科學月刊【數‧生活與學習】專欄 101 年 3 月
從多項式開啟線性代數的序幕
單維彰‧101 年 2 月 16 日
本欄的過去兩篇，分別指出高中一年級（以後要叫它「十年級」了）的多項式課 程，可以如何在同樣基礎之下換軌，成為直達微積分和數學分析的大道。我要再 度呼籲：以數學發展史為佐證，（多項式的）微積分在認知能力上，絕對不比現 行或前代高中課程內的代數、整數論、解析幾何、向量、機率與統計困難。大家 心目中困難的，是 19 世紀倒過頭來為補全微積分基礎而發展的極限觀念，而不 是 17 世紀的微積分原貌。高中數學既然不再可能是個人的最終知識，則高中數 學教育的宗旨，自然應該是為銜接大學課程作準備、同時為現代公民及職場生活 所須之終身學習作準備。如果我們被 19 世紀的抽象化數學風格困住，而裹足不 能及早認識 17、18 世紀之微積分帶來的驚人威力，繼而將來在社會、文化的層 面了解微積分對現代文明的深刻價值，則實在是學生的不幸、社會與學術界整體 的損失。
在前述中學教育宗旨之下，線性代數成為另一個須要在中學數學課程中多所 著墨的分科。據聞，有些長春藤大學裡的教授，打賭美國的大學將會在 2050 年 以線性代數取代微積分為工、管類組的必修數學課程。線性代數的操作或許不比 微積分深奧，但是它的觀念卻比 17 世紀的微積分抽象（畢竟它是 19 世紀後半葉 的思想產物）。因為線性代數的普遍重要性，我們值得為它大挪乾坤，將其基礎 部分放進高中數學。但是，教導線性代數絕不等於探討矩陣乘法的規則和方陣乘 法的代數性質（不可交換、未必可逆等等），而是線性組合、線性映射的意義；
前者已經在 99 課綱開始設計課程了，但是後者實在找不到時間排入課程。如果 適度調整課程，讓（多項式）微積分進入高一、高二課程，就有辦法將線性代數 放進高三的選修課。順帶一提，假設微積分已經獲得了足夠的發展，則一般的極 限課題根本可以從高中課程中全部移出，不必佔據高三選修的課時。
以下勾勒的多項式進路線性代數，必須放在三元一次聯立方程式以及空間向 量之後。因為過去的高中課程不曾包含這些課題，所以可能就連高中數學教師都 會覺得這一篇不好讀（雖然老師們一定在大學讀過這個科目），作者先此致歉。
在舊課程裡，曾經使用平面上的基底變換作為線性映射的具體範例。本欄的 主要主張，則是平面坐標的變換缺乏動機（尤其是在取消了斜軸的二次曲線之 後），而且標準基底 {i, j} 和一般基底 {u, v} 的係數互換，其實既不容易計算也 不容易描述，何況我們的高中生向來不習慣以 ai+bj 表示 向量。最後，採用 平面坐標變換的進路，等於在課程中另起爐灶，反倒不如採用多項式的標準形式 與泰勒形式，更能夠一氣呵成、前後呼應，而且直接銜上大學課本的慣用例。
( , )a b
假設學生已經知道多項式有（降冪）的標準和泰勒兩種形式，例如
2 2
2 1 0 2( 1) 1( 1)
a x a xa c x c x c0。
不論是採用連續的綜合除法，或者套用微分公式，學生已經能夠處理上述的轉 換。這時候，我們引進基底觀念，令 {x , x, 1} 2 稱為A基底，{(x1)2, x1, 1}
稱為 B 基底。然後用線性組合的觀念（假設已經用平面、空間向量教過了，而 且在處理三元一次方程組時練習過），以係數和基底重新詮釋多項式（唯一性可 以先省略）。
因為多項式的基底變換是線性的（它根本只是個等式），所以，將係數依序
c0
寫成行矩陣之後，得知
2 2
1 1
0 T
a c
a c
a
的對應關係 T 是一個線性映射。
然後教導一種技術，可以將上述映射寫成一個三階方陣與行矩陣的乘積。只考慮 A 基 底 如 何 寫 成 B 基 底 的 線 性 組 合 即 可 ： 因 為 x2 (x1)22(x ，1) 1
( 1)
x x 1，1 1 ，所以
、
1 1
0 2
0 1
T
0 0
1 1
0 1
T
、
0 0
0 0
1 1
T
。
根據方陣與行矩陣相乘的線性組合意義，輕易得知
1 0 0 2 1 0 1 1 1 T
。
此時應該讓學生驗算，確定若給定標準形式的多項式係數 、 、 ，則線性
就更精彩了，若給定泰勒形式的多項式係數 、 、 ，則 即可得到標
準型式的係數；教師可帶領學生檢查
a2 a1
1 1 0
T c c
a0
映射T a 1 即可得到泰勒型式的係數；而且這個方法是可以平直地推廣的。反之
c2
2
0
a
a
c2 c1 c0
1
1 0 0 2 1 0 1 1 1 T
。
搭配平面上的旋轉，讓學生認識：逆方陣（如果存在）就是反映射。
有沒有不可逆的線性映射呢？微分就是一個例子。前面已經學過，微分（導 數或導函數）是線性的，所以，從多項式函數 ( )f x 到其導函數 f x( )的映射D是 一個線性映射。按照前面的技術，給定二階多項式函數在標準形式之下的係數，
其導函數係數，可以用
0 0 0 2 0 0
0 1 0
a0
2
1
a a
，
陣為 A。如果現在給了一個泰勒形式的多項式，它是係數c 、2 c 、1 c 與0 B 基底的
的導函數係數嗎？那就是
2 1
1
c A T c
算出來 因為此方陣的行列式為 0，它是
不可逆的。早先學習反導函數的時候，學生已經知道，反導函數是不唯一的 它 不能成為一種「映射」（函數的推廣意涵），由此獲得一個對照。
因為標準形式的多項式是 A 基底的線性組合，我們稱上述導函數映射的方
線性組合，我們有方便的程序，由 、 、
。
c2 c1 c 以線性映射的方式算出其標準形式0
c0
。也就是說，方陣的相乘等於依序做線性映
射；此關係也可以呼應平面上的線性變換。學生應驗算
1
0 0 0 2 0 0 2 1 0 A T
的確具備前面宣稱（或預測）的功能。
同理再推論，若BT AT1 給定泰勒多項式的係數
，再轉回泰勒形式
，則其意義（因為行矩陣乘在右側，所以從右往 左解讀）是， 、 、 ，先將它轉換成標準形式的係數，
做標準形式的導函數 ，恰好
2 1 0
c c
。 c
在此特例下 B ，但一般而言，A 如此的方陣 A 和 B 稱為彼此相似。這只是本文銜接至大學線性代數課程的引伸，
高中課程中，並不須要探討相似方陣。
從以上的引伸，我們知道：同一個線性映射（例如做導函數）在不同基底之 下的方陣是（一般來說）不同但相似的。這就提出了純數學的「不變量」研究問 題：怎樣判定兩個方陣是否彼此相似？也就是說，它們其實是表現於不同基底之
純數學的
量課題；我個人也想要藉此園地呼籲工、管科的線性代數教師們，不要採用這種 下的同一個線性映射。 線性代數課本幾乎投入了半本書來發展這個不變
純數學口味的教科書，以免偏離了線性代數作為應用與計算工具的要旨。
