如何同時解決許多極值的問題

(1)

如何同時解決許多極值的問題

吳建生

(一) 下列有幾個常見的問題或公式 A: 代數類

(1) 算術均數大於或等於幾何均數 (AP ≥ GP ), 即若 b

1

, · · · , b

ⁿ

均為正數, 則

b

₁

,+b

₂

+···+b

ⁿ

n

≥ √ⁿ

b

1

b

2

· · · b

ⁿ

。

(2) θ

1

, · · · , θ

ⁿ

均為銳角且 θ

₁

+ · · · + θ

ⁿ

= π/2, 求 tan θ

1

+ · · ·+tan θ

ⁿ

之最小值。

(3) ∀i, b

ⁱ

> 0 且 n, m ∈ N, 則 n

^m−1

(b

^m ₁

+ b

^m ₂

+ · · ·+ b

^m n

) ≥ (b

¹

+ b

2

+ · · ·+ b

ⁿ

)

^m

。 B: 幾何類

(4) 定周長之 n 邊形, 何種形狀有最大面積?

(5) 圓內接 n 邊形, 何種形狀有最大面積?

(二) 以上諸題中, 先考慮最細微的變化, 先固定 n 個變量中 (n − 2) 個, 剩下兩個作有系統的算術平均化, 在和保持不變之前提下, 發現某些量遞增 (減)。若此平均化步驟無限次進行, 其極限即可解決上列的問題, 以下將逐步說明。

1. 算術平均化極限定理

實數列 hEi = hE

¹

, E

2

, · · · , E

ⁿ

i, 平均化一週期之新數列為 hE

⁽¹⁾

i = hE

1 ⁽¹⁾

,

E

₂ ⁽¹⁾

, · · · , E

n ⁽¹⁾

i, 則 ∀i, 1 ≤ i ≤ n, lim

m→∞

E

_i ^(m)

=

P

ⁿ

k=1

E

k

n

(即諸數全等)。

hE

⁽¹⁾

i 之說明:

例: hEi = h24, 40, 60, 36, 41, 31i, E

₁

⊗ E

2

指對 E

₁

, E

₂

作算術平均化, 過程如下:

hE ⁽¹⁾ i = h 32 , 46 , 41 , 41 , 36 , 36 i hEi = h 24 ⊗ 40 , 60 , 36 , 41 , 31 i

↓ ↓ .. . .. . .. . .. . 32 32 ⊗ 60 .. . .. . .. .

↓ ↓ .. . .. . .. . 46 46 ⊗ 36 .. . .. .

↓ ↓ .. . .. . 41 41 ⊗ 41 .. .

↓ ↓ .. . 41 41 ⊗ 31

↓ ↓

36 36

...

證明: 定義

|hEi| = max{E

1

, E

₂

, · · · , E

ⁿ

}

− min{E

¹

, E

2

, · · · , E

ⁿ

}

= max{E

^kl

|E

^kl

= |E

^k

− E

^l

|, 1 ≤ k, l ≤ n}

74

(2)

如何同時解決許多極值的問題

75

今平均化一週期, 結果如下:

E

₁ ⁽¹⁾

=E

₁

+ E

₂

2 , E

₂ ⁽¹⁾

=E

₁ ⁽¹⁾

+ E

3

2

=

E

₁

+E

₂

2

+ E

3

2

=E

1

+ E

2

+ 2E

3

2

²

E

₃ ⁽¹⁾

= · · ·

=E

1

+ E

2

+ 2E

3

+ 2

²

E

4

2

³

, · · · E

_k ⁽¹⁾

=E

1

+ E

2

+ 2E

3

+ · · · + 2

^k−1

E

k+1

2

^k

最後

E

_n−1 ⁽¹⁾

=E

_n ⁽¹⁾

=E

1

+E

2

+2E

3

+· · ·+2

ⁿ⁻²

E

n

2

ⁿ⁻¹

,

而

E

_i ⁽¹⁾

−E

j ⁽¹⁾

=E

1

+E

2

+· · · + 2

ⁱ⁻¹

E

i+1

2

ⁱ

−E

1

+E

2

+· · ·+2

^j−1

E

j+1

2

^j

,

上面兩分式之分子, 各有 2

ⁱ

和 2

^j

個 E, 現在若擴分至分母為 2

ⁿ⁻¹

, 則分子各有 2

ⁿ⁻¹

個 E, 且其中 E

1

和 E

2

至少對消兩次, 因若 i = 1, j = n 之極端情形亦有

E

₁ ⁽¹⁾

=E

1

+ E

2

2 ,

E

_n ⁽¹⁾

=E

1

+ E

2

+ · · · + 2

ⁿ⁻²

E

n

2

ⁿ⁻¹

,

故

E

_i ⁽¹⁾

−E

j ⁽¹⁾

=

P

(E

k

−E

^l

) 2

ⁿ⁻¹

而其分子最多有 2

ⁿ⁻¹

− 2 項, 故

|E

i ⁽¹⁾

− E

j ⁽¹⁾

| ≤ 2

ⁿ⁻¹

− 2 2

ⁿ⁻¹

|hEi|。

由歸納法知:

∀m ∈ N, |hE

^(m)

i| ≤

2

ⁿ⁻¹

− 2 2

ⁿ⁻¹

m

|hEi|, 今取極限得 lim

m→∞

|hE

^(m)

i| = 0, 即

m→∞

lim E

_i ^(m)

=

n

P

k=1

E

k

n

(即諸數全等)

2. 平均化定理之應用 (前述的5個問題 )

(1)

AP =b

1

+· · ·+b

ⁿ

n , GP

0

=

^q

ⁿb

1

· · · b

ⁿ

證法: 先將 b

1

, b

2

平均化成

^b

¹

^+b

²

2

, 則 AP 不變, 但

GP

1

= ⁿ

s

(b

1

+ b

2

2 )

²

b

3

· · · b

ⁿ

≥GP

⁰

, 持續做算術平均化, 可見 AP 不變, GP

n

漸增極限時, AP = lim

n→∞

GP

n

, 故得證 AP ≥ GP

⁰

(且知 AP = GP

0

發生於 b

1

= b

2

= · · · = b

ⁿ

時)。 (GP

0

= GP )。

(2) θ

₁

, θ

₂

, · · · θ

ⁿ

均銳角, 且 θ

₁

+ θ

₂

+ · · · + θ

n

= π/2, 求 tan θ

₁

+ tan θ

₂

+ · · ·+tan θ

ⁿ

之最小值?

求法: 由

tan θ

1

+ tan θ

2

= sin(θ

1

+ θ

2

) cos θ

1

· cos θ

²

= 2 sin(θ

1

+ θ

2

)

cos(θ

1

− θ

²

) + cos(θ

1

+ θ

2

)

≥ 2 sin(θ

1

+ θ

2

) 1 + cos(θ

₁

+ θ

₂

)

= 2 tanθ

₁

+ θ

₂

2

(3)

76

數學傳播

20

卷

3

期民

85

年

9

月

故對 θ

1

, · · · θ

ⁿ

做平均化, 可知 θ

1

= θ

2

=

· · · = θ

ⁿ

時有最小值 n tan

_2n ^π

。 (3) ∀i, b

ⁱ

> 0, n, m ∈ N, 則

n

^m−1

(b

^m ₁

+ b

^m ₂

+ · · · + b

^m n

)

≥ (b

¹

+ b

2

+ · · · + b

ⁿ

)

^m

證法: 同理先處理 2 個變數, 若 A > 0, B >

0, m ∈ N, 此處 l =

^|A−B| 2

, 則 A

^m

+ B

^m

= (A + B

2 + l)

^m

+(A + B

2 − l)

^m

(l ≥ 0)

= (A + B

2 )

^m

+ f (l) + g(l) + (A + B

2 )

^m

+ f (−l)+g(−l)

= 2(A + B

2 )

^m

+2f (l) ≥ 2(A + B 2 )

^m

(f (l) 為二項式展開後 l 之偶次項和, 而 g(l) 則為奇次項和)。

其他同理可推。

(4) 定周長之 n 邊形, 以正 n 邊形面積最大。

(5) 圓內接 n 邊形以正邊形面積最大。

處理方法 (如圖) 類似 (4), 但不同之處是對弧做平均化。

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. .. . . .. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .

... .

...

A. B

C

^′

C

(拙作承蒙審查先生精心的修改許多不當之處, 特此感謝)

—本文作者任教於高雄女中—

如何同時解決許多極值的問題