1 2 L
A
P
M B
A B
1 2
3 4 P
M
B
A C
P L
A B
P
一.垂直平分線(中垂線)性質:
一線段垂直平分線上的任一點，到此線段的兩端點等距離。
【範例】試證垂直平分線到線段的兩端點等距離。
【已知】L 為AB的垂直平分線，交AB於 M，且 P 為 L 上的點。
【求證】PA＝PB 【證明】
∵L 為AB的垂直平分線且交AB於 M ∴12＝900 且AM ＝BM
在AMP 與BMP 中
∵12，AM ＝BM 、PM＝PM ∴AMPBMP(SAS) 則PA＝PB
二.垂直平分線的判別性質:
與線段兩端點等距離的點，必在它的垂直平分線上。
【範例】試證與線段兩端點等距離的點，必在它的垂直平分線上。
【已知】PA＝PB
【求證】P 在AB的垂直平分線上。
【證明】
作∠APB 的角平分線交AB於 M，則∠1＝∠2
在APM 與BPM 中 ∵PA＝PB、∠1＝∠2、PM ＝PM ∴APM BPM (SAS) 則AM ＝BM ，∠3＝∠4 又∵∠3＋∠4＝1800 ∴∠3＝∠4＝900 PM AB ∵AM ＝BM 且PM AB
∴PM 垂直平分AB，即 P 點在AB的垂直平分線上。
三.角平分線性質:
一個角的角平分線上任一點，到角的兩邊等距離。
【範例】試證角平分線上任意一點到此角兩邊等距離。
【已知】L 為∠BAC 的平分線，P 點在 L 上，且PB AB，PC AC 。 【求證】PB＝PC
【證明】
在ΔABP 與ΔACP 中，
∵∠BAP＝∠CAP，∠ABP＝∠ACP＝900 ， AP＝AP
所以由 AAS 可知ΔABPΔACP 故得PB＝PC
A
B C
M
A
B C
D 1 2
3 4
A
B C
D 1 2 E
四.等腰三角形的重要性質:
(1)等腰三角形的頂角平分線必垂直平分底邊。
【範例】試證等腰三角形的頂角平分線必垂直平分底邊。
【已知】在ABC中，AB＝AC ，AM 平分∠A。
【求證】BM ＝CM且AM BC。 【證明】
∵AM 平分A ∴∠BAM＝∠CAM，
在ΔABM 與ΔACM 中
∵AB＝AC ，∠BAM＝∠CAM，AM ＝AM ∴ΔABMΔACM（SAS）
因此BM ＝CM，∠AMB＝∠AMC 又∵∠AMB＋∠AMC＝1800
∴∠AMB＝∠AMC＝900 故得AM BC
(2)等腰三角形底邊上的中線必垂直底邊且平分其頂點。
【範例】試證等腰三角形底邊上的中線必垂直底邊且平分其頂點。
【已知】若ABC為等腰三角形，AB＝AC ，BD＝CD。 【求證】AD BC且∠1＝∠2
【證明】
在ABD與ACD中
∵AB＝AC ，BD＝CD，AD＝AD ∴ΔABDΔACD（SSS）
則∠1＝∠2、∠3＝∠4 又∵∠3＋∠4＝1800 ∴∠3＝∠4＝900 即AD BC
(3)等腰三角形兩腰上的高相等。
【範例】等腰三角形兩腰上的高相等
【已知】ABC為等腰三角形，AB＝AC ，且CD AB，BE AC 。 【求證】BE＝CD。
【證明】
在ABE與ACD中
∵1＝2、A＝A、AB＝AC ∴ABE ACD（AAS）
故BE＝CD
A
B C
D 1
2 3
4 A
B C
D E
A B
C D
O
B
A C
D
L P
Q
(4)等腰三角形兩腰上的中線相等。
【範例】試證等腰三角形兩腰上的中線相等。
【已知】AB＝AC 且AD＝BD、AE＝CE 【求證】BE＝CD
【證明】
∵AB＝AC 、AD＝BD、AE＝CE ∴AD＝BD＝AE＝CE
在BDC與CEB中
∵BD＝CE、BC＝BC，ABC＝ACB ∴BDC CEB（SAS）
則BE＝CD
【範例】試證平行四邊形的任一對角線將此平行四邊形分成兩個全等的三角形。
【已知】ABCD 為平行四邊形，AC為對角線。
【求證】ABC CDA。 【證明】
(1) ∵ABCD 為平行四邊形 ∴AB//DC，AD//BC。 (2) ∵AB//DC ∴∠1＝∠2。
(3) ∵AD//BC ∴∠3＝∠4。
(4) 在ABC與CDA中，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，AC ＝AC ∴ΔABCΔCDA（ASA 全等性質
【範例一】 【練習一】
如附圖AD與 BC 交於 O 點，甲、乙兩人要 證明∠A +∠B ＝∠D +∠C，證法如下，
甲：作一圓通過 A、B、C、D 四點
∵∠A 與∠C 對圓弧 BD ，
∴ ∠A ＝∠C，∠B ＝∠D
∴∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D 乙：∵∠BOD 是△AOB 和△DOC 的外角
∴∠BOD ＝∠A＋∠B ＝∠C ＋∠D 聰明的你，判斷甲、乙兩人的證法，誰正確
？答：______。
如附圖，∠APD ＝∠AQD ＝900，PD＝QD。 求證：∠PAD ＝∠DAQ。
證明：∵∠APD＝∠AQD＝900（已知）
______（已知）
AD＝AD（共同邊）
∴△PAD△QAD（______全等性質）
∴∠PAD＝∠DAQ（對應角相等）
A
B C
D
A
B C
D
A
B C
P
Q L
B
P
Q
A
【範例二】
【已知】如附圖，△ABC 中，AB＝ AC 、BD＝ CD
【求證】AD⊥ BC
【證明】
【練習二】
【已知】如附圖，△ABC 中，∠B＝∠C， AD為∠BAC 的平分線
【求證】△ABD△ACD
【證明】
【範例三】
【已知】L 為AB的垂直平分線，P、Q 在 L 上
【求證】△APQ△BPQ
【證明】
【練習三】
【已知】△ABC 與△BPQ 都是正三角形
【求證】AQ＝ CP
【證明】
A
B C
D
1 2
A
B C
E D
P
1 2
A
B C
D E
F
1
2 3
A B
C D
E F
【範例四】
【已知】如圖，D 為AB上一點，DF交 AC 於 E，DE＝EF， FC //AB。
【求證】AE＝ CE
【證明】
【練習四】
【已知】AB//EF，AD＝ CF ，∠B＝∠E
【求證】AB＝EF
【證明】
【範例五】
【已知】∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2
【求證】BD＝AC
【證明】
【練習五】
【已知】AB＝AC，∠1＝∠2
【求證】BD＝CE
【證明】
A
D E
B C
A
B
C D
E P
Q R
【範例六】
【已知】△ABC 與△ADE 皆為正三角形
【求證】BE＝CD
【證明】
【練習六】
【已知】ABCDE 為正五邊形，BP＝CQ
【求證】AP＝BQ
【證明】
【範例七】
如圖，L1 // L2 ，求證∠ABC＝70 度
【證明】
【練習七】
如圖，L1 // L2，若∠1＝1000，∠2＝1500，求證∠3＝110 度
【證明】
L1
L2
A
B
C 1500
400
L1
L 2
C 1
2 3
A
B
C
D
E F L
L A
B C
D
M N
【範例八】
【已知】過正方形 ABCD 之 C 點，作一直線 L，分別過 B、D 點 作BE L、DFL。
【求證】EF＝DF＋BE
【證明】
【練習八】
【已知】直線 L 通過正方形 ABCD 的頂點 B，AM L，CN L
【求證】AM ＝BN
【證明】
【範例九】
三角形 ABC 三邊長分別為 24 公分、24 公分、32 公分，試求其面積。
A
C B
E
D G
F
A
B C
D E
【練習九】
△ABC 中，若AB AC 30公分，BC＝36 公分，試求△ABC 一腰上的高為多少？
【範例十】
如圖，以△ABC 的兩邊AB,AC為邊，作正方形 ABGF、ACDE，求證：BE＝CF
【證明】
【練習十】
如圖，△ABC 中， AB＝4，BC＝3，ACDE 為正方形，求：
（1）BD＝？（2）BE＝？
【範例十一】
如圖，已知AB＝AC ，AD＝AE，求證∠ABE＝∠ACD
【證明】
A
B C
D E
A B
C D
A B C
D
E
【範例十二】
如圖，已知CA AB，DB AB，CA＝DB，求證CB＝DA
【證明】
【範例十三】
如圖，已知AD＝AE，BD＝BE，C 點在AB上，求證CD＝CE
【證明】
