0,1, 0

!

ke

X P X k k

k

 ^ 

    

解解解解解解解

X的数学期望为：

0

( ) !

k

k

E X k e

k



 







1 ( 1)!

k

k

e k

 

 ^{  }







e

e





  

0 0 0

1 1

| | .

x x x

xe ^ e dx^ e ^

 

     

  



( )E X ^ xf x dx( ) 0^ x e dx









1.5 X  (  0) E X( ).

例设服从参数为的指数分布，求

, 0, ( ) 0, 0.

e x x

X f x

x



 

   解：的密度函数为

1.6

, 0, 1 , 0,

( ) ( )

0, 0. 0, 0.

min( , ), max( , ), ( ), ( ).

x x

X Y

e x e x

f x F x

x x

N X Y M X Y E N E M

 

 ^{ }

    

   

 

 

 

例设与独立同分布，密度函数与分布函数为

令求

( ) 1 (1 ( )) ,

N F xN

  

解：的分布函数为

2 2 , 0, ( ) 0, 0.

x N

e x

f x x

 ^ 

 

   因此，密度函数为

( ) (min( , )) 1 .

^

^ 2

由上例，

( ) ( ( )) ,

M

的分布函数为



2 2 2 , 0, ( ) 0, 0.

x x

M

e e x

f x

x

 

 ^  ^

  

  

因此，密度函数为

( ) 0 _M ( ) E M 



2

0 0

2 ^ x e dx ^{x } x2e^{ x}dx







2 1 3 . 2 2

  

  

例 1.7 某厂生产的电子产品 , 其寿命 ( 单位 : 年 ) 服 从指数分布 , 概率密度函数为

若每件产品的生产成本为 350 元 , 出售价格为 500 元 , 并向顾客承诺 , 如果售出一年之内发生故障 , 则 免费调换一件 ; 如果在三年之内发生故障 , 则予以免 费维修 , 维修成本为 50 元 . 在这样的价格体系下 ,

1 /3, 0,

( ) 3

0, 0, e x x

f x

x

  

 

 



1 / 3 1/ 3 0

3 / 3 1/ 3 1

1

/ 3 1

{ 200} {0 1} 1 1 ,

3

{ 100} {1 3} 1 ,

3

{ 150} { 3} 1 .

x

x

x

P Y P X e dx e

P Y P X e dx e e

P Y P X e dx e

 

  

  

       

      

    







解：记某件产品寿命为 X( 年 ), 售出一件产品的净收入 为 Y( 元 ) ，则 _{500 350 2, 0 1,}

500 350 50, 1 3,

500 - 350 3

X

Y X

X

   



     

 



若 若 , 若.

由于 X 服从指数分布，那么

1/ 3 1/ 3 1 1

1/ 3 1

( ) 200 (1 ) 100 ( ) 150 33.35( ).

E Y e e e e

e e

   

 

        

   

200+300 50元 即 Y 的分布律为

Y -200 100 150 p 1 e ^{1/ 3} e^{1/ 3}  e^1 e^1

因此售出一件产品的平均净收入为

1

( )_{k k}

k

g x p







(1)

( _k ) _k , 1, 2, X

P X  x  p k   解解解解解解解解解解解解解解

( 二 ) 随机变量函数的数学期望

 

( ) ,

Y  g X 定理：设连续函数

1

( ) [ ( )] ( ) ;_{k k}

k

E Y E g X ^ g x p



 



(2)X 是连续型随机变量，密度函数为f x( ),

( ) ( ) g x f x dx



  



( ) ( ( )) ( ) ( ) . E Y  E g X 



定理的重要意义在于，求 E(Y) 时，不必 算出 Y 的分布律或概率密度函数，只利用 X 的分布律或概率密度函数 ;

可以将定理推广到两个或两个以上随机

变量的函数的情况 .





(3)二元离散型随机变量的分布律为：

 

( , ) ,

Z  h X Y 定理(续)：设连续函数

( _i , _j ) _ij , , 1, 2,

P X  x Y  y  p i j  

( )

E Z 存在，则有

1 1

( ) [ ( , )] ( , ) ;_{i j ij}

i j

E Z E h X Y ^{ } h x y p

 

 







(4)二元连续型随机变量的密度函数为，

( )

E Z 存在，则有

( ) ( ( , )) ( , ) ( , ) . E Z E h X Y ^{ } h x y f x y dxdy

 

 

 

 

1.8

,

例设二维随机变量的联合分布律为

0 1 2

0 0.1 0.25 0.15

1 0.15 0.2 0.15

X Y

( ) sin 2

Z  X Y 求随机变量的数学期望。

( ) ( ) [sin ]

2

(0 0) (1 0)

sin 0.1 sin 0.15

2 2

(0 1) (1 1)

sin 0.25 sin 0.2

2 2

(0 2) (1 2)

sin 0.15 sin 0.15

2 2

0.25

E Z E



 

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 解：

例 1.9 设随机变量 (X,Y) 的联合密度函数为：

求 E(X),E(XY).

(1 )

e , 0, 0, ( , )

0,

x y

x x y

f x y

 

  

 

 其他,

( ) ( , )

E X ^{ } xf x y dydx

 



 

解：

(1 )

0^{ }0 x xe^{x y} dydx



 

0^ xe [^x 0^ xe d ]d^xy y x



 

e d^x 1, x x

 





例 1.9 设随机变量 (X,Y) 的联合密度函数为：

求 E(X),E(XY).

(1 )

e , 0, 0, ( , )

0,

x y

x x y

f x y

 

  

 

 其他,

( ) ( , )

E XY ^{ } xyf x y dydx

 



 

解：

(1 )

0^{ }0 xy xe^{x y} dydx



 

0^ xe [^x 0^ y xe d ]d^xy y x



 

0 0

e ^x 1 d e d^x 1.

x x x

x

   







例 1.10 某商店经销某种商品，每周进货量 X 与需求量 Y 是相互独立的随机变量，都

~U[10,20].

商店每售出一单位商品可获利 1 万

元，若需求量超过进货量，商店可从其他处调

剂供应，此时每单位商品获利 0.5 万元；求商

店经销该商品每周所获利润的数学期望 .

, , ( , )

0.5( ), ,

Y Y X

Z g X Y

X Y Y X

 

  

 



若 若

解：设表示该种商品每周所得的利润，则Z

( , )

1 100, 10 20,10 20 ( , )

0,

X Y X Y

x y

f x y     

 

和相互独立，因此的概率密度为

， 其他，

( ) ( , ) ( , )

E Z ^{ } g x y f x y dxdy

 



 

20 20 20

10 10 1 100 10 0.5( ) 1 100 1 42(

x

dx y dy dx x x y dy

    



   

.万元）

例 1.11 设按季节出售的某种应时产品的销售 量 X( 单位 : 吨 ) 服从 [5,10] 上的均匀分布 . 若销售出一吨产品可盈利 C

万元 ;

但若在销售季节未能售完 , 造成积压 , 则每吨 产品将会净亏损 C

万元 .

若该厂家需要提前生产该种商品 , 为使厂家能

获得最大的期望利润 , 问 : 应在该季生产多少

1

1 2

, ,

( , )

( ), ,

c a X a

Y g X a

c X c a X X a

 

  

  



若 若

( ) ( ( , )) ( , ) _X ( ) E Y E g X a ^ g x a f x dx

 



则

解：设应在该季生产 a 吨产品 ，所获利润 为 Y 万元，则 Y 依赖于销售量 X 及产量 a ，

(5  a 10)

10 2 5

1 2 9 25

(2.5 0.5 ) .

5 5 4 2 4

a

a

a a a

x a dx dx







d ( ) 0,

d E Y a

a 

令得=9,

2 2

d 1

( ) 0,

d 2

9 ( ) a E Y

a E Y

  



又由于此时

所以时，达到最大值.

0 0

1 1

( ⁿ _{i i} ) ⁿ _i ( )_i

i i

E c c X c c E X

 







( 三 ) 数学期望的特性

1. 设 C 是常数，则有 E(C)=C,

2. 设 X 是随机变量 , C 是常数 , 则有 E(C X)=CE(X), 3. 设 X,Y 是随机变量 , 则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y),

合起来为 E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y) +c.

推广到任意有限个随机变量线性组合：

1 1

( ) ( ), 1,...,

n n

i i

i i

i

E X E X

X i n

 

  

其中，相互独立. 

4. 设 X,Y 是相互独立随机变量 , 则有 E(XY)=E(X) E(Y),

推广到任意有限个相互独立随机变量之积：

1. C是常数，P X(  C) 1, ( ) E X  E C( ) 1  C C

2. (E CX ) ^ Cxf x dx C( ) ^ xf x dx CE X( ) ( )

 







下面仅对连续型随机变量给予证明

证明：

4. ( E XY )

xyf x y dxdy ( , )

 

  

( ) ( )

X Y

xyf x f y dxdy

 

 

  

( ) ( )

X Y

xf x dx yf y dy

 

 

  

( ) ( ).

E X E Y



1.12 0 ~ 9

1, 2, .

, ( ).

X

i i n

n Y E Y

 

解解解解解解解解解解解解解解.

解解解解解解解解解解解解

解解解解解解解解解解解解解解解

1, 2, , ,

{ } 1/10, 0,1, ,9.

i

i

X i n

P X k k



  



 解解解解解解解解解解解解解

解解解解解

9

0

( ) 1 4.5.

i 10

k

E X k







1 1

10 ,

n i

i i

Y ^ X







又从而

1 1

( ) ⁿ 10ⁱ ( )_i

i

E Y ^ E X







10ⁿ 1

n  



例 1.13 一专用电梯载着 12 位乘客从一层 上升，最高 11 层 . 假设中途没有乘客进入，

每位乘客独立等概率地到达各层 . 如果没有 乘客到达某层楼，电梯在该层就不停 . 记电 梯停留次数为 X ，求 E(X).

( 设电梯到达 11 层后乘客全部下完 )

0 2,3 ,11,

i 1

X i i

i

  

 解解解解解解解, 

解解解解解解, 解

2 3 11

X  X  X    X 解解解

2 3 11

( ) ( ) ( ) ( ) E X  E X  E X   E X

( )_i ( _i 1)

E X  P X 

 P ( 第层有人到达 i )

1 (0.9)12

 

解：引入随机变量：

本题是将 X 分解成数个随机变量之和，

然后利用随机变量和的数学期望等于随

机变量数学期望之和来求数学期望，这

种处理方法具有一定的普遍意义。

1.4 E X( )_i  i i, 1, 2,3, 4.

解：根据例，泊松分布期望

1 2 3 4

1 2

3 4

1.14 , , ,

~ ( ), 1, 2,3, 4,

( ).

i

X X X X X P i i

X X

Y X X

E Y





例设随机变量相互独立，

求行列式

的数学期望

1 4 2 3

Y  X X  X X

1 4 2 3

4 E Y( )  E X X( )  E X X( ) 由性质，

1 4 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) E X E X E X E X

 

4.2 方差

设有一批灯泡寿命为：一半约 950 小时，另一半约 1050 小时→平均寿命为 1000 小时；

另一批灯泡寿命为：一半约 1300 小时，另一半约 700 小时→平均寿命为 1000 小时；

问题：哪批灯泡的质量更好？

单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡 寿命 X 与均值 1000 小时的偏离程度。

方差─正是体现这种意义的数学特征。

( )

Var X ( ),X





( ) [ ( )]

Var X  E X E X

( 一 ) 方差的定义

定义 设 X 是随机变量，若 存在，

则称其为 X 的方差，记为 Var(X) 或 D(X), 即^{E X E X}





将 记为 称为 X 的标准差或均 方差，它与 X 有相同的量纲 .

方差 Var(X) 刻画了 X 取值的分散程度，若 X 取值比较集中，则 Var(X) 较小，反之

，若 X 取值比较分散，则 Var(X) 较大 . 因此

对于离散型随机变量 X ，

(

)

, 1, 2,

P X  x  p i   解解解解解解

2 1

( ) [ _i ( )] _i

i

Var X ^ x E X p







( ), 其密度函数为 f x

( ) [ ( )] ( ) .2

Var X ^ x E X f x dx





对于连续型随机变量 X ，

2 2

( ) ( ) [ ( )]

Var X  E X  E X



^{2 ( ) [ ( )]}



E X XE X E X

  

2 2

( ) 2 ( ) ( ) [ ( )]

E X E X E X E X

  

此外，利用数学期望的性质，可得方差的 计算公式：





( ) [ ( )]

Var X  E X E X 

例 2.1 设随机变量 X 具有 0-1 分布，其分布律为：

解：

( 0) 1 ( 1) ( )

P X    p P X，，求  p Var X _。

( )

E X    0 (1 p ) 1   p  p

( 2 )

E X

 0 (1

  p ) 1  

p  p

( )

所以  E X (

) [ ( )]  E X

p p

   p (1  p )

( ) 0,1, >0

!

ke

X P X k k

k

 ^ 

   

解解解解解解解解

1.4 E X( )  , 由例已算得

(E X 2) 而

2 2

Var X( )  E X( ) [ ( )] E X   所以

[ ( 1)] ( ) E X X E X

  





E X X X

  

2 2

2 ( 2)!

k

k

e k

 

 ^{  } 



 



0

( 1)

!

k

k

k k e

k

  

 











 

2e e^{ }





 

2.2 X  P( )



2.3 X U a b ~ ( , ) Var X ( )

例设，求

2 2

( ) ( ) E X ^ x f x dx





2 2

( ) ( ) [ ( )]

Var X  E X  E X

1 ( )

0

a x b f x   b a  

 其它

1 2

( ) ,

2 2

b b

a a

x x a b

E X dx

b a b a 

   

 



2 1

b

a x dx

 b a



3 3

3(b a ) b a

 

2 2

a b3  ab



2 2 2 2 2

a  b  ab a  b  ab

   (b a )²

解： X 的密度函数为：

例 2.4 设随机变量 X 服从指数分布，其

密度函数为：

0 0 e x x

f x Var X

x

 

 

 

  

  ，求.

1.5 E X( ) 1/ ,  解：由前面的例知

2 2

( ) ( )

E X ^ x f x dx







^

2 2

0 0

| 2 2 / ,

x x

x e^{  } xe dx^ 

  



2 2

( ) ( ) [ ( )]

Var X  E X  E X 于是

( 二 ) 方差的性质：

2 2

, , ,

( ) ( ) ( )

X Y a b c

Var aX bY c   a Var X  b Var Y 综合上述三项，设相互独立，是常数，

则

( ) 0

C Var C 

1. 设是常数，则

( ) 2 ( )

X C Var CX  C Var X

2. 设是随机变量，是常数，则有

 

,

( ) ( ) ( ) 2 [ ( )][ ( )]

, ( ) ( ) ( ).

X Y

Var X Y Var X Var Y E X E X Y E Y X Y Var X Y Var X Var Y

     

  

3. 设是两个随机变量，则有 特别,若相互独立,则有

4. Var X( ) 0  P X(  C) 1,  且C E X ( ).

推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况

2 0

1 1

(

)

( )

i i

Var c c X c Var X

 

   

证明：^{1. Var C( )  E C E C}





2 2

2. Var CX( )  E CX( ) [ (E CX )]

2 ( 2) 2[ ( )]2

C E X C E X

 

 

2 2 2

2

( ) [ ( )]

( )

C E X E X C D X

 







3. Var X Y(  )  E [(X Y )  E X Y(  )]

 

, ( ) ( )

[ ( )][ ( )] [ ( )] [ ( )] 0,

( ) ( ) ( ).

X Y X E X Y E Y

E X E X Y E Y E X E X E Y E Y Var X Y Var X Var Y

 

     

  

当相互独立时，与相互独立, 故

所以





E X E X Y E Y

   



 



E X E X E Y E Y E X E X Y E Y

      

 

( ) ( ) 2 [ ( )][ ( )]

Var X Var Y E X E X Y E Y

    

2.5 X ~ ( , )B n p E X Var X( ), ( )_。 例设，求

1,

1, 2, , 0,

k

A k

X k n

A k

  

 解解解解解解解, 

解解解解解解解解,

X_k p

0 1

1-p p ^{1 2}

n

n i

X  X  X  ^ X 



( )

X n A

P A  p

解：随机变量是重伯努利试验中事件发生的次数，

设. 引入随机变量：

 

1, 2, , _n 0 1

X X  X 

解解解解解解解解解解解解解解

1 1

( ) ( ⁿ _i ) ⁿ ( )_i

i i

E X E X E X np

 







故知：

( ) ( ) (1 ).

E X  np Var X  np  p 即，

1 1

( ) ( ⁿ _i) ⁿ ( )_i (1 ),

i i

Var X Var X Var X np p

 







 

,

0 1

n p n

p 

以为参数的二项分布变量，可分解为个相互独立且都 服从以为参数的分布的随机变量之和。

2.6

~ ( ,

)

( ), ( )

例设，求

Z X 

^

先求标准正态变量  的数学期望和方差

2

1 2

( ) 2

Z





 

的概率密度为：

2

1 2

( ) 0,

2

E Z te t dt



 





于是

( ) ( 2) Var Z  E Z

2

2 2

1 2

t e t dt



 





2 2

2 2

1 te^{ t} |^{ } 1 e^{ t} dt 1.

  



2 2

( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) .

X Z E X E Z

Var X Var Z Var Z

    

   

    

   

因为，故

,

即正态分布的两个参数  

分别是该分布的数学期望和方差。

( ) 0, ( ) 1,

E Z  Var Z 

表 1 几种常见分布的均值与方差

数学期望 方差

分布率或 密度函数

分

布

0 － 1 分布 p p(1-p)

二项分布 B(n,p) np np(1-p)

泊松分布

均匀分布 U(a,b)

指数分布

( ) (1 )1

0,1

k k

P X k p p

k

   



( ) (1 )1

0,1,...,

k k k

P X k C pn p

k n

   



( )

P  ^{P X k(} _k^_⁾_0,1,...,^{ ke k!}

 

1 ( ), ( ) 0,

b a a x b

f x    

  其它 2

a b ( - )² 12 b a

( )

E  _{( )} ^{, 0}

0,

e x x f x

 ^

 

  其它 1





( )2

1 ^x



2

0 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2

0 1 1 1 1 2 2

1 2

( , ) 1, 2,

~ ( , )

,

i i i

n n

n n n n

n

X N i n

C C X C X C X

N C C C C C C

C C C

 

    

 

   

     





 

 解解解解解解解解 解解解解解解解解解

解解解解0解解解

(1,3) (2, 4) , 如:，且相互独立，X  N Y N X Y

独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：n

2 2

2.7 ~ (22.40,0.03 ), ~ (22.50,0.04 ), ).

X N Y N

X Y P X Y

例设

且和相互独立，计算（

( ) P X Y  解：

( 0.10, 05 ) 0.

X Y   N  由于

( ) ( 0)

P X Y   P X Y   故有

0 ( 0.10)

( )

0.05

   

(2) 0.9772.

  

( 0)

 P X Y  