雙曲函數

數學傳播

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, pp. 72-74

雙曲函數

劉江楓

1. 直角雙曲線

令 F 及 d 分別為平面上的定點及給定直線, 且令 e 為正實數, 則點 P 滿足 P F = eP d (其中記號 P d 表示點 P 到直線 d 的距離) 的軌跡稱為圓錐曲線。 點 F 稱為此圓錐曲線的焦 點, 直線 d 稱為此圓錐曲線的準線, 而正實數 e 稱為此圓錐曲線的離心率。

當 e < 1 時, 這個圓錐曲線是個橢圓, 它是一個具有中心對稱的封閉曲線。 當 e = 1 時, 這個圓錐曲線是個拋物線, 它是一個雙側對稱的開曲線。 當 e > 1 時, 這個圓錐曲線是個雙曲 線, 它是具有兩個分支的開曲線, 並且整個軌跡是中心對稱。

離心率為 √

2 的雙曲線稱為直角雙曲線。 在座標平面上, 令點 F 的座標為 (√

2, 0) 且令 直線 d 的方程式為 x = 1

√2, 令點 V 為 (1, 0)。 因為 V F =√

2 − 1 = √

2(1 − 1

√2), 故點 V 在此雙曲線上。 令點 O 為座標平面上的原點, 且令直角雙曲線上的一點 P 之座標為 (x, y), 其中 x ≥ 1, 則 P 可以被參數 t 來表示, 參數 t 為曲線三角形 OV P 面積的雙倍。 由點 P 作 x 軸之垂線, 令垂足為點 M。 定義 cosh t = OM = x, sinh t = P M = y, 這兩個就是基本 的雙曲函數。 其他的函數也可以加以定義, 例如 tanh t = sinh t

cosh t。 從直角雙曲線的方程可得到

cosh²t − sinh²t = 1. (1)

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2. 和角公式

稍後我們將證明 t = ln(x + y), 其中 ln 是高等數學中的自然對數函數。 在此處我們只需 知道對於 A > 0 且 B > 0 時, ln A + ln = ln AB 及若 ln A = ln B, 則 A = B。

現在我們來推導雙曲函數的和角公式, 即

cosh(t¹ + t²) = cosh t¹cosh t²+ sinh t¹sinh t²; (2) sinh(t¹ + t²) = sinh t¹cosh t²+ cosh t¹sinh t². (3) 令點 P1、 P2 的參數分別為 t1、 t2, 令點 P³ 的參數為 t3 = t¹+ t², 則上述公式即為 x³ = x1x2+y1y2, y3= x1y2+y1x2。 如果我們證明了 t = ln(x + y), 再利用 t3 = t1+ t2, 就可得 到

ln(x³+ y³) = ln(x¹+ y¹) + ln(x² + y²) = ln(x¹+ y¹)(x²+ y²), 即推出

x3+ y³ = x¹x2 + y¹y2+ x¹y2+ y¹x2. (A) 我們將由 (A) 式分別推得 (2) 及 (3) 式。 首先我們把此方程重寫為:

x3− x¹ q

x²2− 1 − x² q

x²1− 1 = x¹x2+ q

(x²1− 1)(x²²− 1) − q

x²3− 1, 將等式兩邊平方再化簡後可得:

x1x3

q

x²2− 1 + x²x3

q

x²1 − 1 = x¹x2

q

x²3− 1 + q

(x²1− 1)(x²²− 1)(x²³− 1), 重複上述過程, 可得:

x²1+ x²2+ x²3− 1 − 2x²¹x²2 = 2x1x2

q

(x²1− 1)(x²²− 1). (B) 將上式重寫為:

x²3= x²1x²2+ 2x¹x2

q

(x²1− 1)(x²²− 1) + x²¹x²2− x²¹− x²²+ 1

= (x¹x2)²+ 2x¹x2

q

(x²1− 1)(x²²− 1) +

q(x²1− 1)(x²²− 1)

² . 兩邊分別取平方根即可得 (2) 式。 另外可以將 (B) 重寫為

x²₃− 1 = x²¹x²₂− x²¹+ 2x¹x2

q

(x²1− 1)(x²²− 1) + x²¹x²₂− x²²

= x1

q x²2− 1

² + 2x¹

q

x²1 − 1 x² q

x²2− 1 +

 x2

q x²1− 1

² .

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32

3

97

9

兩邊分別取平方根即可得 (3) 式。

3. 面積公式

現在我們來證明第一節中所提及的曲線三角形 OV P 的面積為 1

2ln(x + y)。

利用初等微積分, 曲線三角形 MV P 的面積為 I = Z ^x

1

√w²− 1dw。 將 w 用 sec θ 替 換, 並將 sec⁻¹x 記為 r, 則上述積分式變成

I= Z ^r

0

√sec²θ − 1 tan θ sec θdθ

= Z ^r

0

tan²θsec θdθ.

利用部分積分, 令 u = tan θ, dv = tan θ sec θdθ, 則 du = sec²θdθ 且 v = sec θ。 所以 I= tan θ sec θ

r

0− Z ^r

0

sec³θdθ

= xy − Z ^r

0

(tan²θ+ 1) sec θdθ

= xy − I − Z ^r

0

sec θdθ

= xy − I − ln(sec θ + tan θ)  

r

0

= xy − ln(x + y) − I.

由上式得到 I = 1

2(xy − ln(x + y))。 因為三角形 OMP 的面積為 1

2xy, 我們即證明出所宣 稱的曲線三角形 OV P 的面積為 1

2ln(x + y), 而 t = ln(cosh t + sinh t)。

令點 P 之座標為 (x, y), 此處仍要求 x > 0, 但允許 y < 0, 則曲線三角形 OV P 之面 積可能為負值。 將它記為 −t, 其中 t > 0。 因為對稱關係, 我們可得 cosh(−t) = cosh t 及 sinh(−t) = − sinh t, 所以 −t = ln(cosh t − sinh t)。 將此式與 t = ln(cosh t + sinh t) 合 併, 可得

cosh t = e^t+ e^−t

2 ; (4)

sinh t = e^t− e^−t

2 . (5)

其中 e 為自然對數的底。 方程式 (1) 至 (5) 是基本的雙曲函數中最重要的幾個公式。

—本文作者任教University of Alberta, Canada—