年海峽兩岸大學聯考 試題比較

1994 年海峽兩岸大學聯考 試題比較

陳振宣 楊象 富

我們對大陸 (統一考試, 分文科、 理科)、

台灣 (分社會組、 自然組) 兩套高考試卷作了 初步的對比分析, 現將結果羅列如下, 供兩岸 的專家和廣大教師參考。

一 . 知識含蓋面的對比

大陸、 台灣的教學大綱 (課程標準) 不 同, 互有出入。 台灣的知識面較寬, 向量、 空 間解析幾何、 概率統計、 簡易微積分大陸暫 未列入考試範圍。 大陸對立體幾何的要求明 顯高於台灣。 這些差異都反映到試卷上。 相 對於各自的教學要求, 大陸試卷的知識含蓋 面高於台灣, 但台灣考查的知識面又較大陸 為寬。 這主要是教學大綱不同所導致的結果, 當然也與考試時間的多少有關, 大陸統一考 試為 120分鐘考題 25則, 台灣為 80分鐘考題 15則。 兩套考題的知識含蓋面情況, 請參閱附 表。

二 . 對基礎知識與基本技能的

要求對比

從兩套試卷看, 大陸、 台灣對數學的“雙 基”的考試都很重視。 如大陸文、 理科第 (1)、

(2)、 (3)、 (4)、 (6)、 (8)、 (16) 題等, 台灣社 會組第一大題的 1、3, 第二大題的 1、2、3、5、9;

自然組的第 [一] 1、2、3, [二] 6、7, [三] 1、4 等 題, 所占比重都較大。 在這方面, 兩岸的要求 比較一致。

三 . 兩套試卷的題型對比

兩套試卷的題型都分選擇題、 填空題和 解答題三類, 大體上一致。 台灣的選擇題安排 了五個選擇支, 大陸是四個選擇支。 台灣的選 擇題、 填空題有的是系列題逐步深入, 要求逐 題升高, 大陸無系列題。 這樣, 台灣此類試題 的區分度可能高於大陸, 但知識含蓋面會比 大陸略小。 至於解答題, 大陸的題量更多, 難 度也較高。

1

四 . 對常用數學思想方法考查 的對比

自八十年代以來, 數學教學中普遍重視 能力的培養, 因此對數學思想方法的教育逐 步得到不同程度的發展。 從兩套試卷可以發 現大陸與台灣都已開始注重數學思想方法的 考查。

1.

對方程、 函數思想

₍

數學模型方法

₎

的考查

這是兩套試卷中考查最廣泛的一種數學 思想方法, 如大陸文科的 (2)、(5)、(14)、(15);

理科的 (2)、(5)、(15)、(17)、(21); 台灣社會組 的 [一] 2、4, 計算題三, 自然組的填空題 1、2, 計算題四。 難度上大陸的高於台灣, 如大陸的 選擇題 (15)。

2.

邏輯推理的考查

在 這 方 面, 大 陸 的 考 試 面 比 台 灣 的 廣, 要求也比台灣的高。 如大陸文科的 (11)、(22)、(23), 理科的 (11)、(22)、(23) 題, 台灣的試卷中缺乏這類試題。

3.

數形轉化的考查

兩套試卷對此都較重視, 如台灣社會組 填空題第八題, 自然組選擇題 [二]; 大陸文科 的 (12)、(24), 理科的 (12)、(24), 值得提出 的是台灣社會組填空題 8 題, 這類要求在台 灣自然組和大陸文理兩科中均未涉及, 難怪 有人說台灣的社會組試題不比自然組容易。

4.

等價轉化的考查

大陸、 台灣的試卷對此都作了考查。 如 台灣社會組填空題 6, 自然組選擇題 9, 計算 題二。 大陸的文科 (21) 題, 理科 (22) 題。

在數學式的變形方面, 台灣側重於對數恆等 變換, 而大陸則重在考查三角恆等變換。

5.

遞推思想的考查

大陸文、 理科的最後一題 (第 25 題) 都 考查遞推這一重要數學思想方法。 大陸從八 十年代起對此引起重視, 一度成為熱點, 如84 年, 87年遞推的要求很高, 近年已降到適當程 度。 94年的台灣試題中未出現此類問題。

6.

邏輯劃分的考查

大陸歷年來都很重視, 今年則未著意涉 及。 可能是有意採取降溫措施, 台灣的試卷中 也未涉及。 上海市今年的高考試卷 (單獨命 題) 中仍有這方面的要求。

五 . 對數學應用的考查

兩岸對此都已引起重視, 這是令人欣喜 的, 希望今後繼續適當加強。

我們希望兩岸交流高考命題研究的成 果, 促使數學教育走出“題海戰術”的怪圈, 早 日步上提高數學素質的康莊大道。

—本文作者分別任職教上海市新學科研究所 思維科學室暨中國管理科學研究院思維 科學研究所研究員與浙江省中學教學特 級教師, 浙江省宁海中學教育科學研究 室主任—

附表 :

1994

年兩岸數學高考內容比較表

高考內容 文科 理科 社會組 自然組

集合、 函數 (冪、 指、 對) √ √ √ √

三角函數 √ √ √ √

兩角和 (差) 的三角函數 √ √ √ √

反三角函數, 簡單三角方程 × √

× ×

數學歸納法 √ √

× ×

數列及其極限 √ √ √

×

不等式 √ √ √ √

複數 √ √ √

×

排列與組合 √ √ √ √

二項式定理 √ √

× ×

(立體幾何) 直線與平面 √ √

× ×

多面體和旋轉體 √ √

× ×

(解析幾何) 直線與圓 √ √ √ √

圓錐曲線 √ √ √ √

參數方程與極坐標 × √

× ×

多項式, 高次方程 (不等式) × × √

×

向量 × × √ √

空間解析幾何 × × √ √

行列式、 矩陣 × × × √

概率與統計 × × √ √

簡單微積分 × × √ √

數論初步 × × √

×

附件

_:

大陸

₁₉₉₄

年高考數學試題、 答案及評分標準。

1994年普通高等學校招生全國統一考試試題、 答案及評分標準

數 學 ( ^文史類 )

一、 選擇題: 本大題共15小題; 第 (1)−(10) 題每小題3分. 第 (11)−(15) 題每小題 4 分, 共 50 分. 在每小題給出的四個選 項中, 只有一項是符合題目要求的. 把 所選項前的字母填在題後括號內.

(1) 點 (0,5) 到直線 y = 2x 的距離是 A. ⁵₂ B. √

5 C. ³₂ D. ^√₂⁵ (2) 如果方程 x²+ ky² = 2 表示焦點

在y軸上的橢圓, 那麼實數 k 的取 值範圍是

A. (0, +∞) B. (0, 2) C. (1, +∞) D. (0, 1) (3) lim_n

→∞

Cn⁰+ Cn¹ + Cn²+ . . . + Cnⁿ

1 + 2 + 2²+ . . . + 2ⁿ = A. 0 B. ¹₂ C. 1 D. 2

(4) 設θ 是第二象限的角, 則必有 A. tg^θ₂ > ctg^θ₂ B. tg^θ₂ < ctg^θ₂ C. sin₂^θ > cos^θ₂ D. sin^θ₂ <

cos^θ₂

(5) 若直線 x + ay + 2 = 0 和 2x+3y +1 = 0 互相垂直, 則 a = A. −²3 B. −³2 C. ²₃ D. ³₂ (6) 某種細菌在培養過程中, 每20分鐘

分裂一次 (一個分裂為兩個). 經 過 3 小時, 這種細菌由 1 個可繁殖 成 A. 511個 B. 512 個 C. 1023 個 D. 1024 個

(7) 在下列函數中, 以 ^π₂ 為周期的函 數是

A. y = sin 2x + cos 4x B. y = sin 2x cos 4x C. y = sin 2x + cos 2x D. y = sin 2x cos 2x

(8) 已知正六稜台的上、 下底面邊長分 別為 2 和 4, 高為 2, 則其體積為 A. 32√

3 B. 28√ 3 C. 24√

3 D. 20√ 3 (9) 使 (√

6 −√

2i)ⁿ 是純虛數的最小 自然數 n =

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (10) 有甲、 乙、 丙三項任務, 甲需 2 人

承擔, 乙、 丙各需 1 人承擔, 從 10 人中選派 4 人承擔這三項任務, 不 同的選法共有

A. 1260 種 B. 2025 種 A. 2520 種 D. 5040 種 (11) 對於直線m, n和平面a、β, α ⊥

β的一個充分條件是 A. m ⊥ n, m//a, n//β

B. m ⊥ n, α ∩ β = m, n ⊂ α C. m//n, n ⊥ β, m ⊂ α D. m//n, m ⊥ α, n ⊥ β

(12) 設 函 數f (x) = 1 −

√1 − x²(−1 ≤ x ≤ 0), 則函 數y = f⁻¹(x) 的圖象是

(13) 已知過球面上 A、B、C 三點的 截面和球心的距離等於球半徑的一 半, 且 AB = BC = CA = 2, 則 球面面積是

A. ¹⁶₉π B. ⁸₃π C. 4π D. ⁶⁴₉ π

(14) 如果函數 y = sin 2x + a cos 2x 的圖象關於直線 x = −^π₈ 對稱, 那 麼 a =

A. √

2 B. −√ 2 C. 1 D.−1

(15) 定義在 (−∞, +∞) 上的任意 函數 f (x) 都可以表示成一個奇函 數 g(x) 和一個偶函數 h(x) 之和.

如果 f (x) = lg(10^x + 1), x ∈ (−∞, +∞), 那麼

A. g(x) = x, h(x) = lg(10^x + 10^−x+ 2)

B. g(x) = ¹₂[lg(10^x+ 1) + x], h(x) = ¹₂[lg(10^x+ 1) − x]

C. g(x) = ^x₂, h(x) = lg(10^x + 1) −^x2

D. g(x) = −^x₂, h(x) = lg(10^x+ 1) + ^x₂

二、 填空題: 本大題共5 小題; 每小題 4 分, 共 20 分. 把答案填在題中橫 線上.

(16) 拋物線y² = 8 − 4x的準線方程 是 .

(17) 在(x + m)⁷(m ∈ N) 的展開式 中, x⁵的係數是x⁶的係數與x⁴的係 數的等差中項, 則m = . (18)若⁵₄π < θ < ³₂π, sin 2θ = a,

則cos θ − sin θ的值是 .

(19) 設圓錐底面圓周上兩點A、B間的 距為 2, 圓錐頂點到直線AB的距 離為√

3, AB和圓錐的軸的距離為 1, 則該圓錐的體積為 .

(20) 在測量某物理量的過程中, 因 儀器和觀察的誤差, 使得n次測量 分別得到a1, a2, . . ., an, 共n個數 據. 我們規定所測量物理量的“最 佳近似值”a是這樣一個量: 與 其他近似值比較, a與各數據的 差的平方和最小. 依此規定, 從a1, a2, . . . , an推出的a = . 三、 解答題: 本大題共5小題; 共50分.

解答應寫出文字說明、 證明過程或 推演步驟.

(21) (本小題滿分8 分)

求函數 y = ^{sin 3x sin3x}+cos 3x cos³x cos²2x + sin 2x 的最小值.

(22) (本小題滿分10 分)

已知函數f (x) = lgx(x ∈ R⁺).

若x₁, x2 ∈ R⁺, 判斷¹₂[f (x1) + f (x₂)]與f (^x1+x₂ ²)的大小, 並加以 證明.

(23) (本小題滿分10 分)

如圖, 已知 A₁B1C1− ABC 是正 三稜柱, D 是 AC 中點.

(I)證明AB1//平面DBC1; (II) 假設AB1⊥BC¹, BC = 2,

求線段AB₁在側面B1BCC1上 的射影長.

(24)(本小題滿分10 分)

已知直角坐標平面上一點Q(2, 0)和 圓C : x² + y² = 1, 動點M到 圓C的 切 線 長 與|MQ| 的 比等 於√

2. 求動點M的軌跡方程, 說 明它表示什麼曲線.

(25) (本小題滿分12 分)

設數列{aⁿ}的前n 項和為Sⁿ, 若 對所有自然數n, 都有Sn =

n(a1+aⁿ)

2 , 證明{aⁿ}是等差數列.

數學試題

(

文史類

)

參考答案及評分標準

一、 選擇題: 本題考查基本知識和基本運算.

第 (1)−(10) 題每小題3分. 第(11) − (15) 題每小題 4 分, 共 50 分.

(1) B (2) D (3) B (4) A (5) A (6) B (7) D (8) B (9) A (10) C (11) C (12) B (13) D (14) D (15) C 二、 填空題: 本題考查基本知識和基本運

算.每小題 4 分, 滿分 20 分.

(16) x = 3 (17) 1 (18) √ 1 − a (19) ^2√₃²π (20) _n¹(a₁+ a₂+ . . . + an)

三、 解答題

(21) 本小題考查利用有關三角公式並 借助輔助角求三角函數式最小值的 方法及運算能力. 滿分 8 分.

解: 因 為 sin 3x sin³x + cos 3x cos³x

= (sin 3x sin x) sin²x + (cos 3x cos x) cos²x

= ¹₂[(cos 2x − cos 4x) sin²x + (cos 2x + cos 4x)) cos²x]

. . . 3 分

= ¹₂[(sin²x + cos²x) cos 2x +(cos²x − sin²x) cos 4x]

= ¹₂(cos 2x + cos 2x cos 4x)

= ¹₂cos 2x(1 + cos 4x)

= cos³2x, . . . 6 分 所以 y = ^cos_cos³2^2x2x + sin 2x

= cos 2x + sin 2x

=√

2 sin(2x +^π₄).

當 sin(2x + ^π₄) = −1 時, y 取最小值−√

2. · · · 8分 (22) 本小題考查對數函數性質、 平 均值不等式等知識及推理論證的能 力. 滿分 10分.

解: f (x1) + f (x2) = lgx1 + lgx2 = lg(x1x2),

因為 x₁, x2 ∈ R⁺, 所以 x₁x2 ≤

^

^x1+x2 ²



2

(當且僅當x1 = x2時取“=”號).

· · · 3分 由常用對數底大於 1, 有

lg(x1, x2) ≤ lg

^

^x1+x2 ²



2

,

· · · 7分 所以¹

2lg(x1x2) ≤ lg

^

^x1+x₂ ²

^

,

1

2(lgx1+ lgx2) ≤ lg

^

^x1+x₂ ²

^

, 即¹₂[f (x1) + f (x2)] ≤ f

^

^x1+x2 ²



(當且僅當x1 = x2 時取“=”號).

[註] 將“ ≤(或≥)”寫成“ <(或>)”, 扣 1 分.

(23) 本小題考查空間線面關係, 正稜 柱的性質, 空間想像能力和邏輯推 理能力. 滿分 10分.

(I) 證明:

因為A₁B1C1− ABC 是正三 稜柱,

所以 四邊形B1BCC1是矩形.

連結B₁C, 交BC1於E, 則B1E = EC. 連結 DE.

在△AB¹C 中, 因為AD = DC,

所以DE//AB1, · · · 2分 又 AB₁ 6⊂平面DBC¹, DE ⊂ 平面DBC₁,

所以AB1//平面DBC1.

· · · 4分 (II) 解: 作 AF ⊥BC, 垂足 為 F . 因為面 ABC⊥ 面 B1BCC1, 所以 AF ⊥ 平面 B1BCC1. 連結 B1F , 則 B1F 是 AB1 在平面 B1BCC1 內的射影.

· · · 7分 因為BC₁⊥AB¹,

所以BC₁⊥B¹F.

因為 四邊形 B₁BCC1是矩形.

所以6 B₁BF = ⁶ BCC₁ = 90^◦,

又6 F B1B =⁶ C1BC, 所以△B1BF ∼ △BCC1.

所以^B_BC^1B = _CC^BF

1 = _B^BF

1B. 又F 為正三角形 ABC 的 BC 邊中點,

因而 B₁B² = BF · BC = 1 × 2 = 2,

於是 B₁F² = B₁B² + BF² = 3,

所以B1F = √ 3.

即線段AB₁ 在平面 B₁BCC1

內的射影長為 √ 3.

· · · 10分 (24) 本小題考查曲線與方程的關係, 軌跡的概念等解析幾何的基本思想 以及綜合應用知識的能力. 滿分 10 分.

解:如圖, 設MN切圓於N, 則動 點M組成的集合是

P = {M

  

|MN| = √

2|MQ|},

· · · 2 分 因為圓的半徑|ON| = 1,

所以 |MN|² = |MO|²− |ON|²

= |MO|²− 1. · · · 4 分 設 點M的 坐 標 為(x, y), 則

√x²+ y²− 1 = √ 2 ·

q

(x − 2)²+ y². · · · 6分

整理得 x²+ y²− 8x + 9 = 0. 經 檢驗, 坐標適合這個方程的點都屬 於集合P , 故這個方程為所求的軌 跡方程. · · · 8分 化方程為(x − 4)²+ y² = 7, 知它 表示一個圓, 圓心坐標為 (4,0), 半 徑為√

7. · · · 10分 (25) 本小題考查等差數列的基礎知識, 數學歸納法及推理論證能力. 滿分 12 分.

證法一: 令d = a₂ − a1. 下面用 數學歸納法證明

aⁿ= a1+ (n − 1)d (n ∈ N).

(1) 當 n = 1 時上述等式為恆 等式 a₁ = a1. 當 n = 2時, a1 + (2 − 1)d = a¹+ (a2 − a1) = a2, 等式成立. · · · 4 分

(2) 假設當n = k(k ≥ 2)時命題 成立, ak = a₁+ (k − 1)d. 由 題設, 有 Sk= ^k(a1₂^+ak), Sk+1 = (k + 1)(a1 + ak+1)

2 ,

又 Sk+1 = Sk + ak+1, 所以

(k+1)(a1+ak+1)

2 = ^k(a1₂^+ak)+ ak+1.

· · · 8分

把 ak = a1 + (k − 1)d 代入 上式, 得 (k + 1)(a1 + ak+1) = 2ka₁ + k(k − 1)d + 2a^k+1. 整 理得(k − 1)a^k+1 = (k − 1)a¹ + k(k − 1)d.

因為 k ≥ 2,

所以 ak+1= a₁ + kd.

即當 n = k + 1 時等式成立.

由 (1) 和 (2), 等式對所有的自然 數n成立, 從而{aⁿ} 是等差數列.

· · · 12分

證法二: 當n ≥ 2 時, 由題設, Sn−1 = ^(n−1)(a₂^1+an−1), Sn =

n(a1+aⁿ)

2 .

所以 an = Sn − Sⁿ−1 =

n(a1+aⁿ)

2 −^(n−1)(a1₂^+an−1). . . . 5 分

同理有 an+1 = ^(n+1)(a₂^1+an+1) −

n(a1+aⁿ)

2 . . . . 7 分 從而 an+1−aⁿ = ^(n+1)(a₂^1+an+1)− n(a1 + aⁿ) + ^(n−1)(a₂^1+an−1).

· · · ·10分

整理得 an+1 − aⁿ = aⁿ − aⁿ−1

對於任意 n ≥ 2成立.

因此 an+1 − aⁿ = aⁿ− aⁿ−1 = . . . = a2− a¹, 從而 {aⁿ} 是等差 數列. . . 12 分

數 學

(

理工農醫類

)

一、 選擇題

_:

本大題共

₁₅

小題

_;

第

_{(1) − (10)}

題每小題

₃

分

_.

第

(11) − (15)

題每小題

4

分

_,

共

₅₀

分

_.

在每小題給出的四個選項中

_,

只有一項是符合題目要求的

_.

把 所選項前的字母填在題後括號內

_.

(1) 極坐標方程ρ = cos

^

^π₄ − θ

^

所表示的 曲線是

A. 雙曲線 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 圓

(2) 如果方程 x²+ ky² = 2 表示焦點在y軸 上的橢圓, 那麼實數k的取值範圍是 A. (0, +∞) B. (0, 2)

C. (1, +∞) D. (0, 1) (3) lim_n

→∞

C_n⁰+Cn¹+Cn²+...+Cnⁿ

1+2+2²+...+2ⁿ = A. 0 B. ¹₂ C. 1 D. 2 (4) 設θ是第二象限的角, 則必有

A. tg^θ₂ > ctg^θ₂ B. tg^θ₂ < ctg^θ₂ C. sin^θ₂ > cos^θ₂ D. sin^θ₂ < cos^θ₂

(5) 若直線 x+ay+2 = 0 和 2x+3y+1 = 0 互相垂直, 則 a =

A. −²₃ B. −³₂ C. ²₃ D. ³₂ (6) 某種細菌在培養過程中, 每 20 分鐘分裂

一次 (一個分裂為兩個). 經過 3 小時, 這種細菌由 1 個可繁殖成

A. 511 個 B. 512 個 C. 1023 個 D. 1024 個

(7) 在下列函數中, 以^π₂ 為周期的函數是 A. y = sin 2x + cos 4x

B. y = sin 2x cos 4x C. y = sin 2x + cos 2x D. y = sin 2x cos 2x

(8) 已知正六稜台的上、 下底面邊長分別為 2 和 4, 高為 2, 則其體積為

A. 32√

3 B. 28√ 3 C. 24√

3 D. 20√ 3 (9) 使 (√

6 −√

2i)ⁿ 是純虛數的最小自然 數 n =

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

(10) 有甲、 乙、 丙三項任務, 甲需 2 人承擔, 乙、 丙各需 1 人承擔. 從 10 人中選派 4 人承擔這三項任務, 不同的選法共有 A. 1260 種 B. 2025 種

C. 2520 種 D. 5054 種

(11) 對於直線m、n和平面α、β, α⊥β 的一 個充分條件是

A. m⊥n, m//α, n//β B. m⊥n, α ∩ β = m, n ⊂ α C. m//n, n⊥β, m ⊂ α D. m//n, m⊥α, n⊥β (12) 設函數 f (x) = 1 −√

1 − x²(−1 ≤ x ≤ 0), 則函數 y = f⁻¹(x) 的圖象是

(13) 已知過球面上A、B、C 三點的截面和球 心的距離等於球半徑的一半, 且 AB = BC = CA = 2, 則球面面積是

A. ¹⁶₉π B. ⁸₃π C. 4π D. ⁶⁴₉ π (14) 函數 y = arc cos(sin x)

^

−^π3 < x <

2π 3



的值域是

A.

^

^π₆,^5π₆

^

B.

^h

0,^5π₆

^

C.

^

^π₃,^2π₃

^

D.

^h

^π₆,^2π₃

^

(15) 定義在 (−∞, +∞) 上的任意函數 f (x)都可以表示成一個奇函數 g(x) 和 一個偶函數h(x) 之和. 如果f (x) = lg(10^x+ 1), x ∈ (−∞, +∞), 那麼 A. g(x) = x, h(x) = lg(10^x+10^−x+ 2)

B. g(x) = ¹₂[lg(10^x+ 1) + x], h(x) = ¹₂[lg(10^x+ 1) − x]

C. g(x) = ^x₂, h(x) = lg(10^x+ 1) −^x₂ D. g(x) = −^x2, h(x) = lg(10^x+ 1) +

x 2

二、 填空題: 本大題共5 小題; 每小題 4 分, 共20 分. 把答案填在題中橫線上.

(16) 拋物線y² = 8 − 4x的準線方程是 . (17) 在(x + m)⁷(m ∈ N) 的展開式 中, x⁵的係數是x⁶的係數與x⁴的係數的 等差中項, 則m = .

(18)若⁵₄π < θ < ³₂π, sin 2θ = a, 則cos θ − sin θ的值是 .

(19) 設圓錐底面圓周上兩點A、B間的距離 為 2, 圓錐頂點到直線AB的距離為√

3, AB和圓錐的軸的距離為1, 則該圓錐的 體積為 .

(20) 在測量某物理量的過程中, 因儀器 和觀察的誤差, 使得n次測量分別得 到a1, a2, . . ., an, 共n個數據. 我們規 定所測量物理量的“最佳近似值”a是這 樣一個量: 與其他近似值比較, a與各 數據的差的平方和最小. 依此規定, 從a1, a2, . . . , an推出的a = . 三、 解答題: 本大題共5 小題; 共 50 分. 解

答應寫出文字說明、 證明過程或推演步 驟.

(21) (本小題滿分8 分) 已知z = 1 + i.

(I)設ω = z² + 3¯z − 4, 求ω的三角形 式;

(II) 如果^z_z²2^+az+b−z+1 = 1 − i, 求實 數a, b的值.

(22) (本小題滿分10 分)

已知函數f (x) = tgx, x ∈

^

0,^π₂

^

. 若x₁, x2 ∈

^

0,^π₂

^

, 且x1 6= x², 證明

1

2[f (x1) + f (x2)] > f (x1+ x2

2 ).

(23)(本小題滿分10 分)

如圖, 已知 A1B1C1− ABC 是正三稜 柱, D 是 AC 中點.

(I)證明AB1//平面DBC1;

(II) 假設AB1⊥BC¹, 求以 BC1 為 稜, DBC1 與 CBC1 為二面 角a的度數.

(24)(本小題滿分10 分)

已 知 直角 坐 標 平 面 上 一 點Q(2, 0)和 圓C : x²+ y²= 1, 動點M到圓C的切 線長等於圓C的半徑與|MQ|的和. 求 動點M的軌跡方程, 說明它表示什麼曲 線, 並畫出草圖.

(25)(本小題滿分12 分)

設{aⁿ}是正數組成的數列, 其前n項和 為Sn, 並且對於所有的自然數n, an與 2 的等差中項等於 Sn 與 2 的等比中項.

(I) 寫出數列{aⁿ}的前3項;

(II) 求數列{aⁿ}的通項公式 (寫出推 證過程).

數學試題

(

理工農醫類

)

參考答案及評分標準

一、 選擇題: 本題考查基本知識和基本運算.

第 (1)-(10) 題每小題 3 分, 第 (11)- (15) 題每小題 4 分, 共 50 分.

(1)D (2)D (3) B (4)A (5)A (6)B (7) D (8)B (9)A (10)C (11) C (12)B (13)D (14)B (15) C

二、 填空題: 本題考查基本知識和基本運 算.每小題 4 分, 滿分 20 分.

(16) x = 3 (17) 1 (18) √

1 − a (19) ^2√₃²π (20) _n¹(a₁+ a₂+ . . . + an) 三、 解答題

(21) 本小題考查共軛複數、 複數的三角形式 等基礎知識及運算能力. 滿分 8 分.

解:

(I) 由z = 1 + i, 有 ω = z²+ 3¯z − 4

= (1 + i)²+ 3(1 + i)− 4

= 2i + 3(1 − i) − 4

= −1 − i,

ω的 三 角 形 式 是√

2

^

cos ⁵₄π + i sin⁵₄π

^

. 4 分 (II) 由z = 1 + i, 有

z²+ az + b

z²− z + 1 = (1 + i)²+ a(1 + i) + b (1 + i)²− (1 + i) + 1

= (a + b) + (a + 2)i

= (a + 2) − (a + b)i. · · · 6分i

由題設條件知(a + 2) −(a+b)i = 1 − i.

根據複數相等的定義, 得

(

a + 2 = 1,

−(a + b) = −1.

解得

(

a = −1,

b = 2 · · · 8分 (22) 本小題考查三角函數基礎知識、 三角函 數性質及推理論證的能力. 滿分 10分.

證明:

tgx1+ tgx2 = sin x1

cos x₁ + sin x2

cos x₂

= sin x₁cos x₂ + cos x₁sin x₂ cos x1cos x2

= sin(x1+ x2) cos x1cos x2

= 2 sin(x1+ x2)

cos(x1+ x2) + cos(x1− x²). · · · 5分

因為 x1, x2 ∈

^

0,^π₂

^

, x1 6= x²,

所以 2 sin(x₁+x₂) > 0, cos x₁cos x₂ >

0, 且 0 < cos(x1− x²) < 1, 從而有 0 < cos(x₁ + x₂) + cos(x₁ − x2)

< 1 + cos(x₁+ x₂). · · · 7分 由此得 tgx₁+ tgx2 > _1+cos(x^{2 sin(x1}₁^+x_+x²₂⁾₎,

所以 1

2(tgx₁+ tgx₂) > tgx₁+ x₂ 2 , 即 ¹

2[f (x1) + f (x2)] > f (^x1+x₂ ²).

· · · 10分

(23) 本小題考查空間線面關係, 正稜柱的性 質, 空間想像能力和邏輯推理能力. 滿 分 10分.

(I) 證明: 因為A₁B₁C₁− ABC 是正 三稜柱, 所以 四邊形B1BCC1是 矩形.

連結B1C, 交BC1於E, 則B1E = EC. 連結 DE. 在△AB¹C 中, 因為AD = DC,

所以DE//AB₁, · · · 2分 又 AB₁ 6⊂ 平面 DBC¹, DE ⊂ 平面 DBC₁,

所以AB₁//平面DBC₁. · · · 4 分

(II) 解:作DF⊥BC, 垂足為F. 則DF⊥面B1BCC₁. 連結EF , 則 EF 是 ED 在平面

B1BCC1 上的射影.

因為AB₁⊥BC¹, 由 (I) 知 AB₁//DE,

所以DE⊥BC1, 從而EF ⊥BC¹, 所以6 DEF 是二面角α的平面角.

· · · 7分

設AC = 1 則DC = ¹₂, 因為△ABC是正三角形,

所以在Rt△DCF 中, DF = DC · sin C = ^√₄³, CF = DC · cos C = ¹₄.

取BC中點G,

因為EB = EC, 所以EG⊥BC.

在 Rt△BEF 中, EF² = BF · GF ,

又 BF = BC − F C = ³₄, GF =

1 4,

所以EF² = ³₄ · ¹₄, 即EF = ^√₄³. 所以tg⁶ DEF = ^DF_EF =

√3

√4 3 4

= 1, 所以6 DEF = 45^◦.

故二面角α 為45^◦. · · · 10分 (24) 本小題考查曲線與方程的關係, 軌跡的 概念等解析幾何的基本思想以及綜合運 用知識的能力. 滿分 10分.

解: 如圖, 設MN切圓於N, 又圓的半 徑|ON| = 1,

所以 |OM|² = |MN|²+ |ON|²

= |MN|²+ 1, · · · 2 分

依題意, 動點M組成的集合為

P = {M

  

|MN| = |MQ| + 1} = {M|

^q

|OM|²− 1 = |MQ| + 1}.

· · · ·4分

設點M的坐標為(x, y), 則√

x² + y²− 1 =

q

(x − 2)²+ y²+ 1. · · · 6分 整理得 2x − 3 =

^q

(x − 2)²+ y² ≥ 0, 即 3x²− y²− 8x + 5 = 0

^

x ≥ ³₂

^

.

經檢驗, 坐標適合這個方程的點都屬於 集合P , 故這個方程為所求的軌跡方程.

· · · 8分

所求方程可化為 (x − ⁴3)²

1 9

− y²

1 3

= 1

^

x ≥ 3 2



.

它所表示的曲線是以點(⁴₃, 0)為中心,

實軸在x軸上的雙曲線的右支, 頂點坐 標為

^

⁵

3, 0

^

. 如圖所示. · · · 10分 (25) 本小題考查等差數列、 等比數列等基礎 知識, 考查邏輯推理能力和分析問題與 解決問題的能力. 滿分 12分.

(I) 解: 由題意, 當n = 1 時有 a1+ 2

2 =

^q

2S1, S1 = a1, 所以a1+ 2

2 =√ 2a1, 解得 a₁ = 2. 當n = 2時有

a₂+ 2

2 =

^q

2S₂, S₂ = a₁+a₂, 將a₁ = 2代入, 整理得 (a2−2)² = 16,

由a₂ > 0, 解得 a₂ = 6.

當n = 3時有 a₃+ 2

2 =

^q

2S3, S3 = a1+a2+a3, 將a1 = 2, a2 = 6 代入, 整理得

(a3− 2)² = 64,

由a₃ > 0, 解得 a3 = 10. 故該數 列的前 3 項為 2, 6, 10, · · · 4分 (II) 解法一: 由(I) 猜想數列 {aⁿ} 有 通項公式 an = 4n − 2. 下面用 數學歸納法證明數列 {aⁿ} 的通項 公式是 an = 4n − 2 (n ∈ N).

· · · . . . 6 分

(1) 當n = 1時, 因為4 × 1 − 2 = 2, 又在 (I) 中已求出a1 = 2, 所以上 述結論成立. · · · 7 分 (2) 假設 n = k 時結論成立, 即 有ak = 4k−2. 由題意, 有^ak2⁺² =

√2Sk, 將ak = 4k − 2代入上式, 得 2k = √

2Sk, 解得 Sk = 2k². 由題意, 有

a^k+1+ 2

2 =

^q

2Sk+1, Sk+1 = Sk+ ak+1, 將Sk= 2k²代入, 得



ak+1+ 2 2



2

= 2(ak+1+ 2k²), 整理得 a²k+1−4a^k+1+4−16k² = 0. · · · 10分 由ak+1 > 0, 解得 ak+1 = 2 + 4k, 所以 ak+1 = 2 + 4k =

4(k + 1) − 2. 這就是說, 當 n = k + 1時, 上述結論成立. 根 據 (1)、(2), 上述結論對所有的自 然數n成立. · · · ·12分 解法二: 由題意, 有

an+ 2

2 =

^q

2Sn(n ∈ N), 整理得 Sn= ¹₈(an+ 2)²,

由此得 Sn+1 = ¹₈(an+1+ 2)²,

所以 an+1 = Sn+1− Sⁿ = ¹₈[(an+1+ 2)²− (aⁿ+ 2)²], · · · ·8分 整理得 (an+1+ an)(an+1− aⁿ− 4) = 0, 由題意知 aⁿ+1 + aⁿ 6= 0, 所以 aⁿ⁺¹ − an= 4. 即數列{aⁿ}為等差數列, 其中 a¹ = 2, 公差 d = 4. 所以 an= a₁+ (n − 1)d = 2 + 4(n − 1), 即通項公式為aⁿ = 4n − 2.

· · · ·12分