94 年 度 基 本 學 力 測 驗 數 學 科 試 題 解 答 一、單選題

94

一、單選題(第 1~5 題 每題 5 分) 1.^利用公式1³  2³  …  n³  [

2 ) 1 (

n

n

(1) 41075　(2) 41095　(3) 41115　(4) 41135　(5) 41155

【解答】(1)

【詳解】

11³  12³  …  20³

 (1³  2³  …  20³)  (1³  2³  …  10³)

 ( 2 2021

)²  ( 2

11 10

)²

 44100  3025

 41075 故選(1)

2.台北銀行最早發行的樂透彩（俗稱小樂透）的玩法是「42 選 6」：購買者從 01～42 中任選六個號碼，當 這六個號碼與開出的六個號碼完全相同（不計次序）時即得頭獎；台北銀行曾考慮改發行「39 選 5」的 小小樂透：購買者從01～39 中任選五個號碼，如果這五個號碼與開出的五個號碼完全相同（不計次 序）則得頭獎。假設原來的小樂透中頭獎的機率是

R，而曾考慮發行的小小樂透中頭獎的機率是 r。試

r

R

(1) 3　(2) 5　(3) 7　(4) 9　(5) 11

【解答】(4)

【詳解】

∵　R  42 6

1 C

37 38 39 40 41 42

! 6









 ，r  39

5

1 C

35 36 37 38 39

! 5









∴　

R r

37 38 39 40 41 42

!

6 36 35 37

38 39

! 5



















35 36 6

40 41 42







 

9 82 9

故選(4)

3.^設

a，b 為正實數，已知 log

(1) 12　(2) 13　(3) 14　(4) 23　(5) 24

【解答】(2)

【詳解】

∵　log 7 a  11，^{log 7 b  13}

∴　a  b  7¹¹  7¹³  7¹¹ (1  49)  7¹¹  50

　log 7 (a  b)  log 7 (7¹¹  50)  log^{7 (711  72)  13} 故選(2)

4.某校高一第一次段考數學成績不太理想，多數同學成績偏低；考慮到可能是同學們適應不良所致，數學 老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以10 作為正式紀錄的成績。今隨機抽選100^{位同學，發現} 調整後的成績其平均為65 分，標準差為 15 分；試問這100 位同學未調整前的成績之平均 M 介於哪兩

個連續正整數之間？（第5 頁附有標準差公式）

(1) 40  M  41　(2) 41  M  42　(3) 42  M  43　(4) 43  M  44　(5) 44  M  45

【解答】(5)

【詳解】

令原始成績為

x

則按題意調整分數後的標準差為

[ ( 10 ) 100 65 ] 15 99

1

1

2

2

  

 

 i

x

∴　



 100

1

) 100 (

i

x  100  65

　



 100

1

i

x 

　原始平均為 M  100

1



 100

1

i

x 

100

15 99 65

100   

 ² ₂ ²

100

15 100 65

100   

 44.5 故選(5)

5.^試問整數43659 共有多少個不同的質因數？

(1) 1 個　(2) 2 個　(3) 3 個　(4) 4 個　(5) 5 個

【解答】(3)

【詳解】

∵　4  3  6  5  9  27　∴　43659 為 9 的倍數

　43659  9  4851  9  9  539  3⁴  7²  11

∴　43659 有三個質因數 故選(3)

二、多重選擇題(第 1~6 題 每題 5 分)

1.^設

S 為空間中一球面， AB 為其一直徑，且 AB  10。若 P 為空間中一點，使得 PA  PB  14，則 P 點的位

(1)線段 AB 上　(2)直線 AB 上，但不在線段 AB 上　(3)球面 S 上　(4)球 S 的內部，但不在線段 AB 上　 (5)球 S 的外部，但不在直線 AB 上

【解答】(2)(3)(4)(5)

【詳解】

可取一大圓（如：xy 平面上的截圓）將原題化簡為在坐標平面上取一圓 x²  y²  25，A(5，0)，B(5，0)

則

P 落在橢圓

x

 24

y

 1 上，如圖 故選(2)(3)(4)(5)

2.^{如下圖所示，兩射線}

OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內？

(1)

____ \

OA

OB ^{____ \}

OA ^{____ \}

OB ^{____ \}

OA ^{____ \}

____ \

OB

OA ^{____ \}

OB ^{____ \}

OA ^{____ \}

OB ^{____ \}

【解答】(1)(2)

【詳解】

取一坐標系

O(0，0)，A(0，1)，B(1，0)

S　∴　直線 AB 為 x  y  1

　S  {(x，y)：x  y  1，x  0，y  0}

 {P：

____ \

OP

OB ^{____ \}

OA ^{____ \}

x  y  1 且 x  0，y  0}

故選(1)(2)

3.如下圖所示，坐標平面上一鳶形

ABCD，其中 A，C 在 y 軸上，B，D 在 x 軸上，且 _{AB  AD  2}

 4

 CD

BC

m

m

m

m

AB、BC、CD、DA 之斜率。試問以下

(1)此四數值中以

m

m

m

m

m

m

m

m

【解答】(2)(3)(5)

【詳解】

(1)(2)(3)由圖知，mAD   mAB，mBC   mCD，且

m

　mCD  mAB  0  mAD  mBC

∴　最大為 mCD，最小為

m

(4)∵　

AB

BC

故選(2)(3)(5)

4.假設坐標空間中三相異平面

E

(1) (2，2，2)　(2) (1，1，1)　(3) (4， 2，2)　(4) ( 2，4，0)　(5) ( 5， 4， 2)

【解答】(2)

【詳解】

由題目假設知三平面共線，令

A

AB 上

　選項中的點若同時落在三平面上，其與 A 所成向量必須平行

____ \

AB

(2) (2， 1，1) (3) (5， 4，2) (4) ( 1，2，0) (5) ( 4， 6， 2) 故選(2)

5.^設

F

F



x 

16

y  1 的兩個焦點，P 為



(1) 20　(2) 24　(3) 28　(4) 32　(5) 36

【解答】(2)(5)

【詳解】

不失一般性，可設

PF

PF

F

F

^{9  16}

∴　

PF

PF

∵　

PF

PF

F

F

∴　(1)

PF

PF

　　(2)

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

PF

6.^若0 





(1) sin





  sin 

  tan 

  cos2 





【解答】(1)(5)

【詳解】

(1)(2)當 0    4



∴　sin  cos，tan  sin

(3)反例：cos 6





(4)反例：sin(2  6





(5)∵　0    4







∴　tan 2







　tan



tan 2 1

tan 2 2

2







∴　2

1 tan





三、填充題(第 1~9 題 每題 5 分)

1.^{在坐標平面上，正方形}

ABCD 的四個頂點坐標分別為 A(0，1)，B(0，0)，C(1，0)，D(1，1)。設 P 為正方

ABCD 內部的一點，若△PDA 與△PBC 的面積比為 1：2，且△PAB 與△PCD 的面積比為 2：3，則 P

【解答】(

5 2 ，

3 2 )

【詳解】

設

P(x，y)

　△PDA：△PBC  (1  y)：y  1：2

△PAB：△PCD  x：(1  x)  2：3

∴　x  5 2 ，y 

3 2

2.^設

O 為坐標平面上的原點，P 點坐標為(2，1)；若 A、B 分別是正 x 軸及正 y 軸上的點，使得

____ \

PA ^ PB ^{____ \}

【解答】16 25

【詳解】

∵　

____ \

PA ^ PB ^{____ \}

　A，O，P，B 四點共圓，且此圓直徑為

AB

設

A(a，0)，B(0，b)，其中 a，b  0

　圓心為(

2

a

2

b

　(2  2

a

b

2

a

2

b

由算幾不等式得2a  b  2

^{2 ab}

　 8

25  ab　∴　△OAB  2 1

ab 

16 25

即△OAB 面積的最大可能值為 16 25

3.如下圖所示，在△ABC 中，BAC 的平分線

AD

BC

D；已知 _BD

DC

AB

AD

【解答】4 3

【詳解】

令

AB

AD

∵　

AB

AC

DB

DC

∴　

AC

考慮△ABD，△ABC

∵　cosB 

3 2

3^{2 2}

2









x

x

x

9 2

4 9^{2 2}

2









x

x

x

18

　cosBAD 

18 18 2

9 18 18









4 3

4.^{在坐標平面上，過}

F(1，0)的直線交拋物線 

PF

QF

P 點的 x 坐標為　　　　　。（化成最簡分數）

【解答】2 3

【詳解】

∵　(P 到 x 軸距離)：(Q 到 x 軸距離) 

PF

QF

∴　設 P(

4 9

t

，3t)，Q(t²，2t)，其中 t  0 拋物線的定義：到焦點距離  到準線距離

∴　

PF

t

，

^QF

t

t

)  3(1  t²)　∴　t²  3 2

故

P 點的 x 坐標為

3 2 

2 3

5.^設

x 為一正實數且滿足 x．3

x 落在連續正整數 k 與 k  1 之間，則 k 　　　　　。

【解答】15

【詳解】

雙邊取以3 為底的對數得 log 3 x  x  18 考慮

  





 x y

x y

log

18

兩者交點的

x 坐標在 15 至 16 之間

k  15

6.如下圖所示，ABCD-EFGH 為邊長等於 1 之正立方體。若 P 點在立方體之內部且滿足

____ \

AP

____ \

AB

AD ^{____ \}

AE ^{____ \}

P 點至直線 AB 之距離為

【解答】6 5

【詳解】

取一空間直角坐標系

則

A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)

　P(4 3 ，

2 1 ，

3 2 )

故

P 至直線 AB 的距離  P 到 x 軸的距離

 ²

⁾

3 ( 2 2 ) ( 1 



36 25

6 5

7.若多項式 x²  x  2 能整除 x⁵  x⁴  x³  px²  2x  q，則 p 　　　　　，q 　　　　　。

【解答】p  3，q  8

【詳解】

由

x

x

∴　p  4  1  3，q  2  4  8

8.在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳1 個單位，跳動過程 可重複經過任何一點。若經過6 次跳動後運動物體落在點  4 處，則此運動物體共有　　　　　種不 同的跳動方法。

【解答】6

【詳解】

設向正方向跳動

x 次，負方向跳動 y 次

∴　

  







 4 6 y x

y

x

故有5! 1!

! 6

  6 種不同的跳動方法

9.設複數 z  1  i；若 1  z  z²  …  z⁹  a  bi，其中 a，b 為實數，則 a 　　　　　，b 　　　

。

【解答】32， 1

【詳解】

∵　1  z  z²  …  z⁹  1

10 1





z z

又

z  1  i  2

2 2

1  i

2



  isin 4



 )

∴　z¹⁰  [

2



  isin 4



 )]¹⁰

 32(cos 2 5



  isin 2

5



 )   32i

∴　1  z  z²  …  z⁹ 

i i





32 1

 32  i

　a  32，b   1